人教版高中物理必修二第五章 曲线运动第7节《生活中的圆周运动》学案1

1. 会分析匀速圆周运动中向心力的来源。 2. 重点：熟练应用向心力公式和向心加速度公式。

3. 知道向心力和向心加速度公式也适用于变速圆周运动，并掌握处理特殊点的方

法。 学习探究 ★自主学习

1. 火车转弯处：（1）若内、外轨一样高，火车做圆周运动的向心力是由_________________提供的，由于火车质量太大，靠这种方法得到向心力，极易使___________________受损。（2）外轨略高于内轨时，火车转弯时向心力的一部分来源是____________________，这就减轻了轮缘与外轨的挤压。

2. 汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力是由___________________提供的，方向___________，此时汽车对桥的压力FN′_________G（填“>”、“＝”、“<”），汽车行驶到最高点的速度越大FN′就越_________。

3. 汽车在凹形桥上行驶通过桥最低点的向心力是由_______________提供的，方向__________，此时汽车对桥的压力FN′_________G（填“>”、“＝”、“<”） 4. 航天员随宇宙飞船绕地球作匀速圆周运动时，向心力是________________________提供的；当飞船的飞行速度v＝_____________时，航天员对座舱的压力FN′＝0，此时航天员处于________状态。 ★新知探究 一、火车转弯

1. 火车按规定的速度行驶

（1）确定火车作圆周运动的轨道平面，并找出圆心

（2）画出火车的受力分析图，并求出规定的速度。（已知路面倾角θ和圆周半径R）

学海导航

- 1 -

2. 讨论当火车行驶速度大于或小于规定的行驶速度时，向心力的来源情况。 3. 思考汽车在水平路面上转弯时是怎样获得向心力的？ 二、拱形桥

1. 汽车在拱形桥或凹形桥上行驶的过程中，它受到的合外力一定指向圆心吗？在那些特殊位置合外力就是向心力？

2. 已知汽车的质量为m，通过拱形桥最高点的速度为v，桥面的半径为R，试求出汽车通过桥最高点时对桥的压力FN′。

并讨论：（1）当v＝gR时，FN′＝？（2）当v>gR时，汽车会怎样运动？

3. 同理推出汽车通过凹形桥最低点时对桥的压力FN′。

三、航天器中的失重现象

1.已知宇宙飞船的轨道半径为R，向心加速度为g′，试推出当座舱对航天员的支持力FN＝0时飞船的速度。

2.思考：汽车在拱形桥最高点和在凹形桥最低点时，是处于失重状态还是处于超重状态？

★例题精析

一、近似处理思想在火车转弯问题中的应用

【例题1】一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h＝10㎝，弯道半径为r＝625m，轨距L＝1435mm，求这段弯道的设计速度v0是多大时才能保证内、外轨不受侧向压力？ 解析：

- 2 -

【训练1】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：

弯道半径r／m 内、外轨道高度差h/mm 660 50 330 100 220 150 165 200 132 250 110 300 （1）根据表中数据，写出h和r的关系式，并求出r＝440m时h的值。 （2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v。

二、圆周运动中绳模型的应用

【例题2】长L＝0.5m的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m＝0.5Kg的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？ （2）在最高点时，若速度v＝3m/s，水对筒底的压力多大？ 解析：

【训练2】游乐园里过山车原理的示意图如图5－44所示。设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑，到半径为r的圆形轨道最高点B时恰好对轨道无压力。求过山车在圆形轨道最高点B时的速度大小。

A h r B 图5－44

- 3 -

三、圆周运动中的杆模型

【例题3】如图5－45所示，长为L的轻杆一端有一个质量为m的小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ） A.小球到达最高点的速度必须大于gL B.小球到达最高点的速度可能为0

C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力

解析：

【训练3】如图5－46所示，在竖直平面内有一内径为d的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R远远大于d，有一质量为m的小球，直径略小于d，可在圆管中做圆周运动。若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时受到轨道给它的作用力为___________。

四、拱桥问题

【例题4】如图5－47所示，汽车质量为1.5×104Kg，以不变的速率先后驶过凹形桥和凸形桥，桥面圆弧半径为15m，如果桥面承受的最大压力不得超过2.0×105N，则汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少？

解析：

【训练4】某条公路

图5－47

R v 图5－46

O L m 图5－45

拐弯处的半径为R，路面与车轮

的动摩擦因数为μ，当质量为m的汽车在此处拐弯行驶的最大速率为多少？

- 4 -

参考答案 ★自主学习

1.外轨对轮缘的弹力 铁轨和车轮 支持力和重力的合力 2.重力和支持力的合力 竖直向下 <

越小 3.支持力和重力的合力 竖直向上 > 4.由万有引力和支持力的合力

Rg 完全失重 ★新知探究 一、3摩擦力

二、1.不一定 顶点（最高点或最低点） 2.（1）0（2）平抛 3.略 三、1.gR 2.失重 3.超重 ★例题精析

例题1 解析：当火车以设计速度v0运行时，其受力如图所示，其中G与FN的合力Fmgtan提供火车转弯的向心力，此时外轨内侧、内轨外侧与车轮之间无相FN 互作用力。

22v0v0 又因为Fm，所以mgtanm

rrθ l h mg F θ 当角度很小时，有sinθ≈tanθ=代入上式有v0h Lghr100.1625m/s75km/h L1.435学法指导：知道火车转弯时的向心力来源是分析解答此题的关键，另外，铁路弯到的半径r是根据地形条件决定的，晚稻处内、外轨道的高度差的选取不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关，利用数学近似处理得出上述三个量的关

v2L系是：h

rg训练1 解析：（1）由表中数据可知，每组的h与r之积为常数，hr＝660×50×103m2＝33m2。当r＝440m时，代入数据求得h＝75mm。

（2）内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示，则

hv2mgtanm（θ很小），tanθ＝sinθ＝，

Lr

- 5 -

所以 vghr1033m/s15m/s54Km/h L14351032v0例题2 解析：（1）若水恰不流出，则有mgm，所求最小速率

Lv0gL9.80.5m/s＝2.2m/s

v2(2)mgFNm

Lv20.59FNmmgN－0.5×9.8N＝4.1N

L0.5由牛顿第三定律知，水对桶底的压力FN′＝FN＝4.1N 答案：（1）2.2m/s （2）4.1N 训练2 答案：gr

例题3 解析：由于杆对球有支撑作用，小球达最高点时速度可以为0，故B正确，A错误；当最高点速度为gL，则只有重力提供做圆周运动的向心力，由此可见，此时干对球的作用力为0，若小球速度过大，又飞出的趋势时，对小球受力分析可

v2知mgF拉m，此时为拉力。若小球速度为0，对小球受力分析可知，

Lv2mgFNm0，则小球受到杆的支持力（即推力）为mg。

L由以上分析可知，小球在最高点受到的力可能是拉力，可能是推力，可能是0。 答案：B

训练3 答案：mg或0

例题4 答案：50m/s 1.0×105N

解析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大。汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过拱形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大，当汽车经过凹形桥面的最低点时，设桥面支持力为FN1，由牛顿第二定律得

v2FN1mgm，要求FN1≤2.0×105N

R解得允许的最大速度vm＝7.07m/s

由上面的分析可知，汽车经过拱形桥顶时对桥面的压力最小，设为FN2′，有

- 6 -

mgFN22vmm，解得FN2＝1.0×105N

R由牛顿第三定律知，FN2′与FN2等值反向。 训练4

gR

- 7 -