数列an前n项的公式?
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发布时间：2024-10-24 02:21
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时间：2024-10-30 01:26
前n项和公式 S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2 n是正整数
推论 一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… =a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}
三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等。
若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)
(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q))
四.其他推论
① 和＝（首项＋末项）×项数÷2
(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2 (p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n)) 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 (证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
② 首项=2和÷项数-末项
③ 末项=2和÷项数-首项 (以上2项为第一个推论的转换)
④ 末项=首项+（项数-1）×公差 (上一项为第二个推论的转换) 推论3证明 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p) +a(q) 如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d =2*a(1)+(m+n-2)*d 同理得， a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d 又因为 m+n=p+q ; a(1),d均为常数 所以 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q) 注：1.常数列不一定成立 2.m,p,q,n大于等于自然数
⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd， = ；当项数为(2n－1) (n )时，S －S = a ， = ．
⑶若数列为等差数列，则S n，S2n －Sn ，S3n －S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d ．
⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ．
⑸在等差数列中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．
⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．
⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．
