已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有2Sn=(n+2)an-1.(Ⅰ...
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发布时间：2024-10-24 00:22
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时间：2024-11-10 00:28
（Ⅰ）法一：在2Sn=（n+2）an-1中，
令n=1，得2a1=3 a1-1，求得a1=1，
令n=2，得2（a1+a2）=4a2-1，求得a2=32；
令n=3，得2（a1+a2+a3）=5 a3-1，求得a3=2；
令n=4，得2（a1+a2+a3+a4）=6 a4-1，求得a4=52．
由此猜想：an=n+12． …
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a1=1+12=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，命题成立，即ak=k+12，且2Sk=（k+2）ak-1，则由2Sk+1=（k+3）ak+1-1及Sk+1=Sk+ak+1，得（k+3）ak+1-1=2Sk+2ak+1，即（k+3）ak+1-1=[（k+2）ak-1]+2ak+1．则ak+1=(k+2)akk+1=k+22，这说明当n=k+1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈N*命题均成立． …（6分）
法二：在2Sn=（n+2）an-1中，令n=1，求得a1=1．
∵2Sn=（n+2）an-1，
∴2Sn-1=（n+1）an-1-1．
当n≥2时，两式相减得：2（Sn-Sn-1）=（n+2）an-（n+1）an-1，
即 2 an=（n+2）an-（n+1）an-1整理得，anan?1＝n+1n． …（3分）
∴an=anan?1?an?1an?2?…?a3a2?a2a1?a1=n+1n?nn?1?…?43?32?1=n+12．
当n=1时，an=1+12，满足上式，
∴an=
