2021年初中数学 真题汇编 专题33：几何综合压轴问题(学生版)

专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC中，BAC90．点E，F分别为AB，1．，将线段AH绕点A逆时针方向旋转90得到AG，连AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合）接GC，HB．（1）证明：AHB≌AGC；（2）如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有HFG90；②若ABAC4，当EH的长度为多少时，AQG为等腰三角形？（2021·湖北中考真题）问题提出如图（1），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCAC，2．ECDC，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．13．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD为ABC的角平分线，ADC60，点E在AB上，AEAC．求证：DE平分ADB．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FBFC，DG2，CD3，求BD的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD,BCA2DCA，点E在AC上，若EDCABC．BC5,CD25,AD2AE，求AC的长．4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD内接于O，BD为直径，AD上存在点E，满足AECD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．（1）若DBC，请用含的代数式表列AGB．（2）如图2，连结CE,CEBG．求证；EFDG．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD2．①若tanADB

3，求FGD的周长．2②求CG的最小值．25．（2021·浙江中考真题）在扇形AOB中，半径OA6，点P在OA上，连结PB，将OBP沿PB折叠得到OBP．（1）如图1，若O75，且BO与AB所在的圆相切于点B．①求APO的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO与AB相交于点D，若点D为AB的中点，且PD//OB，求AB的长．6．（2021·浙江中考真题）已知在△ACD中，Р是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC,AP．（1）如图1，若ACB90,CAD60,BDAC,AP3，求BC的长．（2）过点D作DE//AC，交AP延长线于点E，如图2所示．若CAD60,BDAC，求证：BC2AP．（3）如图3，若CAD45，是否存在实数m，当BDmAC时，BC2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，7．ABCBCD，作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如图2，若AB9，CD5，ECFAED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BE

的值．EC38．（2021·四川中考真题）在等腰ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若C60°，点D关于直线AB的对称点为点E，结AE，DE，则BDE________；（2）若C60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若ABAD

k，且ADEC，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．BCDE

9．（2021·山东中考真题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且BDCD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CDED；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CFCH，如图2，求证：CFAFFOAH；②若圆的半径为2，BD1，如图3，求AC的值．410．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．511．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则EAF度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则AEF在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证△ANP≌△FNE：．（2）若AB

度．3，则线段AP的长为．12．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC中，ABAC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且ATBN，连接BT．（1）求证：BNCN；（2）在如图中AN上取一点O，使AOOC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得如图．①求证：TOM∽AOC；②设TM与AC相交于点P，求证：PD//CM,PD

1

CM．26（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝42，点A是⊙O上的一个动点13．（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：平行四边形ABCD是菱形；②求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．①求AB的长；②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60,30,15等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN交BC于点P，如图13-3所示，试判定BMP的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若ABa，BCb，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符（1）中的等边三角形BMP？715．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AFCE．（1）求证：DCE≌DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DHEF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB,HC．①求证：HDHB；②若DKHC

2，求HE的长．16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DEAF,DEAF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BHAE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G，DEAF,AED60,AE6,BF2，求DE的长．817．（2021·四川中考真题）如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EFBE，连接AF、BF．（1）求证：ABF∽CBE；（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求PMN的度数及MN

的值；PM（3）在（2）的条件下，若BC2，直接写出PMN面积的最大值．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD中，18．BEAD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'BCD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此ABCD的面积为20，边长AB5，BC25，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．919．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．答案：EF2．ABCD中，AB8，AD5，DAB，ABC的平分线AE，BF探究：（1）把“问题”中的条件“AB8”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“AB8，AD5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求AD

的值．AB

20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转090，得到矩形AB'C'D'

[探究1]如图1，当90时，点C'恰好在DB延长线上．若AB1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC'，过点D'作D'M//AC'交BD于点M．线段D'M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），MN，PN存在一定的数量关系，并加以证明．1021．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形ABCD中，ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE^BC，ÐEAF=ÐABC时，①求证：AEAF；ＳＡＥＦEF2

，求②连结BD，EF，若的值；ＳBD5菱形ABCD

1（2）当EAFBAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若2AB4，AC2，则当CE为何值时，AMN是等腰三角形．22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF//AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．1123．（2020·广西中考真题）已知：在矩形ABCD中，AB6，AD23，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB_______________，EF_____________；（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．①求证：四边形MEPF是平行四边形：②当tanMAD

1

时，求四边形MEPF的面积．324．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是关系是；1

∠ACB，2．线段BE与线段CF的数量②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．1225．（2021·天津中考真题）已知ABC内接于O,ABAC,BAC42，点D是O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为O的直径，连接CD，求DBC和ACD的大小；O的切线，与OC的延长线交于点E，求E的大小．（Ⅱ）如图②，若CD//BA，连接AD，过点D作26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形ABC内接于点F，连接BG．O，BAC的平分线AG交O于点G，交BC边于(1)求证：ABG∽△AFC．．(2)已知AB=a，ACAFb，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）(3)已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），ABDCBE，求证：BG2GEGD．1327．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一28．个引理．如图，已知AB,C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．1429．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，将线段BC绕点A旋转可以得到心的“关联线段”．O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若O的弦BC（B,C分别是B,C的对应点），则称线段BC是O的以点A为中（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，O的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC是边长为1的等边三角形，点A0,t，其中t0．若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在ABC中，AB1,AC2．若BC是以及相应的BC长．O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BODO），OEAB，垂足为E，以OE为半径的O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．（1）求证：BC是O的切线；（2）若G是OF的中点，OG2，DG1．①求HE的长；②求AD的长．15（2021·山东中考真题）如图，在31．O中，AB是直径，弦CDAB，垂足为H，E为BC上一点，F为弦DC

延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FEFP．（1）求证：FE是（2）若O的切线；35O的半径为8，sinF，求BG的长．32．（2021·四川中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；¼上运动（不与B、D重合）（3）点E在BND，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．1633．（2021·重庆中考真题）在ABC中，ABAC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得DAEBAC180．（1）如图1，当BAC90时，连接BE，交AC于点F．若BE平分ABC，BD2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若BAC120，当BDCD，AEC150时，请直接写出BDDG

的值．CE34．（2021·四川中考真题）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AECD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．（1）求证：DAEDAC；（2）求证：DFACADDC；（3）若sinC

1

，AD410，求EF的长．4（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形ABC中，ABAC，过点B作BDAC于35．D，延长BD交ABC的外接圆于点E，过点A作AFCE于F，AE,BC的延长线交于点G．（1）判断EA是否平分DEF，并说明理由；（2）求证：①BDCF；②BD2DE2AEEG．1736．（2021·湖南中考真题）如图①，E、F是等腰RtABC的斜边BC上的两动点，EAF45,CDBC且CDBE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：EF2BE2CF2；（3）如图②，作AHBC，垂足为H，设EAH,证明：当45时，tan()

FAH，不妨设AB2，请利用（2）的结论tantan成立．1tantan18（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形ABCD为正方形，在ECH中，ECH37．延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．90,CECH,HE的（1）求证：CDE≌CBH；（2）当HB1FD

时，求的值；FCHD5（3）当HB3,HG4时，求sinCFE的值．（2021·四川中考真题）如图，AB为38．连接CD，且BCDA．O的直径，C为O上一点，连接AC,BC，D为AB延长线上一点，（1）求证：CD是（2）若O的切线；O的半径为5，ABC的面积为25，求CD的长；O上一点，连接CE交线段OA于点F，若（3）在（2）的条件下，E为EF1

，求BF的长．CF21939．（2021·湖南中考真题）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B，连接AB，CB，BB，PB．（1）如图①，若PBAC，证明：PBAB．（2）如图②，若ABAC，BP3PC，求cosBAC的值．（3）如图③，若ACB30，是否存在点P，使得ABCB．若存在，求此时理由．PC

的值；若不存在，请说明BC（2021·浙江中考真题）（推理）40．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：△BCE≌△CDG．（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，两点，若BF交直线AD于G，求HD4

，CE9，求线段DE的长．HF5ABHD4

k，，BCHF5DE

的值（用含k的代数式表示）．EC2041．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CF

的值；BG(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．（2021·湖北中考真题）在矩形ABCD中，AB2，AD4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，42．过F作FEAD于E，将AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，FGC90，延长GF交AB于H，连接CH．①求证：△CDG∽△GAH；②求tanGHC．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，GCF90，判断GCF与AEF是否全等，并说明理由．21