切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
【课前测试】
1. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（ ）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
【知识点回顾】
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：理 于P. △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC＝PA·PB. 于P.
2
用相交弦定理.
1
切割线定理 ⊙O中，PT切⊙O于T，PT＝PA·PB 割线PB交⊙O于A
2
连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O中，割线PB交⊙O于P'C·P'D＝r－延长P'O交⊙O于M，延
2
A，CD为弦 OP' 长OP'交⊙O于N，用相交
22
PA·PB＝OP－r 弦定理证；过P作切线用r为⊙O的半径 切割线定理勾股定理证
2
8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|
|（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
图1
解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理 ∴
，
，
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
2
图2
解：由相交弦定理，得 AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm， ， ∴
，
即 ∴CE＝3cm或CE＝4cm。 故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 解：∵∠P＝∠P ∠PAC＝∠B， ∴△PAC∽△PBA， ∴
，
________。
∴。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得 ∴
，
即 ， 故应填PC。
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
【课间谜语】
经典谜语1：生在娘家青之绿叶，生在婆家黄皮寡瘦。 不提便罢，一提泪水连连。
经典谜语2：溪壑分离，红尘游戏，真何趣？名利犹虚，后事终难继。
例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
3
解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得 ∴ ∴
，
∴
∴PB＝4×6＝24（cm） ∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得
故应填。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
点悟：要证 证明：（1）连结BE
，即要证△CED∽△CBE。
（2）
。
又∵
，
∴厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
4
图5
求证： 证明：连结BD， ∵AE切⊙O于A， ∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD， ∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90° ∴△ADE∽△BAD ∴ ∴
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB
图6
点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得 证明：∵PA切⊙O于A， ∴∠PAD＝∠PBA 又∠APD＝∠BPA， ∴△PAD∽△PBA ∴
同理可证△PCD∽△PBC ∴
∵PA、PC分别切⊙O于A、C ∴PA＝PC
∴
∴AD·BC＝DC·AB
例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交
5
，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
AC于E。
图7
求证：BC＝2OE。
点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。 证明：连结OD。 ∵AC⊥AB，AB为直径
∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B ∵∠ODE＝90° ∴
∴∠C＝∠EDC ∴ED＝EC ∴AE＝EC
∴OE是△ABC的中位线 ∴BC＝2OE
例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任
意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；
图8
解：由∠DEF＝45°，得
， ∴∠DFE＝∠DEF ∴DE＝DF 又∵AD＝DC ∴AE＝FC
因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。 又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。 因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。
【经典练习】（答题时间：40分钟）
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一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（ ） A. B. C. 5 D. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（ ）
图1
A. 50° B. 40° C. 60° D. 55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD的交点，那么DE长等于（ ） A.
B.
，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆
C. D.
二、填空题
7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。 8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，
，则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
【课后自测】
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图2
12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
7
图3
13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB
，求⊙O的半径。
图
【陈景润的故事】
陈景润不爱玩公园，不爱逛马路，就爱学习。学习起来，常常忘记了吃饭睡觉。
有一天，陈景润吃中饭的时候，摸摸脑袋，哎呀，头发太长了，应该快去理一理，要不，人家看见了，还当他是个姑娘呢。于是，他放下饭碗，就跑到理发店去了。
理发店里人很多，大家挨着次序理发。陈景润拿的牌子是三十八号的小牌子。他想：轮到我还早着哩。时间是多么宝贵啊，我可不能白白浪费掉。他赶忙走出理发店，找了个安静的地方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子，背起外文生字来。他背了一会，忽然想起上午读外文的时候，有个地方没看懂。不懂的东西，一定要把它弄懂，这是陈景润的脾气。他看了看手表，才十二点半。他想：先到图书馆去查一查，再回来理发还来得及，站起来就走了。谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了。理发员叔叔大声地叫：“三十八号！谁是三十八号？快来理发！”你想想，陈景润正在图书馆里看书，他能听见理发员叔叔喊三十八号吗？
过了好些时间，陈景润在图书馆里，把不懂的东西弄懂了，这才高高兴兴地往理发店走去。可是他路过外文阅览室，有各式各样的新书，可好看啦。又跑进去看起书来了，一直看到太阳下山了，他才想起理发的事儿来。他一摸口袋，那张三十八号的小牌子还好好地躺着哩。但是他来到理发店还有啥用呢，这个号码早已过时了。
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