关于用定义求方向导数

吴洁

如果f(x,y)在P0(x0,y0)处可微，则方向导数

∂f(P0)

=fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ， ∂n

但如果f(x,y)在P0(x0,y0)处不可微，则只能用定义求方向导数。

比如71（1）因lim

∆x→0

f(0+∆x,0)−f(0,0)|∆x|

知，fx(0,0)不存在；同理fy(0,0)=lim

∆x→0∆x∆x

不存在，从而不可微。为求在(0,0)处的方向导数，设α是x轴正向到方向l的转角

(0≤α≤2π)，在l上任取一点P(ρcosα,ρsinα)，有

lim

ρ→0

f(ρcosα,ρsinα)−f(0,0)

ρ=lim

ρ|cosα+sinα|

=|sinα+cosα|.

ρ→0ρ可见，f(x,y)在(0,0)处沿任意方向l的方向导数存在，且等于|sinα+cosα|.

注意：方向导数

∂f

是沿l方向的变化率，且ρ=|P0P|>0，它是一个单侧极限；而偏∂l

导数

∂f∂f、是沿平行于坐标轴的直线的变化率，且∆x、∆y可正可负，它是沿坐标轴的∂x∂y

双侧极限问题. 因此，沿任意方向l的方向导数存在不能保证偏导数存在。

又如（2）因f(x,y)在(0,0)处不连续，从而不可微；但由定义可求得

fx(0,0)=fy(0,0)=0

因此，f(x,y)沿坐标轴正向或反向的方向导数存在且为0。设α是x轴正向到方向l的转角，且α≠0,

π3π，在l上任取一点P(ρcosα,ρsinα)，有 ,π,

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ρ2sinαcosαsinαcosαf(ρcosα,ρsinα)−f(0,0)ρ2

lim=lim=lim=∞.

00ρ→0ρ→ρ→ρρρ这说明f(x,y)在(0,0)处除坐标轴外，沿任意方向l的方向导数都不存在.

注意：“偏导数存在但不连续”这一事实并不奇怪，因为偏导数仅刻画了函数沿平行坐标轴的直线的变化率，不足以反映函数在一点邻近沿所有方向的动态，而后者恰好是与连续

性相关的；偏导数存在不能保证沿任意方向l的方向导数存在的原因也是如此.