证明:n阶循环环尺是域的充要条件是.n为素数且R不是零乘环.
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发布时间：2024-10-23 21:33
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时间：2024-10-27 05:00
【答案】：设循环环R=(a)={0a2a…(n一1)a}且 |a|=n a2=ka (0≤k＜n)． (1) 若R是域则R当然不能是零乘环．又若n是合数令 n=n1n2 (1≤ni＜ni=12)．则n1a≠0n2a≠0．但是n1a.n2a=na2=0．这同R是域矛盾故n必为素数． 反之若R不是零乘环且n=p为素数则由(1)知k≠0．于是若 sa.ta=sta2=(stk)a=0则因|a|=p故p|stk．但由(1)知(kp)=1故 p|s 或 p|t从而有sa=0或ta=0．即R无零因子．R是一个除环．再由于R可换．从而R是域．
设循环环R=(a)={0,a,2a,…,(n一1)a},且|a|=n,a2=ka(0≤k＜n)．(1)若R是域,则R当然不能是零乘环．又若n是合数,令n=n1n2(1≤ni＜n,i=1,2)．则n1a≠0,n2a≠0．但是n1a.n2a=na2=0．这同R是域矛盾,故n必为素数．反之,若R不是零乘环且n=p为素数,则由(1)知k≠0．于是若sa.ta=sta2=(stk)a=0,则因|a|=p,故p|stk．但由(1)知(k,p)=1,故p|s或p|t从而有sa=0或ta=0．即R无零因子．R是一个除环．再由于R可换．从而R是域．
