已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且nan+1=2Sn(n∈N*).(I)证明数列{ann...
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发布时间：2024-10-23 21:32
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时间：2024-10-27 05:20
（Ⅰ）∵nan+1=2Sn，∴（n-1）an=2Sn-1（n≥2），两式相减得nan+1-（n-1）an=2an，
∴nan+1=（n+1）an，即an+1n+1＝ann（n≥2），由a1=1，可得a2=2，
从而对任意 n∈N*，an+1n+1＝ann，又a11＝1≠0，即{ann}是首项公比均为1的数列，
所以ann=1×1n-1=1，故数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）．（4分）
（II）在数列{bn}中，由b2n+1＝bn?bn+2，知数列{bn}是等比数列，且首项、公比均为12，
∴数列{bn}的通项公式bn＝12n（6分）
故原不等式可化为（1-λ）n2+（1-2λ）n-6＜0对任意的n∈N*，恒成立，
变形可得λ＞n2+n?6n2+2n对任意的n∈N*，恒成立，
令f（n）=n2+n?6n2+2n=n2+2n?n?6n2+2n=1-n+6n2+2n=1-1n2+2nn+6=1-1(n+6)+24n+6?10，
由n+6≥7，(n+6)+24n+6?10单调递增且大于0，
∴f（n）单调递增，且当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故实数λ的取值范围是[1，+∞）
