如果一个三角形的三边a、b、c、满足1/a+1/c=2/b,那么b边的对角必为锐角...
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发布时间：2024-10-23 21:38
共5个回答
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时间：2024-10-26 22:19
通分得：(a+c)/ac=2/b
b(a+c)=2ac
三角形的任意两边之和比大于第三边
所以a+c>b〉0
两边同乘以b
得：b^2<b(a+c)
又因为b(a+c)=2ac
所以b^2<2ac
因为a^2+c^2>=2ac (均值定理)
所以a^2+c^2>b^2
由余弦定理的：
B角必定是锐角
热心网友
时间：2024-10-26 22:20
1/a+1/c=2/b;若1/a<1/b,则必有1/c=1/b+(1/b-1/a)>1/b;同此,若1/a>1/b;必有1/c<1/b.就是说1/b介于1/a和1/c之间.也就是说b介于a和c之间.那么我们不妨假设a<b<c.它们对应的角为A,B,C.在一个三角形中,我们知道,角越大对应的边越大.暂时可以这样粗略的理解:因为张得角愈大,两条边分开的趋势越大,要将这两条边连起来需要的线段越长.严格的证明需要用到钝角的三角函数知识,要等到学了任意角的三角函数之后才能完成(使用正弦或余弦定理很容易完成).这样的话我们就可以得到,C角的度数是最大的,那么如果我们假设B是钝角,则必然有C>B,角C也是钝角,则有C+B+A>C+B>180.这是不可能的.所以那样的假设是不成立的.所以必然有B是锐角.
上面的人说的都很正确,并且都很严密.我这里没有用正弦和余弦定理,因为那样涉及了任意角的三角函数,所以说理之处有些欠严密.但对于一个初中水平的题目已足够.
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时间：2024-10-26 22:17
1/a+1/c=2/b
(a+c)/ac=2/b
2ac=b(a+c)
b=2ac/a+c
所以b-a=(2ac/a+c）-a=a(c-a)/(a+c)
b-c=（2ac/a+c）-c=c(a-c)/(a+c)
a不等于c时
b-a和b-c中必有一个小于零
所以B不是最大角
所以B是锐角
a=c时
b-a=b-c=0
此时为等边三角形
B=60为锐角
所以B为锐角
热心网友
时间：2024-10-26 22:17
因为1/a+1/c=2/b=1/b+1/b
所以b在a,c之间
所以b边的对角为中间角
而中间角不可能为钝角，
若为钝角，则大角也是钝角，
则这个三角行的内角和大于180度，与实际不符
所以b边的对角必为锐角。
热心网友
时间：2024-10-26 22:15
由1/a+1/c=2/b
得bc+ab=2ac
根据不等式bc+ab>=2b根号ac
得2ac>=2b根号ac
根号ac>=b
ac>=b平方
由余弦定理：
b平方=a平方+c平方-2accoaB
得cosB=（a平方+c平方-b平方）/2ac
单看分子a平方+c平方>2ac
综合以上两个结论得
a平方+c平方>=2b平方
所以分子大于0
所以分式大于0
cosB>0
所以B是锐角
