一．（热点题型）新定义
1．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．
2．我们把按一定规律排列的一列数称为数列，若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a、b、c，总满足c＝a﹣b+ab，则称这个数列为理想数列．
（1）在数列①，，②3，﹣2，﹣1中，是理想数列的是 （填序号）；
2
3
4
1
1
1
（2）如果数列…，3，x，5x﹣6，…是理想数列，求x的值；
（3）若数列…，m，n，﹣3，…是理想数列，求代数式3mn+3（m﹣n）+8的值； （4）若不论m取何值，数列m，n，p，q都是理想数列，求p+q的值．
3．如图，直线l上依次有三个点A、B、C，AB＝16cm，BC＝14cm．点M从点A出发，沿直线l以每秒6cm的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；同时，点N从点B出发，沿直线l以每秒2cm的速度向点C运动，到达点C后停止．运动过程中，若AB＝nMN（n为大于1整数），则称是MN是AB的“n分时刻”．设点M的运动时间为ts． （1）当t＝2时，MN是AB的“ 分时刻”； （2）若MN是AB的“8分时刻”，求t的值；
（3）进一步探究发现，对于每一个不同的n的取值，符合条件的t的个数也在变化，请直接写出t的个数及对应的n的取值范围．
4．对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点P'，称这样的操作为点P的“m速移”，点P'称为点P的“m速移”点． （1）点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且|a+5|+（b﹣15）2＝0． ①若点A向右平移n秒的“5速移”点A′与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点A'与点B向右平移n秒的“1速移”点B'重合，求n； （2）数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点C'，如果C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，求点C表示的数；
（3）数轴上E，F两点间的距离为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点E'，点F向右平移2秒的“y速移”点为点F'，如果E'F'＝3EF，请直接用等式表示x，y的数量关系．
5．【数学概念】如图，A、B为数轴上不重合的两个点，P为数轴上任意一点，我们比较线段PA和PB的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．特别地，若线段PA和PB的长度相等，则将线段PA或PB的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．
【概念理解】如图①，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点P表示的数是﹣2，则点P到线段AB的“靠近距离”为 ；
（2）若点P表示的数是m，点P到线段AB的“靠近距离”为3，则m的值为 （写出所有结果）；
【概念应用】
（3）如图②，在数轴上，点P表示的数是﹣6，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为t秒，当点P到线段AB的“靠近距离”为2时，求t的值．
二．（经典题型）数形结合--方程与数轴
6．我们知道数轴上的点可以表示一个有理数或无理数，任意一个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示．这样形就可以用数来精准描述，而数也可以用形去直观体现，这就是我们常说的“数形结合”数学思想方法．数形结合数学思想常常可以帮我们直观地去分析问题并解决问题． 问题：（1）已知数a对应数轴上点A，且点A在原点左侧，OA＝3，则a＝ ；点B是该数轴上另外一点．若AB＝4，则点B表示的数是 ；
（2）若数轴上点C对应的数是4，点P、Q分别从A、C两点出发，分别以每秒2个长度单位、3个长度单位的速度同时沿数轴向左运动，设它们运动时间为t秒． ①用含t的代数式分别表示点P、Q对应的数； ②当PQ＝4时，求t的值；
③当t为何值时，P、A、Q中其中一点到另外两点距离相等？
7．如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上O、C间，且满足BC＝3OA，求此时A点对应的数；
（3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；
②当t＝10时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
8．已知线段AB＝8a（a是常数），点C和点F为直线AB上两点，点E在线段AB上，CE＝3AE，CF＝3BF．
（1）若点C恰好是线段AB的中点，点F在线段BC上，则EF＝ （用含a的代数式表示）；
（2）若点C在点B的右侧，EF的长是否是定长，若是定长，请求出这个定长；若不是，请说明理由．
9．（1）已知：如图1，点C在线段AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）已知：如图2，点C在线段AB上，AC+CB＝a，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点度
，
求
MN
的
长．
三．（新题型）存在性问题
10．如图，在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，点E在边BC上，且BE＝1，动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿路径A→B→E运动，同时动点Q从点D出发，以同样的速度沿DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒． （1）当x＝2秒时，线段AQ＝ ；
（2）当点P在AB边上运动时，已知图中阴影部分面积为，求x的值；
38
（3）在点P、Q运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP=3DQ？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
1
11．如图1，已知线段AE＝48Cm，点B、C、D在线段AD上，且AB：BC：CD：DE＝1：2：1：
2．
（1）BC＝ cm，CD＝ cm；
（2）已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D﹣E向点E运动；同时动点N从点E出发，以1cm/s的速度沿E﹣D﹣C﹣B﹣A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点A，运动停止；设运动的时间为t． ①求t为何值，线段MN的长为12cm；
②如图2，现将线段AE折成一个长方形ABCD（点A、E重合），请问：是否存在某一时刻，以点A、B、M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
12．（1）如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动． 设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇． ②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
（2）如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当△AME的面积等于9时，请求出t的值．
四．（执点题型）阅读类
13．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？ （2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”． ①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值． 14．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=3∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD=3∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线． 【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ °； （2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说
1
1
1
3明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
15．【探索新知】
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC＝3，则AB＝ ；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC DB；（填“＝”或“≠”） 【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置． （3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与图中以O、C、D中某两点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，直接写出D点所表示的数．
16．【问题提出】
七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．
①填空：如图（1），用一副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，它们是：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°， ，150°，165°．
②如果用两副三角板能画出140°吗？ ．（填“能”或“不能”） 【问题探究】
如图（2），现有17°、19°角的两种模板，∠BAC＝17°，∠EDF＝19°，请设计一种方案，只用给出的模板和铅笔画出1°角．
小明想出了一个方案，利用17°角模板画出1°角．动手操作：如图（3），M、O、N三点在一条直线上，∠BAC的顶点A与点O重合，AB边与射线ON重合，如图所示，将∠BAC绕点O逆时针旋转17°，得∠B1AC1，再将∠B1AC1绕点O逆时针旋转17°，得∠B2AC2，…，如此连续操作52次，再利用两个平角等于一个周角，可得1°的角，即：17°×53﹣180°×5＝1°． 请聪明的你设计一个方案，利用19°角模板画出1°角，并说明理由． 【问题拓展】
现将【问题探究】中两种模板按照如图（4）所示放置，即M、O、N三点在一条直线上，∠BAC与∠EDF的顶点A、D都与点O重合，AB、DE边与射线ON重合．动手操作：将∠BAC绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，同时∠EDF也绕点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方随之停止转动．设运动时间为t（秒）． ①当t为何值时，∠COF＝1°？
②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠COF的数量关系（数量关系中不能含
t）．
五．（超难题型）角的动边
17．若A、O、B三点共线，∠BOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠EDO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则∠COE＝ °；
（2）将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时∠COD=∠AOE，求运动时间t的值；
（3）将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒后，直线OC恰好平分∠DOE，求t的值．
14
18．如图，点O是直线AB上的一点，从点O引出一条射线OC，使∠AOC＝60°，射线OA、OB同时绕点O旋转．
（1）若两条射线OA、OB旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线OA、OB同时与射线OC重合，则射线OA与OB旋转的速度之比为 ；
（2）若两条射线OA、OB同时绕点O顺时针旋转，射线OA每秒旋转1°，射线OB每秒旋转5°，设旋转时间为t秒，0＜t＜180，当∠AOC＝∠BOC时，求t的值．
19．如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．
（1）如图（2），设∠AOE＝n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）； （2）若∠AOC＝40°．
①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．
六．（经典题型）一元一次方程的应用
20．近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整． 气量分档
调整前
第一档 第二档 第三档
年用气量≤300 300＜年用气量≤600 年用气量＞600
年用气量（立方米）
调整后 年用气量≤400 400＜年用气量≤1000 年用气量＞1000
价格（元/立方米） 2.73 3.28 3.82
人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．
（1）若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元；
（2）小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？ 21．某疫苗生产企业有A、B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，所用的加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，所用的加工时间为（2b+3）小时．
（1）第一天，该企业将5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，求分配到A生产线的吨数、B生产线的吨数分别是多少？
（2）第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，请探究m与n之间的数量关系． 22．某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：
寄往本省内
首重 8元/千克
续重 5元/千克
首重 12元/千克
寄往周边省份
续重 6元/千克
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．
首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为一个计重单位（不足0.5千克按0.5
千克计算）．
例如：寄往省内一件1.6千克的物品，运费总额为：8+5×（0.5+0.5）＝13元． 寄往省外一件2.3千克的物品，运费总额为：12+6×（1+0.5）＝21元． （下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）
（1）小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件2.8千克的物品，各需付运费多少元？ （2）小明寄往省内一件重（m+n）千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过0.5的小数（即0＜n≤0.5），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为 ； （3）小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？
一．（热点题型）新定义
1．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 C2或C3 ；
（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 70或50或110 ．
试题分析：（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可； （2）①根据点P所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；
②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”，点B是点A、点P的“联盟点”，点P是点A、点B的“联盟点”进行计算即可．
答案详解：解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4， 当点C1所表示的数是3时，
AC1＝5，BC1＝1，所以C1不是点A、点B的“联盟点”， 当点C2所表示的数是2时，
AC2＝4，BC2＝2，由于AC2＝2BC2，所以C2是表示点A、点B的“联盟点”， 当点C3所表示的数是0时，
AC3＝2，BC3＝4，由于2AC3＝BC3，所以C3是表示点A、点B的“联盟点”， 所以答案是：C2或C3；
（2）①设点P在数轴上所表示的数为x，
当点P在AB上时，若PA＝2PB，则x+10＝2（30﹣x），解得x=3， 若2PA＝PB时，则2（x+10）30﹣x，解得x=3，
当点P在点A的左侧时，由2PA＝PB可得2（﹣10﹣x）＝30﹣x，解得x＝﹣50，
10
50
综上所述，点P表示的数为②若点P在点B的右侧，
103
或
503
或﹣50；
当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB，即x+10＝2×（30+10）， 解得x＝70，
当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB， 即30+10＝2（x﹣30）或2×（30+10）＝x﹣30，解得x＝50或x＝110； 当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB，即x+10＝2×（x﹣30）， 解得x＝70；
所以答案是：70或50或110．
2．我们把按一定规律排列的一列数称为数列，若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a、b、c，总满足c＝a﹣b+ab，则称这个数列为理想数列．
（1）在数列①，，②3，﹣2，﹣1中，是理想数列的是 ② （填序号）；
2
3
4
1
1
1
（2）如果数列…，3，x，5x﹣6，…是理想数列，求x的值；
（3）若数列…，m，n，﹣3，…是理想数列，求代数式3mn+3（m﹣n）+8的值； （4）若不论m取何值，数列m，n，p，q都是理想数列，求p+q的值． 试题分析：（1）根据理想数列的定义对①②进行分析即可； （2）根据题意可列出相应的方程，解方程即可；
（3）根据理想数列可得到﹣3＝m﹣n+mn，再对所求的式子进行整理，整体代入运算即可； （4）由题意可得p＝m﹣n+mn，再结合条件可判断与m的取值无关，从而可得n＝﹣1，可求得p＝1，再求q，从而可得解． 答案详解：解：（1）①−
21
13
+
12
×
13
=
16
+
16
=
13
≠，故①不是理想数列；
4
1
②3﹣（﹣2）+3×（﹣2）＝5﹣6＝﹣1，故②是理想数列； 所以答案是：②；
（2）由题意得：5x﹣6＝3﹣x+3x， 解得：x＝3．
（3）由题意得：﹣3＝m﹣n+mn， ∴3mn+3（m﹣n）+8 ＝3（m﹣n+mn）+8
＝3×（﹣3）+8 ＝﹣9+8 ＝﹣1；
（4）由题意得：p＝m﹣n+mn，
∵不论m取何值，数列m，n，p，q都是理想数列， ∴与m无关，
∵p＝m﹣n+mn＝（n+1）m﹣n， ∴n＝﹣1，
∴p＝1，∴q＝n﹣p+np＝﹣1﹣1+（﹣1）＝﹣3 ∴p+q＝1+（﹣3）＝﹣2．
3．如图，直线l上依次有三个点A、B、C，AB＝16cm，BC＝14cm．点M从点A出发，沿直线l以每秒6cm的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；同时，点N从点B出发，沿直线l以每秒2cm的速度向点C运动，到达点C后停止．运动过程中，若AB＝nMN（n为大于1整数），则称是MN是AB的“n分时刻”．设点M的运动时间为ts．
（1）当t＝2时，MN是AB的“ 2 分时刻”； （2）若MN是AB的“8分时刻”，求t的值；
（3）进一步探究发现，对于每一个不同的n的取值，符合条件的t的个数也在变化，请直接写出t的个数及对应的n的取值范围．
试题分析：（1）当t＝2时，AM＝12，BN＝4，可得MN＝BN+BM＝4+4＝8，从而AB＝2MN，即得MN是AB的“2分时刻”；
（2）当0≤t≤5时，AM＝6t；当5＜t≤10时，AM＝30﹣6（t﹣5）＝60﹣6t；当0≤t≤7时，AN＝16+2t；由n＝8知MN=8AB＝2，而当M、N两点重合时，6t＝16+2t或60﹣6t＝16+2t，得t＝4或t＝5.5，分5种情况：①当 0≤t≤4时，16﹣4t＝2，②当4＜t≤5时，4t﹣16＝2，③当 5＜t≤5.5时，44﹣8t＝2，④当5.5＜t≤7时，8t﹣44＝2，⑤当7＜t≤10时，6t﹣30＝2，分别解方程可得，当t为或或2
27
9
214
1
或
234
时，点M、N达到“8分时刻”；
（3）分析方法同（2），可得当1＜n＜4时，有2个对应的t，当n＝4时，有3个对应的t，当n
＞4时，有4个对应的t．
答案详解：解：（1）当t＝2时，AM＝12，BN＝4，如图：
∴BM＝AB﹣AM＝26﹣12＝4， ∴MN＝BN+BM＝4+4＝8， ∴AB＝2MN，
∴MN是AB的“2分时刻”， 所以答案是：2；
（2）当0≤t≤5时，AM＝6t；当5＜t≤10时，AM＝30﹣6（t﹣5）＝60﹣6t； 当0≤t≤7时，AN＝16+2t； 若n＝8时，则MN=AB＝2，
当M、N两点重合时，6t＝16+2t或60﹣6t＝16+2t， 解得t＝4或t＝5.5， ①当 0≤t≤4时，
MN＝AN﹣AM＝（16+2t）﹣6t＝16﹣4t， ∴16﹣4t＝2， 解得 t=2； ②当4＜t≤5时，
MN＝AM﹣AN＝6t﹣（16+2t）＝4t﹣16， ∴4t﹣16＝2， 解得 t=； ③当 5＜t≤5.5时，
MN＝AM﹣AN＝（60﹣6t）﹣（16+2t）＝44﹣8t， ∴44﹣8t＝2， 解得 t=4， ④当5.5＜t≤7时，
MN＝AN﹣AM＝（16+2t）﹣（60﹣6t）＝8t﹣44，
219
27
18∴8t﹣44＝2， 解得 t=
23， 4⑤当7＜t≤10时，
MN＝AN﹣AM＝30﹣（60﹣6t）＝6t﹣30， ∴6t﹣30＝2， 解得 t=3（舍去）， 综上所述，当t为或或
2
27
9
214
16
或234
时，点M、N达到“8分时刻”；
（3）同（2）的方法可知，当1＜n＜4时，有2个对应的t，当n＝4时，有3个对应的t，当n＞4时，有4个对应的t．
4．对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点P'，称这样的操作为点P的“m速移”，点P'称为点P的“m速移”点． （1）点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且|a+5|+（b﹣15）2＝0． ①若点A向右平移n秒的“5速移”点A′与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点A'与点B向右平移n秒的“1速移”点B'重合，求n； （2）数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点C'，如果C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，求点C表示的数；
（3）数轴上E，F两点间的距离为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点E'，点F向右平移2秒的“y速移”点为点F'，如果E'F'＝3EF，请直接用等式表示x，y的数量关系．
试题分析：（1）①根据非负数的性质求出a，b的值，根据新定义列出方程，解方程即可得出答案；
②求出A′，B′表示的数，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，分三种情况分别计算即可； （3）设点E表示的数为c，点F表示的数为d，根据E'F'＝3EF列方程求解即可． 答案详解：解：（1）∵|a+5|≥0，（b﹣15）2≥0， ∴a+5＝0，b﹣15＝0， ∴a＝﹣5，b＝15．
①根据题意得：﹣5+5n＝15，
∴n＝4；
②点A′表示的数为﹣5+2n，点B′表示的数为15+n， 根据题意得﹣5+2n＝15+n， ∴n＝20；
（2）设点C表示的数为c，则点C′表示的数为c+6， 若点C′是CM的中点，则c+1＝2（c+6），解得c＝﹣11； 若点M是CC′的中点，则c+c+6＝2，解得c＝﹣2； 若点C是MC′的中点，则1+c+6＝2c，解得c＝7； 综上所述，点C表示的数为﹣11，﹣2或7； （3）设点E表示的数为c，点F表示的数为d，
则点E′表示的数为c+2x，点F′表示的数为d+2y，d﹣c＝3， ∵E'F'＝3EF，
∴|3+2（y﹣x）|＝3×3， ∴y﹣x＝﹣6或y﹣x＝3．
5．【数学概念】如图，A、B为数轴上不重合的两个点，P为数轴上任意一点，我们比较线段PA和PB的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．特别地，若线段PA和PB的长度相等，则将线段PA或PB的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．
【概念理解】如图①，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点P表示的数是﹣2，则点P到线段AB的“靠近距离”为 2 ；
（2）若点P表示的数是m，点P到线段AB的“靠近距离”为3，则m的值为 ﹣7或﹣1或5 （写出所有结果）；
【概念应用】
（3）如图②，在数轴上，点P表示的数是﹣6，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为t秒，当点P到线段AB的“靠近距离”为2时，求t的值．
试题分析：（1）由“靠近距离”的定义，可得答案；
（2）点P到线段AB的“靠近距离”为3时，分情况列出方程即可； （3）按照PA＝2和PB＝2分类讨论计算即可．
答案详解：解：（1）∵点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，若点P表示的数是﹣2， ∴PA＝﹣2+4＝2，PB＝2+2＝4，
∴则点P到线段AB的“靠近距离”为2， 所以答案是：2；
（2）根据两点间的距离可得， PA＝|m+4|，PB＝|2﹣m|，
∴当|m+4|＝3时，解得m＝﹣7或﹣1， 当|2﹣m|＝3时，解得m＝5或﹣1， 故m的值为﹣7或﹣1或5；
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是2t﹣6，点B表示的数是t+2， ∴PA＝|2t﹣6+3|＝|2t﹣3|，PB＝|（2t﹣6）﹣（t+2）|＝|t﹣8|， ∴当|2t﹣3|＝2时，解得t＝2.5或0.5， 当|t﹣8|＝2时，解得t＝10或6， 综上，t的值为2.5或0.5或10或6．
二．（经典题型）数形结合--方程与数轴
6．我们知道数轴上的点可以表示一个有理数或无理数，任意一个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示．这样形就可以用数来精准描述，而数也可以用形去直观体现，这就是我们常说的“数形结合”数学思想方法．数形结合数学思想常常可以帮我们直观地去分析问题并解决问题． 问题：（1）已知数a对应数轴上点A，且点A在原点左侧，OA＝3，则a＝ ﹣3 ；点B是该数轴上另外一点．若AB＝4，则点B表示的数是 1或﹣7 ；
（2）若数轴上点C对应的数是4，点P、Q分别从A、C两点出发，分别以每秒2个长度单位、3个长度单位的速度同时沿数轴向左运动，设它们运动时间为t秒．
①用含t的代数式分别表示点P、Q对应的数； ②当PQ＝4时，求t的值；
③当t为何值时，P、A、Q中其中一点到另外两点距离相等？
试题分析：（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①根据点P、Q的运动方向和运动速度可得答案； ②由题意得，|（﹣3﹣2t）﹣（4﹣3t）|＝4，解方程可得答案； ③分情况讨论，分别列方程可得答案．
答案详解：解：（1）∵点A在原点左侧，OA＝3， ∴a＝﹣3， ∵AB＝4，
∴当B在A的右侧时，点B表示的数是﹣3+4＝1，当B在A的左侧时，点B表示的数是﹣3﹣4＝﹣7，
所以答案是：﹣3，1或﹣7；
（2）①根据点P、Q的运动方向和运动速度可得， 点P表示的数是﹣3﹣2t，点Q表示的数是4﹣3t； ②由题意得，|（﹣3﹣2t）﹣（4﹣3t）|＝4， 解得t＝11或3；
③由题意得，PA＝|﹣3﹣2t+3|＝|﹣2t|，PQ＝|（﹣3﹣2t）﹣（4﹣3t）|＝|t﹣7|，AQ＝|4﹣3t+3|＝|7﹣3t|，
当PA＝PQ时，|﹣2t|＝|t﹣7|，解得t=或﹣7（舍）， 当PA＝AQ时，|﹣2t|＝|7﹣3t|，解得t=或7， 当AQ＝PQ时，|7﹣3t|＝|t﹣7|，解得t=2或0， 故t的值为，，7，，0．
3
5
2
7
7
7
77
5737．如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在
B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为 20 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上O、C间，且满足BC＝3OA，求此时A点对应的数；
（3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；
②当t＝10时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
试题分析：（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20； （2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OA，即得OA＝40×1+3=10； （3）①B、C重合时t=
60−3010
=15，即得15m＝60﹣10，故m=； 231
②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案． 答案详解：解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合， ∴AB＝BC，
∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． ∴OA＝AB， ∴OA＝AB＝BC， ∵OC＝60， ∴AB＝60×3=20， 所以答案是：20；
（2）∵AB＝20，OC＝60，
1
∴OA+BC＝40， ∵BC＝3OA， ∴OA＝40×1+3=10， ∴A点对应的数是10；
（3）①由（2）知，B运动前表示的数是30，
∵直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动， ∴B、C重合时t=
60−30
=15（秒）， 21
根据题意得：15m＝60﹣10， ∴m=
10
， 3103
答：m的值是；
②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60， （Ⅰ）当B是P、C中点时， 依题意有10+10m+60＝50×2， 解得m＝3；
（Ⅱ）当B与P重合时， 依题意有10+10m＝50， 解得m＝4；
（Ⅲ）当P是B、C中点时， 依题意有50+60＝2（10+10m）， 解得m＝4.5；
（Ⅳ）当P与C重合时，10+10m＝60； 解得m＝5，
（Ⅴ）当C是P、B中点时， 依题意有10+10m+50＝60×2， 解得m＝6．
综上所述，m的值是3或4或4.5或5或6．
8．已知线段AB＝8a（a是常数），点C和点F为直线AB上两点，点E在线段AB上，CE＝3AE，CF＝3BF．
（1）若点C恰好是线段AB的中点，点F在线段BC上，则EF＝ 6a （用含a的代数式表示）； （2）若点C在点B的右侧，EF的长是否是定长，若是定长，请求出这个定长；若不是，请说明理由．
试题分析：（1）首先根据中点的定义和线段之间的比例得到CE＝3a，CF＝3a，进而可得EF的长；
（2）分两种情况：①当点F在点B的右侧时，②当点F在点B的左侧时，再根据线段的和差可得结论．
答案详解：解：（1）如图，
∵AB＝8a，点C是线段AB的中点， ∴AC＝BC=2AB＝4a， ∵CE＝3AE，CF＝3BF，
∴CE=4AC＝3a，CF=4CB＝3a， ∴EF＝CE+CF＝3a+3a＝6a， 所以答案是：6a；
（2）如图，当点F在点B的右侧时，
∵CE＝3AE，CF＝3BF， ∴CE=4AC，CF=4CB，
∴EF＝CE﹣CF=4AC−4CB=4AB＝6a（a是常数）， 此时EF的长是定值；
如图，当点F在点B的左侧时，
设BC＝b，
3
3
3
3
3
3
3
1
∵CE＝3AE，CF＝3BF，
∴CE=AC＝6a+b，CF=CB=b，
∴EF＝CE﹣CF=AC−CB＝6a+b−b＝6a−b． 此时EF的长随b的变化而变化，不是定值．
综上，当点F在点B的左侧时，EF的长是定值6a；当点F在点B的左侧时，EF的长不是定值． 9．（1）已知：如图1，点C在线段AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）已知：如图2，点C在线段AB上，AC+CB＝a，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点度
，
求
MN
的
长．
3
43234323434343232
试题分析：（1）根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长； （2）根据线段中点的定义可得MC和NC，进而可得MN的长； （3）根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长． 答案详解：解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC=2AC=2×15=7.5，NC=2BC=2×5=2.5， ∴MN＝MC+NC＝7.5+2.5＝10；
（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC=2AC，NC=2BC，
∴MN＝MC+NC=2AC+2CB=2（AC+CB）=2a； （3）如图3，
∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC=2AC＝7.5，NC=2BC＝2.5，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
∴MN＝MC﹣NC=2AC−2CB＝7.5﹣2.5＝5．
11
三．（新题型）存在性问题
10．如图，在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，点E在边BC上，且BE＝1，动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿路径A→B→E运动，同时动点Q从点D出发，以同样的速度沿DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒． （1）当x＝2秒时，线段AQ＝ 1 ；
（2）当点P在AB边上运动时，已知图中阴影部分面积为，求x的值；
38
（3）在点P、Q运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP=3DQ？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
1
试题分析：（1）当x＝2时，DQ＝2，由AD＝3，结合AQ＝AD﹣DQ可得答案；
（2）当点P在AB上运动时，DQ＝x，AQ＝AD﹣DQ＝3﹣x，AP＝x，BP＝AB﹣AP＝2﹣x，根据S阴影＝S矩形ABCD﹣S梯形CDQE﹣S△BPE建立关于x的方程求解即可；
（3）分点P在AB上运动和点P在BE上运动两种情况，根据BP=3DQ得到关于x的方程求解即可．
答案详解：解：（1）当x＝2时，DQ＝2， ∵AD＝3，
∴AQ＝AD﹣DQ＝1， 所以答案是：1；
（2）当点P在AB上运动时，DQ＝x，AQ＝AD﹣DQ＝3﹣x，AP＝x，BP＝AB﹣AP＝2﹣x， ∵S阴影＝S矩形ABCD﹣S梯形CDQE﹣S△BPE， ∴6−2×（2﹣x）−2×（x+2）×2=3， 解得x=3；
21
1
8
1
（3）存在x的值，
当点P在AB上运动时，2﹣x=3x，解得x=2； 当点P在BE上运动时，x﹣2=x，解得x＝3； 综上，存在x的值为或3．
23
131
3
11．如图1，已知线段AE＝48Cm，点B、C、D在线段AD上，且AB：BC：CD：DE＝1：2：1：2．
（1）BC＝ 16 cm，CD＝ 8 cm；
（2）已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D﹣E向点E运动；同时动点N从点E出发，以1cm/s的速度沿E﹣D﹣C﹣B﹣A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点A，运动停止；设运动的时间为t． ①求t为何值，线段MN的长为12cm；
②如图2，现将线段AE折成一个长方形ABCD（点A、E重合），请问：是否存在某一时刻，以点A、B、M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过或线段图列方程求得；
（3）分为相遇前（点M在BC上，N在AD上），此时CM＝AN即可列出方程求得，当M点返回时，点M在AD上，点N在BC上，此时AM＝CN，列出方程求得， 答案详解：解：（1）BC＝48×1+2+1+2=16，CD＝48×1+2+1+2=8， 所以答案是：16，8；
（2）①当M、N第一次相遇时，t=1+2=16s，当M到达E点时，t=2=24s， 如图1，
48
48
2
1
当0＜t＜16时， 2t+12+t＝48， ∴t＝12， 如图2，
当12＜t＜24时， 2t﹣12+t＝48， ∴t＝20， 如图3，
当24＜t＜48时， t＝2t﹣48+12， ∴t＝36，
综上所述：t＝12s或20s或36s； ②如图4，
当0＜t＜16时， 由AN＝CM得， 24﹣2t＝t， ∴t＝8， 如图5，
当24≤t＜32时， 2t﹣48＝t﹣24， ∴t＝24，
此时点M在A点，点N在C点，不能形成四边形，故舍去， 综上所述：t＝8s．
12．（1）如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动． 设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇． ②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
（2）如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当△AME的面积等于9时，请求出t的值．
试题分析：（1）①点P和点Q第一次相遇，P比Q多运动10个单位，可得3x﹣x＝5×2，即可解得答案；
②点P和点Q第二次相遇，P比Q多运动30个单位，列方程即可解得答案；
（2）由已知可得CE＝2，分三种情况分别列方程：①当M在AB上，即t≤2时，×2t×6＝9，
21
②当M在BC上，即2＜t≤5时，×（2+4）×6−2×4×（2t﹣4）−2×2×（4+6﹣2t）＝9，③
2
1
11
当M在CE上，即5＜t≤6时，×（4+6+2﹣2t）×6＝9，即可解得答案．
2
1
答案详解：解：（1）①根据题意得：3x﹣x＝5×2， 解得x＝5，
答：当x为5时，点P和点Q第一次相遇， ②根据题意得：3x﹣x＝5×2+4×5， 解得x＝15，
答：当x为15时，点P和点Q第二次相遇； （2）由已知可得CE＝2，
①当M在AB上，即t≤2时，如图：
根据题意得：×2t×6＝9，
21
解得t=，
②当M在BC上，即2＜t≤5时，如图：
3
2
根据题意得：×（2+4）×6−×4×（2t﹣4）−×2×（4+6﹣2t）＝9，
21
1212解得t=2，
③当M在CE上，即5＜t≤6时，如图：
7
根据题意得：×（4+6+2﹣2t）×6＝9，
21
解得t=2（不符合题意，舍去），
综上所述，当△AME的面积等于9时，t的值为秒或秒．
2
23
7
9
四．（执点题型）阅读类
13．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？ （2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”． ①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
试题分析：（1）根据题意画出图形可得结论；
（2）分别计算出角的度数可得结论；
（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值． 答案详解：解：（1）①如图，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
②如图，∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB．
综上，∠AOC+∠BOC＝∠AOB或∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB； （2）有，射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD． 如图，
理由：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°， 则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°， 因为∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BOC＝∠BOD＝45°，
∴射线OB平分∠COD． 又∠BOD＝45°=∠AOB， ∴射线OD平分∠AOB； （3）①是．理由：
第（2）问中∠AOB＝90°，∠AOC＝135°，∠BOC＝45°， 则∠AOB＝2∠BOC，
所以OC是∠AOB的“优线”；
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t， 当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°， ∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AOB＝2∠AOC时，∠AOC＝45°， ∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°， ∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°， ∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°， ∴15t＝180，解得t＝12． 综上，t＝2，3，4，9，12． 14．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=3∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=3∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD=∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线． 【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 40 °； （2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
1
31
1
12①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
试题分析：（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC=∠AOD，即2t°=（180°﹣3t°），（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC=∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°=（180°﹣3t°），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好线∠COD=∠AOC，即3t°+2t°﹣180°=
1
1
1
31
×2t°，313131313（Ⅳ）OD是OA的友好线，∠AOD=3∠AOC，即180°﹣3t°=3×2t°，分别解方程即可． 答案详解：解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线， ∴∠AOM=∠AOB＝40°， 所以答案是：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况： 在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°， ∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°， ∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°； ②相遇之前，
1
3（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC=3∠AOD，即2t°=3（180°﹣3t°）， ∴t＝20； （Ⅱ）如图：
1
1
OC是OD的友好线时，
∠DOC=3∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°=3（180°﹣3t°）， ∴t＝30； 相遇之后： （Ⅲ）
1
1
OD是OC的友好线，
∠COD=∠AOC，即3t°+2t°﹣180°=∴t=13， （Ⅳ）
540
1
31
×2t°， 3
OD是OA的友好线，
∠AOD=3∠AOC，即180°﹣3t°=3×2t°， ∴t=
540
， 1154013
1
1
综上所述，当t为20秒或30秒或一条射线的友好线． 15．【探索新知】
秒或
54011
秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC＝3，则AB＝ 3π+3 ；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC ＝ DB；（填“＝”或“≠”） 【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置． （3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与图中以O、C、D中某两点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，直接写出D点所表示的数．
试题分析：（1）根据线段之间的关系代入解答即可； （2）根据线段的大小比较即可；
（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM＝x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度；
（4）根据圆周率伴侣线段的定义可求D点所表示的数． 答案详解：解：（1）∵AC＝3，BC＝πAC， ∴BC＝3π，
∴AB＝AC+BC＝3π+3． 所以答案是：3π+3；
（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合， ∴BC＝πAC，AD＝πBD，
∴设AC＝x，BD＝y，则BC＝πx，AD＝πy， ∵AB＝AC+BC＝AD+BD， ∴x+πx＝y+πy， ∴x＝y ∴AC＝BD 所以答案是：＝．
（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM＝x， x+πx＝π+1，解得x＝1， ∴MN＝π+1﹣1﹣1＝π﹣1；
（4）D点所表示的数是1、π、π++2、π2+2π+1． 16．【问题提出】
七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．
①填空：如图（1），用一副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，它们是：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°， 135° ，150°，165°． ②如果用两副三角板能画出140°吗？ 不能 ．（填“能”或“不能”） 【问题探究】
如图（2），现有17°、19°角的两种模板，∠BAC＝17°，∠EDF＝19°，请设计一种方案，只用给出的模板和铅笔画出1°角．
小明想出了一个方案，利用17°角模板画出1°角．动手操作：如图（3），M、O、N三点在一条直线上，∠BAC的顶点A与点O重合，AB边与射线ON重合，如图所示，将∠BAC绕点O逆时针旋转17°，得∠B1AC1，再将∠B1AC1绕点O逆时针旋转17°，得∠B2AC2，…，如此连续操
1
𝜋作52次，再利用两个平角等于一个周角，可得1°的角，即：17°×53﹣180°×5＝1°． 请聪明的你设计一个方案，利用19°角模板画出1°角，并说明理由． 【问题拓展】
现将【问题探究】中两种模板按照如图（4）所示放置，即M、O、N三点在一条直线上，∠BAC与∠EDF的顶点A、D都与点O重合，AB、DE边与射线ON重合．动手操作：将∠BAC绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，同时∠EDF也绕点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方随之停止转动．设运动时间为t（秒）． ①当t为何值时，∠COF＝1°？
②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠COF的数量关系（数量关系中不能含
t）．
试题分析：【问题提出】①根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； ②根据用两副三角板可以直接画出角的度数也是15的倍数可解答； 【问题探究】根据利用17°角画出1°角的过程可得解决方法； 【问题拓展】①用含t的代数式表示∠COF，再根据方程可得答案；
②用含t的代数式分别表示∠COF和∠NOC，再根据结果不能含t，整理即可得到结论． 答案详解：解：【问题提出】：①用一副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，角的度数是15的倍数，
所以这些角是度数是15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°． 所以答案是：135°；
②用两副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，角的度数也是15的倍数， 而140°不是15的倍数，所以不能画出140°的角．
所以答案是：不能；
【问题探究】：如图，M、O、N三点在一条直线上，∠FDE的顶点D与点O重合，DE边与射线ON重合，如图所示，将∠EDF绕点O逆时针旋转17°，如此连续旋转，操作19次，再利用两个平角等于一个周角，可得1°的角，即：19°×19﹣180°×2＝1°．
【问题拓展】：
①由题意可得，∠NOC＝17°+3t，∠NOF＝19°+2t， ∴∠COF＝|（17°+3t）﹣（19°+2t）|＝|t﹣2°|， ∴|t﹣2°|＝1°， 解得t＝1或3．
答：当t为1或3时，∠COF＝1°；
②由题意，∠BAC旋转一周时，t=3=120； ∠EDF旋转一周时，t=∴0≤t≤120，
当射线OC旋转到与射线OM重合时，t=当射线OC旋转到与ON重合时，t=
1180−17
=54， 33
360
=180， 2360
1360−17=114， 33
当射线OC旋转到与OF此时，t=3−2=2，
当0≤t≤2时，∠NOC＝（3t+17）°，∠COF＝（2﹣t）°，则∠NOC+3∠COF＝23°； 当2＜t≤54时，∠NOC＝（3t+17）°，∠COF＝（t﹣2）°，则∠NOC﹣3∠COF＝23°；
31
19−17
当54＜t≤114时，∠NOC＝（360﹣3t﹣17）°＝（343﹣3t）°，∠COF＝（t﹣2）°，则∠
3
3
11
NOC+3∠COF＝337°，
当114＜t≤120时，∠NOC＝（3t+17﹣360）°＝（3t﹣343）°，∠COF＝（t﹣2）°则3∠COF
31
﹣∠NOC＝337°，
综上，∠NOC﹣3∠COF＝23°或∠NOC+3∠COF＝23°或∠NOC+3∠COF＝337°或3∠COF﹣∠NOC＝337°．
五．（超难题型）角的动边
17．若A、O、B三点共线，∠BOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠EDO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则∠COE＝ 50 °；
（2）将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时∠COD=∠AOE，求运动时间t的值；
（3）将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒后，直线OC恰好平分∠DOE，求t的值．
1
4
试题分析：（1）由余角的性质即可求解． （2）由角的数量关系列出等式求解即可． （3）分两种情况讨论即可．
答案详解：解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣40°＝50°． 所以答案是：50．
（2）∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2t°﹣40°，∠AOE＝90°﹣2t°， ∵∠COD=4∠AOE，
∴2t°﹣40°=4（90°﹣2t°）， 解得t＝25． 即运动时间为25秒．
11
（3）图2中∠AOE＝90°﹣2t°＝40°，∠D1OE1＝∠DOE＝90°， ∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转一周， 情况①如图所示：
经过t秒后，∠EOE1＝5t°， ∵直线OC恰好平分∠DOE， ∴∠𝐶𝑂𝐸1=2∠𝐷1𝑂𝐸1=45°，
∵∠BOC＝40°，∠AOC＝∠AOE+∠EOE1+∠COE1＝140°， 即40°+5t°+45°＝140°， 解得：t＝11． 情况②如图：
1
此时有：5t°﹣10°﹣45°＝180°， 解得t＝47． 故t的值为11或47．
18．如图，点O是直线AB上的一点，从点O引出一条射线OC，使∠AOC＝60°，射线OA、OB同时绕点O旋转．
（1）若两条射线OA、OB旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线OA、OB同时与射线OC重合，则射线OA与OB旋转的速度之比为 1：2或5：4 ；
（2）若两条射线OA、OB同时绕点O顺时针旋转，射线OA每秒旋转1°，射线OB每秒旋转
5°，设旋转时间为t秒，0＜t＜180，当∠AOC＝∠BOC时，求t的值．
试题分析：（1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转，②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转，根据射线OA与OB旋转的角度即可得到结论；
（2）分四种情况讨论：①当0＜t≤5即0＜t≤48时，②当48＜t≤60时，③当60＜t≤5即60＜t≤72时，④当72＜t＜180时，根据∠AOC＝∠BOC即可得到结论．
答案详解：解：（1）设旋转时间为x秒，①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转时， 由题意得：∴
𝑣𝑂𝐴𝑣𝑂𝐵
12𝑣𝑂𝐴⋅𝑥𝑣𝑂𝐵⋅𝑥
240
360
=
60120
，
=，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：∴
𝑣𝑂𝐴𝑣𝑂𝐵
54𝑣𝑂𝐴⋅𝑥𝑣𝑂𝐵⋅𝑥
=
360−60180+60
，
=，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为5：4；
综上，射线OA与OB旋转的速度之比为1：2或5：4， 所以答案是：1：2或5：4；
（2）①当0＜t≤5即0＜t≤48时， 由题意得：60﹣t＝240﹣5t， 解得：t＝45； ②当48＜t≤60时， 由题意得：5t﹣240＝60﹣t， 解得：t＝50；
240
③当60＜t≤
360
即60＜t≤72时， 5由题意得：t﹣60＝5t﹣240， 解得：t＝45（不合题意，舍去）； ④当72＜t＜180时，
由题意得：t﹣60＝240﹣（5t﹣360）或t﹣60＝（5t﹣360）﹣240或t﹣60＝240﹣（5t﹣720）， 解得：t＝110或135或170；
综上，t的值为45或50或110或135或170．
19．如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．
（1）如图（2），设∠AOE＝n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）； （2）若∠AOC＝40°．
①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．
试题分析：（1）利用角的和差关系求解∠BOF，再利用角平分线的含义求解∠DOF即可； （2）①设∠COE＝β，再利用角的和差关系依次求解∠AOE＝40°﹣β，∠AOF＝50°+β，∠BOF＝130°﹣β，可得答案；
②由题意可得：OE与OA重合是第8秒，停止是第36秒，再分三种情况讨论：当0＜t＜8时，
∠AOE＝90°﹣5t，∠DOF＝40°﹣5t；当8＜t＜18时，∠AOE＝90°﹣5t，∠DOF＝5t﹣40°；当18＜t＜36时，∠AOE＝5t﹣90°，∠DOE＝5t﹣40°，再利用互余列方程解方程即可． 答案详解：解：（1）∵∠AOB＝180°，∠EOF＝90°，∠AOE＝n°， ∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣n°， ∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝∠BOF＝90°﹣n°；
（2）①设∠COE＝β，则∠AOE＝40°﹣β， ∴∠AOF＝90°﹣（40°﹣β）＝50°+β，
∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣（50°+β）＝130°﹣β， ∴∠COE+∠BOF＝130°；
②由题意可得：OE和OA重合是第18秒，OE和OD重合是第8秒，停止是第36秒， 当0＜t＜8时，∠AOE＝90°﹣5t，∠DOF＝40°﹣5t， 则90﹣5t+40﹣5t＝90， ∴t＝4，
当8＜t＜18时，∠AOE＝90°﹣5t，∠DOF＝5t﹣40°， 则90﹣5t+5t﹣40＝90， 方程无解，不成立，
当18＜t＜36时，∠AOE＝5t﹣90°，∠DOE＝5t﹣40°， 则5t﹣90+5t﹣40＝90， ∴t＝22，
综上所述t＝4秒或22秒．
六．（经典题型）一元一次方程的应用
20．近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整． 气量分档
调整前
第一档 第二档
年用气量≤300 300＜年用气量≤600
年用气量（立方米）
调整后 年用气量≤400 400＜年用气量≤1000
价格（元/立方米） 2.73 3.28
第三档 年用气量＞600 年用气量＞1000 3.82
人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．
（1）若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 3233.2 元，调整后气费为 3016 元；
（2）小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？ 试题分析：（1）根据调整前后的政策分别计算即可；
（2）设小红家年用气量为x立方米，分四种情况，计算出小红家年用气费用，根据调整后比调整前气费节省109元，列方程求解即可．
答案详解：解：（1）调整前：360×2.73+（600+120﹣360）×3.28+（1000﹣600﹣120）×3.82＝3233.2（元）；
调整后：480×2.73+（1000﹣480）×3.28＝3016（元）； 所以答案是：3233.3，3016； （2）设小红家年用气量为x立方米， ①300＜x≤400时，
调整前：300×2.73+（x﹣300）×3.28＝（3.28x﹣165）元； 调整后：2.73x（元），
∴调整后比调整前气费节省3.28x﹣165﹣2.73x＝（0.55x﹣165）元； ∵300＜x≤400，
∴0＜0.55x﹣165≤55，不合题意； ②400＜x≤600时，
调整前：300×2.73+（x﹣300）×3.28＝（3.28x﹣165）元； 调整后：400×2.73+3.28（x﹣400）＝（3.28x﹣220）元；
∴调整后比调整前气费节省3.28x﹣165﹣（3.28x﹣220）＝55（元），不合题意； ③600＜x≤1000时，
调整前：300×2.73+（600﹣300）×3.28+（x﹣600）×3.82＝（3.82x﹣489）元； 调整后：400×2.73+3.28（x﹣400）＝（3.28x﹣220）元；
∴调整后比调整前气费节省3.82x﹣489﹣（3.28x﹣220）＝0.54x﹣269， 由题意得：0.54x﹣269＝109，
解得：x＝700，
∴小红家年用气量，700立方米； ④x＞1000时，
调整前：300×2.73+（600﹣300）×3.28+（x﹣600）×3.82＝（3.82x﹣489）元； 调整后：400×2.73+3.28×（1000﹣400）+（x﹣1000）×3.82＝（3.82x﹣760）元； ∴调整后比调整前气费节省3.82x﹣489﹣（3.82x﹣760）＝271（元），不合题意； 综上，小红家年用气量，700立方米．
21．某疫苗生产企业有A、B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，所用的加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，所用的加工时间为（2b+3）小时．
（1）第一天，该企业将5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，求分配到A生产线的吨数、B生产线的吨数分别是多少？
（2）第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，请探究m与n之间的数量关系．
试题分析：（1）设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5﹣x）吨，由题意得：4x+1＝2（5﹣x）+3，求解即可；
（2）由题意可得第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料，再根据加工时间相同可得二元一次方程：4（2+m）+1＝2（3+n）+3，进而可得m与n之间的数量关系．
答案详解：解：（1）设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5﹣x）吨， 由题意得：
4x+1＝2（5﹣x）+3， 解得：x＝2，
∴分配到B生产线的吨数为：5﹣2＝3（吨），
答：分配到A生产线的原料为2吨，分配到B生产线的原料为3吨；
（2）∵第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料，且加工时间相同， ∴4（2+m）+1＝2（3+n）+3，
解得：m=2n．
22．某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：
寄往本省内
首重 8元/千克
续重 5元/千克
首重 12元/千克
寄往周边省份
续重 6元/千克
1
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．
首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为一个计重单位（不足0.5千克按0.5
千克计算）．
例如：寄往省内一件1.6千克的物品，运费总额为：8+5×（0.5+0.5）＝13元． 寄往省外一件2.3千克的物品，运费总额为：12+6×（1+0.5）＝21元． （下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）
（1）小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件2.8千克的物品，各需付运费多少元？ （2）小明寄往省内一件重（m+n）千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过0.5的小数（即0＜n≤0.5），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为 （5m+5.5）元 ； （3）小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？ 试题分析：（1）根据表中给出的运费计算方式分别计算运费即可； （2）由题意得，8+5（m﹣1+0.5）＝5m+5.5；
（3）设小明寄件的物品重（m+n）千克，m为正整数，n为大于等于0而小于1的数（即0≤n＜1），分①n＝0时，②0＜n≤0.5时，③0.5＜n＜1时三种情况，再分别列方程可得解． 答案详解：解：（1）寄往省内一件3千克的物品需付运费：8+5×（3﹣1）＝18 （元）， 寄往省外一件2.8千克的物品需付运费：12+6×（1+0.5+0.5）＝24 （元）．
所以寄往省内一件3千克的物品需付运费18元，寄往省外一件2.8千克的物品需付运费24元； （2）由题意得，8+5（m﹣1+0.5）＝5m+5.5， 所以小明这次寄件的运费为（5m+5.5）元． 所以答案是：（5m+5.5）元；
（3）设小明寄件的物品重（m+n）千克，m为正整数，n为大于等于0而小于1的数（即0≤n＜1），
①当n＝0时，12+6（m﹣1）＝36，解得：m＝5，
②0＜n≤0.5时，12+6 （m﹣1+0.5）＝36，解得：m＝4.5 （不是正整数，舍去）， ③0.5＜n＜1时，12+6 （m﹣1+0.5+0.5）＝36 解得：m＝4． 所以小明这次寄件物品的重量范围为大于4.5kg但不超过5kg．
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