普通高等学校(gāoděngxuéxiào)招生全国统一考试
数学(shùxué)（理科）
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目(tímù)要求的。 1. 若复数(fùshù)满足(mǎnzú)
A．
B．
C．
，则z等于（ ） D．
考点：复数的运算。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。 解答：
。
2. 等差数列中，
，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：等差数列的定义。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式
。
解答：。
3. 下列命题中，真命题是（ ）
A．C．
B．的充要条件是
D．
是
的充分条件
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考点：逻辑。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。 解答：A中， B中， C中，
。 ，
的充要条件是
。
a1。 b D中，a1,b1可以(kěyǐ)得到ab1，当ab1时，不一定可以(kěyǐ)得到a1,b1。
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小(dàxiǎo)均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱(yuánzhù)
考点(kǎo diǎn)：空间几何体的三视图。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；
三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
5. 下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C． D．
考点：不等式及基本不等式。 难度：中。
分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。 解答：A中，
。
B中，；。
C中，。
D中，。
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6. 如图所示，在边长为1的正方形
A． B． C． D．
中任取一点
，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
考点：积分的计算和几何概型。 难度：中。
分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。 解答：
，
。
所以。
7. 设函数(hánshù)
A．
的值域为
，则下列结论(jiélùn)错误的是（ ）
B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是(bù shi)周期函数 D．D(x)不是(bù shi)单调函数
考点(kǎo diǎn)：分段函数的解析式及其图像的作法。 难度：中。
分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定。 解答：A中，D(x)由定义直接可得，D(x)的值域为{0,1}。
B中，D(x)定义域为
，
，所以D(x)为偶函数。
C中，
，所以可以找到1为D(x)的一个周期。
D中，，所以不是单调函数。
8. 双曲线
离等于（ ） A．
B．
的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距
C．3 D．5
考点：双曲线的定义。 难度：中。
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分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。 解答：抛物线y12x的焦点为 双曲线中，
。
2。
双曲线渐近线方程为。
所以焦点到渐近线的距离。
9. 若直线(zhíxiàn)
上存在(cúnzài)点
满足(mǎnzú)约束条件
，则实数(shìsh
ù)的最大值为（ ）
D．2
A． B．1 C．
考点(kǎo diǎn)：线性规划。 难度：中。
分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。 解答：可行域如下：
xy30所以，若直线y2x上存在点(x,y)满足约束条件x2y30，
xm则
，即
。
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10. 函数
在
上有定义，若对任意
，有
，则称
f(x)在[a,b]上具有性质P。设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题： ①f(x)在②
在
上的图像时连续不断的； 上具有性质P； 处取得最大值1，则
，有
，
；
。
③若f(x)在④对任意
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
考点：演绎推理和函数。 难度：难。
分析(fēnxī)：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要
证明对所有的情况(qíngkuàng)都成立。 解答(jiědá)：A中，反例：如图所示的函数(hánshù)f(x)的是满足(mǎnzú)性质P的，但f(x)不是连续不断的。
B中，反例：
在[1,3]上具有性质P，
上，
在[1,3]上不具有性质P。 ，
C中，在
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，
所以，对于任意。
D中，
。
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.
的展开式中
的系数等于8，则实数
_________。【2】
考点：二项式定理。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可。 解答：(ax)中含x的一项为
43，令，则，即。
12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的值等于_____________________。
【
】
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考点(kǎo diǎn)：算法(suàn fǎ)初步。 难度(nádù)：易。
分析(fēnxī)：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接(zhíjiē)根据箭头的指向运算即可。 解答： ；
； ； ；
结束。
13. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。【】
考点：等比数列和余弦定理。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用。 解答：设ABC三边为 则可得
且
所对的边最大，
。
，
14. 数列{an}的通项公式
，前项和为，则 ___________。【3018】
考点：数列和三角函数的周期性。 难度：中。
分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。 解答：
，
，
，
，
所以(suǒyǐ)。
即。
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15. 对于(duìyú)实数
，定义(dìngyì)运算“”：
，设
恰有三个互不相等的实数根
】
，，则
且关于(guānyú)的方程(fāngchéng)为
的取值范围是_____。【
考点：演绎推理和函数。 难度：难。
分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数。 解答：由题可得，
可得
，
且
所以时，，
所以。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分13分）
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受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
将频率视为概率(gàilǜ)，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机(suí jī)抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌(pǐn pái)轿车的利润为
乙品牌轿车(jiàochē)的利润为
，分别(fēnbié)求X1，X2的分布列；
，生产一辆
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，
若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
考点：统计概率及随机变量。
难度：易。 分析： 解答：
（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为
（II）随机变量 X1
（III）
的分布列为 随机变量
的分布列为
X2 P 9 10(万元)
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(万元)
所以应该生产甲品牌汽车。
17. （本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）（2）（3）（4）（5）
； ； ；
； 。
（I）试从上述(shàngshù)五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据(gēnjù)（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明(zhèngmíng)你的结论。
考点(kǎo diǎn)：三角(sānjiǎo)恒等变换。 难度：中。 分析： 解答：
（I）选择（2）：
（II）三角恒等式为：
（lby lfx）
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18. （本小题满分13分）
如图，在长方体（Ⅰ）求证：（Ⅱ）在棱说明理由。
（Ⅲ）若二面角
考点：立体几何。 难度：中。 分析： 解答：
（Ⅰ）长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1 得：
面A1B1CD（Ⅱ）取
中点(zhōnɡ diǎn)为
，连接(liánjiē)
面
中，
；
，为中点。
上是否存在一点P，使得平面？若存在，求的长；若不存在，
的大小为，求的长。
的中点(zhōnɡ diǎn)为P，
在中，
面B1AE
此时(cǐ shí)
（Ⅲ）设 得：
，连接(liánjiē)
面A1B1CD，OHB1E，过点
作于点，连接
是二面角AB1EA1的平面角
在中，
在矩形A1B1CD中，
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得：
19. （本小题满分13分）
如图，椭圆线交椭圆于
两点，且
的左焦点为的周长为8。
，右焦点为
，离心率
。过F1的直
（Ⅰ）求椭圆(tuǒyuán)E的方程(fāngchéng)。 （Ⅱ）设动直线(zhíxiàn)
线
与椭圆(tuǒyuán)E有且只有一个(yī ɡè)公共点P，且与直
相交于点Q。试探究：
，使得以
为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐
在坐标平面内是否存在定点
标；若不存在，说明理由。
考点：三角恒等变换。 难度：难。 分析： 解答： （Ⅰ）设 则
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ABF2的周长为
椭圆E的方程为（Ⅱ）由对称性可知设
与
直线
（*）
（*）对
恒成立， 得
20. （本小题满分14分）
已知函数（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）试确定(quèdìng)的取值范围，使得(shǐ de)曲线yf(x)上存在(cúnzài)唯一的点P，曲
线(qūxiàn)在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。
考点(kǎo diǎn)：导数。 难度：难。 分析： 解答： （Ⅰ） 由题意得： 得：函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
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（Ⅱ）设 令
切线与曲线只有一个公共点P （1）当
时，
时，
； 则过切点P的切线方程为
；则
只有一个根，且
得：当且仅当
由x0的任意性，a0不符合条件（lby lfx） （2）当 ①当
时，令时，
在
上单调递增
当且仅当xx0时， g(x)0只有一个根x0 ②当 得： 存在两个数 得： 存在(cúnzài) ③当
使使，时，
，又
又
，与条件(tiáojiàn)不符。
时，同理可证，与条件(tiáojiàn)不符
使该点处的切线与曲线(qūxiàn)只有一个公
从上得：当a0时，存在(cúnzài)唯一的点共点P
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如
果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。
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（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设曲线。 （Ⅰ）求实数
的值。 （Ⅱ）求
的逆矩阵。
在矩阵
对应变换下的像是
在矩阵
对应的变换作用下得到的曲线为
解：（Ⅰ）设曲线2x22xyy21上任一点 则 得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点参数）。 （Ⅰ）设P为线段
的中点，求直线
的平面直角坐标方程；
的极坐标分别为
，圆
的参数方程
为
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。
【解析】（Ⅰ）由题意知
，因为P是线段
中点，则
因此(yīncǐ)直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)方程为：
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（Ⅱ）因为(yīn wèi)直线上两点M(2,0),N(0,∴l垂直平分线方程(fāngchéng)为：
.
,故直线l和圆C相交.
【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若
【解析】（1）∵
∴
（2）由（1）知
，且
，求证：
m，
23) 3，圆心(yuánxīn)，半径
，且的解集为。
。
,由柯西不等式得（lby lfx）
【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想
内容总结
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（1）普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科）
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 （2）设函数，则下列结论错误的是（ ） A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数 考点：分段函数的解析式及其图像的作法
（3）分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定
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