《信息论编码》模拟试题二及参考答案[1]

一、（11’）填空题

（1） 1948年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创

立了信息论。

（2） 必然事件的自信息是 0 。

（3） 离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍 。 （4） 对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。

（5） 若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则

编码长度至少为 3 。

（6） 对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是 香农编码 。 （7） 已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，

最多能纠正___1__个码元错误。

（8） 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大

于、小于或者等于），

则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。 （9） 平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方

法___有关

二、（9）判断题

（1） 信息就是一种消息。 （  ）

（2） 信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠

性。 （  ）

（3） 概率大的事件自信息量大。 （  ） （4） 互信息量可正、可负亦可为零。 （  ）

（5） 信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。 （  ） （6） 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。 （  ） （7） 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。 （  ） （8） 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。

（  ）

（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. (  )

三、（5）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，

而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）

故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）

四、（5）证明：平均互信息量同信息熵之间满足

I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY) 证明：

IX;YpxpxiyjiyjlogXYpxipxiyjlogpxipxiyjlogpxiyjXYXYHXHXY同理

IX;YHYHYX （1分） 则

HYXHYIX;Y 因为

HXYHXHYX （1分） 故

HXYHXHYIX;Y

即

IX;YHXHYHXY （1分）

（2分）

五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：

1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵HX； 2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为

，

，

，求其熵HX。

3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。 解：1）信源模型为 （1分）

（2分）

2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分） 由

（4分）

得极限状态概率

（2分）

3）

11H(X)log0.11922 （1分）

，

（3分）

21

H(X)0.447log22 （1分）

21。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反

映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）

六、（18’）.信源空间为

x2x3x4x5x6x7Xx1P(X)0.20.190.180.170.150.10.01曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。

，试分别构造二元香农码和二元霍夫

Lp(ai)li3.14i17RH(X)2.610.8313.14L

p(x1)1/21/31/6七（6’）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为1/61/21/3，并设p(x2)1/31/61/2p(x)3最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，

并计算相应的平均错误概率。

1）（3分）最小似然译码准则下，有，

2）（3分）最大后验概率准则下，有，

141，试分别按214八（10）.二元对称信道如图。

1）若p0

31，p1，求HX、HX|Y和IX;Y；

44 2）求该信道的信道容量。

解：1）共6分

2）， （3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）

HX|Y0.749bit/符号000111

011001九、（18）设一线性分组码具有一致监督矩阵H1010111）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？ 2）求此分组码的生成矩阵G。

3）写出此分组码的所有码字。

4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。

解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分） 2）设码字

CC5C4C3C2C1C0由HC0得

TT

C2C1C00C4C3C00CCCC03105 （3分）

令监督位为

C2C1C0，则有

C2C5C3C1C5C4CCC43 （3分） 0100110010011001101 （2分） 生成矩阵为3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分） 4）由SHR得

TT（2分）该码字在第5位发生错误，

S101，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）

（1分）