湖南省洞口一中2013届高三第五次月考数学(理)试题 Word版 含答案

数学试卷（理科）

命题人：萧丹枫 审题人：旷达

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集U = R，集合Ax|x4x02，B{x|x2}，则AB=（ ）

A.{x|x0} B.{x|0x2} C.{x|2x4} D.{x|0x4}

32i等于（ ） 23i A.i B. i C. 1213i D. 1213i

2.复数

3.若alog20.9,b3A.a＜b＜c 4．已知cos

13,c,则（ ）

D. a＜c＜b

1312B. b＜c＜a C.c＜a＜b

412，cos，、都是锐角，则cos=( ) 51363333363A. B. C. D.

656565655．公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，且3a1,a2,a3成等差数列，若a11，则

S4( )

A．20

x3B．0 C．7 D．40

6．函数ya2(a0,a1)的图像恒过定点A，若点A在直线

xy1(m,n0)，则3mn的最小值为（ ） mnA. 13 B.14 C. 16 D. 28.

1,x027. 已知符号函数sgn(x)0,x0，那么ysgn(xx2)的大致图象是（ ）

1,x0yyyy

111

o2xxxooo2x

A B C D

8．在平面斜坐标系xoy中，xoy45，点P的斜坐标定义为：“若OPx0e1y0e2（其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的坐标为(x0,y0)”．若

0F1(1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足MF1MF2，则点M在斜坐标系中的轨迹方程

为（ ）

A．x2y0

B．x2y0 C．2xy0 D．2xy0

二 、填空题： 本大题共7小题，每小题5分 ，共35分,把答案填在答卷中对应题号后的横线上. 9．已知221(k1)dx4则实数k的取值范围为 ．

10. 已知程序框图如下，则输出的i= ．

输出i结束开始S1i3是S100?否SS*iii2第10题 1lnx,x0,11. 函数fx 则fx1的解集为________．

1,x0,x2xy2012.设变量x,y满足约束条件x2y40，则目标函数z2y3x的最大值

x10为 ．

13. 已知sincos1，且0,，则22cos2的值为 ． sin4→→→→→→

14. 设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是直线AB上的一个动点，AP＝λAB，若OP·AB≥PA·PB，则实数λ的取值范围是 ．

15.在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai,j，且满足

第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … … … 第15题 a1,j2j1,ai,1i，ai1,j1ai,jai1,j(i,jN)，则此数表中

的第5行第3列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，

 为数列{bn}，则数列{bn}的通项公式为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分12分)

|x1|2,命题p:实数x满足x4ax3a0（其中a0），命题q:实数x满足x3

0.x222（1）若a1，且pq为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)3sinxcosxsinx23,xR． 2 (1) 求函数f(x)的最小值和最小正周期；

（2）已知ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c3,f(C)0，若向量

m(1,sinA)与n(2,sinB)共线，求a、b的值．

18. （本小题满分12分）

已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn

19. （本小题满分13分）

某企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，该企业产品的年销售量x万件与年促销费t万元间满足xan(an1)(nN*) 21,Tnb1b2...bn，求Tn． 2Sn3t1。已知2012年t1该企业的设备折旧，维修等固定费用为3 万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的产品正好能销售完。

（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

20．（本小题满分13分）

已知函数

（注：利润=销售收入—生产成本—促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

f(x)ln(exa)（a为常数，e是自然对数的底数）是实数集R上的奇函

数，函数g(x)f(x)sinx是区间[－1，1]上的减函数．

（1）求a的值；

（2）若g(x)tt1在x[1,1]及所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围； 21．（本小题满分13分）

2已知函数f(x)lnxa(x1). x1 （1）若函数f(x)在(0,)上为单调增函数，求a的取值范围； （2）设m，n为正实数，且mn,求证:

mnmn.

lnmlnn2

洞口一中2013届高三第五次月考数学试卷（理科）

参考答案及评分标准

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答卷中对应题号后的横线上。

9．［1，3］； 10． 9； 11．,10,e； 12．4； 13. 14； 222n114. 1－2≤λ≤1＋2 15．16，an2n1.(第15题前一空2分，后一空3分) 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. 解：（1）由x24ax3a20得(x3a)(xa)0，又a0，所以ax3a， 当a1时，1x3或x2,0,x2即q为真时实数x的取值范围是2x3. ···································································· 4分 若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,3). ······························· 6分 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 D 8 D （2）由（Ⅰ）知p：ax3a，则p：xa或x3a， ······································· 8分 q：2x3，则q：x2或x3， ·········································································· 10分

p是q的充分不必要条件，则pq，且qp，

0a2,∴解得1a2，故实数a的取值范围是(1,2]． ······································· 12

3a3,分 17(1)

．

解

：

f(x)3sinxcosxsin2x331sin2xcos2x1sin(2x)1 2226∴ f(x)的最小值为2，最小正周期为. ………………………………4分 （2）∵ f(C)sin(2C)10， 即sin(2C)1 6611∵ 0C，2C，∴ 2C，∴ C． ……6分

666623∵ m与n共线，∴ sinB2sinA0． 由正弦定理

ab， 得b2a, ①…………………………………8分 sinAsinB22∵ c3，由余弦定理，得9ab2abcos3， ②……………………10分

解方程组①②，得18.解：（1）∵Sn2a3． …………………………………………12分

b23an(an1)2，∴2Snanan ① 2 2Sn1an1an1(a2) ②

22由①－②得：2ananan1anan1 ……………2分

(anan1)(anan11)0，∵an0

∴anan11(n2)，又∵a1S1a1(a11)，∴a11 2∴ana1(n1)dn(n2) ……………5分

当n1时，a11，符合题意. ann……………6分 （2）∵Sn则Tn1an(an1)n(n1)111 ∴bn……………10分 n(n1)nn122111111n……………12分 1223nn1n1n11t,由题意，生产x（万件）产品正好销售完， 219. 解：（1）年生产成本=固定费用+年生产费用=32x+3,当销售x（万元）时，

年销售收入=150%（32x+3）+

t298t35(t0)…………7所以年利润=年销售收入—年生产成本—促销费，即y2(t1)分

（2）因为y50(t132t132，即t=7)5021642（万元）,当且仅当2t12t1时，ymax42……………13分

20．解：（1）f(x)ln(ea)是奇函数，则ln(exxa)ln(exa)恒成立．

∴(exa)(exa)1. 即1aexaexa21,

x∴a(eexa)0,a0.……………5分

'（2）由（I）知f(x)x,∴g(x)xsinx ∴g(x)cosx 又g(x)在[－1，1]上单调递减，g(x)0在[－1，1]上恒成立。

cosx对x[－1，1]恒成立，[-cosx]min=-1,∴1……………7分

22∵g(x)tt1 在x[1,1]上恒成立,即g(x)maxtt1

∴

g(x)maxg(1)=sin1

∴sin1tt1,即(t1)tsin110对1恒成立……………9分 令h()(t1)tsin11(1),则222t10t1tsin110,2…………11分

t12∴2 ，而ttsin10恒成立, t1．………13分 ttsin1021．（本小题满分13分）

1a(x1)a(x1)x2(22a)x1解：（1）f'(x)…………………………2分

x(x1)2x(x1)2因为函数f(x)在(0,)上为单调增函数，所以f'(x)0在(0,)上恒成立． 即x(22a)x10在(0,)上恒成立．

当x(0,)时，由x(22a)x10，得(2a2)x设g(x)x221 x1，x(0,) x1112x2，当且仅当x，即x1时，g(x)有最小值2． xxx因为g(x)x所以2a22即a2，所以a的取值范围是(,2]．…………………………6分

mm11mnmnnn（2）要证，只需证， mlnmlnn22lnn