高中数学必修2知识点和例题讲义(教师版)

第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 ¤知识要点： 结 构 特 征 图例 （1）两底面相互平行；（1）两底面相（2）侧面的母线平行于互平行，其余各圆柱的轴； 棱面都是平行四圆（3）是以矩形的一边所柱 边形； 柱 在直线为旋转轴，其余三 （2）侧棱平行边旋转形成的曲面所围且相等. 成的几何体. （1）底面是多（1）底面是圆；（2）是边形，各侧面均以直角三角形的一条直棱圆是三角形； 角边所在的直线为旋转锥 锥 （2）各侧面有轴，其余两边旋转形成的 一个公共顶点. 曲面所围成的几何体. （1）两底面相互平行；（2）是（1）两底面相互平行； 用一个平行于棱圆（2）是用一个平行于圆棱锥底面的平台 台 锥底面的平面去截圆锥，面去截棱锥，底 底面和截面之间的部分. 面和截面之间的部分. （1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转 一周形成的几何体. 1.下列说法错误的是（ ）

A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 答案：D

2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为___________ cm. 答案：12

3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 1

那么这个几何体可能是___________. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥

第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征

¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 选D.

【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r,R，求球的半径.

解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为(rR)2(Rr)22rR， 所以，球的半径为rR. 第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图

¤例题精讲：【例1】画出下列各几何体的三视图：

解： 【例2】画出下列三视图所表示的几何体.

解：

【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.

解 第

第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图

¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 2

数学必修2知识点及经典例题

观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系x'o'y'，两轴夹角为45.(2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题. ¤知识要点： 表面积相关公式 表面积相关公式 S全S侧2S底，S全2r22rh （r：底面半径，h： 棱柱 其中Sl圆柱 c侧侧棱长直截面周长高） S全r2rl （r：底面半径，l：母棱锥 S全S侧S底 圆锥 线长） S全(r'2r2r'lrl) 棱台 S全S侧S上底S下底 圆台 （r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长） ¤例题精讲： 【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：l29

7【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.

解：SS侧2S底342214232483(mm2).

2第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积 ¤知识要点：1. 体积公式： 体积公式 体积公式 棱柱 VS底h高 圆柱 Vr2h 棱锥 棱台 1VS底h高 31V(S'S'SS)h 3圆锥 圆台 1Vr2h 31V(r'2r'rr2)h 32. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：

11S'0S'S V台(S'S'SS)h  V柱Sh. V锥Sh 33¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为a,b,c，则ab2,ac3,bc6，三式相乘得(abc)236.所以，长方体的体积为6.

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【例2】一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与xE的函数关系式,并求出函数的定义域.

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm. 在RtEOF中，EF5cm,OF1xcm, 所以EO22512x4,

ADOBCF于是

11Vx225x234.依题意函数的定义域为

{x|0x10}.

【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为6，现将该容器盛满水，

然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的5时，圆柱的母线与水

6平面所成的角的大小为 .

解：容器中水的体积为Vr2l(3)2618.流出水的体积为

2V'2352.设圆柱的母线与水平面所成的V'(1)V3，如图，l'2r6(3)2角为α，则tan2323，解得60.

第7讲 §1.3.2球的体积和表面积

¤知识要点：1. 表面积：S球面4R2 （R：球的半径）. 2. 体积：V球面4R3.

3¤例题精讲：【例2】表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱

的表面积.

解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA14，AC2a，又∵4R2324，∴R9，∴ACAC2CC282，∴a8，∴S表23214576.

【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）. A．86 B．6 C．242 D．722

【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.∵ AB=BC=CD=DA=3， ∴ 四边形ABCD为正方形. ∴ 小圆半径r3 由R2r2h2得R2(3选A.

第8讲 §2.1.1 平面

¤知识要点：

1. 点A在直线上,记作Aa；点A在平面内,记作A；直线a在平面内,记作a.

2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下： 公理1 公理2 公理3 图 形 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 4

22.

球的体积V4R34(336)386R)2()2，解得R6.∴ 222. 所以

数学必修2知识点及经典例题 语言 文如果一条直线上的过不在一条直线上的如果两个不重合的平面字两点在一个平面三点，有且只有一个平有一个公共点，那么它语内，那么这条直线面. 们有且只有一条过该点言 在此平面内. 的公共直线. 符Al,BlA,B,C不共线l号P,P l A,BPlA,B,C确定平面语言 3.公理2的三条推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲：

【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.

CA解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC. 同理P面ADC.∵ PB在面ABC与面ADC的交线上，又 ∵面ABC∩面ADC=AC，

∴PAC，即EF、HG、AC三线共点.

【例2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.

已知：直线AB,BC,CA两两相交，交点分别为A,B,C，求证：直线AB,BC,CA共面. 证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α.所以AB，BC，CA三直线共面．

【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，

（1）AA1与CC1是否在同一平面内？（2）点B,C1,D是否在同一平面内？

（3）画出平面AC1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线. 解：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，∵AA1//CC1， ∴由公理2的推论可知，AA1与CC1可确定平面AC1，∴AA1与CC1在同一平面内.

（2）∵点B,C1,D不共线，由公理3可知，点B,C1,D可确定平面BC1D，∴ 点B,C1,D在同一平面内.

（3）∵ACBDO，D1CDC1E， ∴点O平面AC1，O平面BCD1，又C1平面AC1，C1平面BC1D， ∴ 平面AC1平面BC1DOC1，同理平面ACD1平面BDC1OE．

第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

¤知识要点：

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相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线1.空间两条直线的位置关系： 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2. 已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）. a,b所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作ab. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. ¤例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

解：过P作a∥a，b∥b，若P∈a，则取a为a，若P∈b，则取b为b．这时a，b相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记a，b所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a，b都成30°的直线． 过点P与a，b都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a，b所成对顶角的EC1D1平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和l，射QF影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B. A1B1【例2】如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1和B1C1CD的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求PAB证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，

求证：P、Q、R三点共线. 证明：（1）∵ 正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1//DD1，∴BD//B1D1. 又 ∵ B1D1C1中，E、F为中点， ∴

Q平面BEEF//1B1D1. 2 ∴ EF//BD, 即D、B、F、E四点共面.（2）∵ Q平面AC1，

，P平面AC1，P平面BE， ∴ 平面AC1平面BEPQ.又 AC1平面BER， ∴ ，R平面BE， ∴ RPQ. 即P、Q、R三点共线 R平面A1C【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.

c证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得a,b.

c'C又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d. BbAa假设c，则cC, 在平面内过点C作c//b， d因为b//c，则c//c，此与ccC矛盾. 故直线c. 综上述，a、b、c、d四线共面.

【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1，∴ DC1 和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1

和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1， ∵ EF∥A1D，AB1∥DC1，∴

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∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角. ∵ΔA1DC1是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.

第10讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系

¤知识要点：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l；lP；l//. 2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作//；l. ¤例题精讲：【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.

解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2， ∴PM=PN=1.而AN=DN=3，由MN⊥AD，AM=1，得MN=2， ∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.

【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求EG2FH2.

解：四边形EFGH是平行四边形，

AEHBDFGC

11EG2FH2=2(EF2FG2)=(AC2BD2)(a22b).

22E 【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的

中点，F、G分别是BC、CD上的点，且CFCG2.求证：（1）

CBCD3A H D E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一B F C 点. 证明：（1） 在△ABD和△CBD中，∵ E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EH//1BD.

2G 又 ∵

CFCG2， CBCD3 ∴ FG//2BD. ∴ EH∥FG. 所以，E、F、G、3H四点共面.

第11讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定

¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：a,b,a//ba//. 图形如右图所示. ¤例题精讲：

【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

证明：设PC的中点为G，连接EG、FG.∵ F为PD中点， ∴

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GF∥CD且GF=1CD.

2 ∵ AB∥CD， AB=CD， E为AB中点，

∴ GF∥AE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形. ∴ EG∥AF， 又∵ AF平面PEC， EG平面PEC， ∴ AF∥平面PEC. 【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.

证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC， OE=1DC.

2 ∵ DC∥D1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点， ∴ OE∥D1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四

A 边形. ∴ EF∥D1O.

又∵ EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ∴ EFE ∥平面BB1D1D.

D G 【例3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、B O M F BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.

C 证明：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE，

在BCD中，G、F分别是BD、CD中点， ∴GF//BC， ∵G为BD中点， ∴O为MD中点，

在AMD中，∵E、O为AD、MD中点， ∴EO//AM， 又∵AM平面EFG，EO平面EFG， ∴AM∥平面EFG. 点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.

【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点 （1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA43，求异面直线PA与MN所成的角的大小.

1//DC. 解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， ∴ NH2//AM，由M是AB的中点， ∴ NH 即AMNH为平行四边形. ∴

MN//AH.

由MN平面PAD,AH平面PAD， ∴ MN//平面PAD.

1//BC，（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，∴ OM21//PA， 所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO. 由ON2PA43, MNBC4，

得OM=2，ON=23所以ONM300，即异面直线PA与MN成30°

的角 点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线

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线角，通过解三角形而得.

第12讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定

¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：

a,b,aa//,b//bP//. ¤例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、

A1BD. P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面

证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴ PN∥B1D1.又B1D1∥BD，

D1 ∴PN∥BD. 又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，C1

MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N， ∴平面PMN∥平面A1BD. B1 A1 【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥F 平面B1D1C； E G C （2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平D 面FBD． A B //DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴ 证明：（1）由B1BB1D1∥BD，

又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．

同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD． （2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF． ∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD． P 【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四

Q 边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：

M MA=BN：ND=PQ：QD. C

D 求证：平面MNQ∥平面PBC.

N 证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. ∴ MQ//AD，

B A NQ//BP，

而BP平面PBC，NQ 平面PBC, ∴ NQ//平面PBC.

又ABCD为平行四边形，BC//AD， ∴ MQ//BC，

而BC平面PBC，MQ 平面PBC, ∴ MQ//平面PBC.

由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面MNQ∥平面PBC.

点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.

第13讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质

¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，

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β a



b 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

即：aa//b.

ba//¤例题精讲：

【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B 证明：∵ AA1//BB1,AA1平面BEE1B1,BB1平面BEE1B1，

D1C1∴ AA1//平面BEE1B1. E1A1B1又 AA1平面ADD1A1，平面ADD1A1平面BEE1B1EE1，

∴ AA1//EE1. DCAA//BB1则1BB1//EE1. AA1//EE1EAB【例2】如图，AB//，AC//BD，C，D，求证：ACBD. 证明：连结CD，

A B ∵AC//BD， β ∴直线AC和BD可以确定一个平面，记为， ∵C,D，C,D，∴∵AB//，AB，∴AB//CD， 又∵AC//BD，

∴ 四边形ACDB为平行四边形， ∴ACBD.

第14讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质

¤知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个A平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,a,ba//b.2. 其它性质：①//,ll//； ②

ME//,ll；③夹在平行平面间的平行线段相等.

¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面

B直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.

证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，

则ME∥AC，∴ ME∥平面α，又 NE∥BD， ∴ NE∥β， 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，∵ MN平面MEN，∴MN∥α.

【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

证明：∵ A，B，C，D四点在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，

∴A，B，C，D四点共面．

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CD，

 C D CD

CND数学必修2知识点及经典例题

又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．

∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD．同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形．

第15讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定

¤知识要点：1. 定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l. l－平面的垂线，－直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直线面垂直）

2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n，则l⊥

3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.

¤例题精讲：【例1】四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EFBDC902AC，2，求证：BD平面ACD.

22//1AC，//1BD. 证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EGFG又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中，EG2FG21AC2EF2，∴EG22FG，∴BDAC，

又BDC90，即BDCD，ACCDC，∴BD平面ACD.

【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.

解：取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO.由已知正方体，易知EO平面ABC1D1，所以EAO为所求.在RtEOA中，

EO1225112EO10，，AE()1EFADsinEAO122222AE5.

所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为105.

【例3】三棱锥PABC中，PABC，PBAC，PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.

证明：连接OA、OB、OC，∵ PO平面ABC， ∴ POBC,POAC.

PBAC， 又 ∵ PABC，AC平面PBO，得AOBC，BOAC, ∴ BC平面PAO，∴ O为底面△ABC的垂心.

PBAC，求证PCAB”点评：此例可以变式为“已知PABC，，其思路是接着利用射影是

垂心的结论得到OCAB后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 11

第16讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定

¤知识要点：

1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）

2. 二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 范围：0180.

3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作. 4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直） ¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.

（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.

证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P， ∴ PA⊥平面PEF. ∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.

（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF. 又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF. A【例2】如图, 在空间四边形ABCD中，ABBC,CDDA, E,F,GF分别是CD,DA,AC的中点，求证：平面BEF平面BGD.

G证明：ABBC,G为AC中点，所以ACBG.

DB 同理可证ACDG, ∴ AC面BGD. EC又易知EF//AC，则EF面BGD. 又因为EF面BEF，所以平面BEF平面BGD.

第17讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质

¤知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，l，a，al，则a.（面面垂直线面垂直） ¤例题精讲：

【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？

解： A ACaAC aaABa平面ABC aBCACABABC平面ABC C B a 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 12

α 数学必修2知识点及经典例题

注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC.

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC.

∵ BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC.

（2）平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.

第18讲 第3章 §3.1.1 倾斜角与斜率

¤知识要点：1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角的范围是0. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即ktan. 如果知道直线上两点P(x1,y1),P(x2,y2)，则有斜率公式ky2y1. 特别地是，当x1x2，y1y2时，直

x2x1线与x轴垂直，斜率k不存在；当x1x2，y1y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当0斜率k0，随着α的增大，斜率k也增大；当9018090时，

时，斜率k0，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题. ¤例题精讲： 【例2】已知过两点A(m22,m23), B(3m2m,2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值. 解： ∵

m232mtan4501， 22m2(3mm)∴m23m20，解得 m1或2. 但当m1时，

A、B重合，舍去． ∴m2．

【例3】已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

725， kBC7(9a)79a3(2)53a3a即579a， 解得a2或a2.

93a5解:

kAB. ∵ A、B、C三点在一条直线上， ∴ kABkBC，

第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线l1 、l2，其斜率分别为k1、k2，有：

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（1）l1//l2k1k2；（2）l1l2k1k21.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；…. ¤例题精讲：

【例1】四边形ABCD的顶点为A(2,222)、B(2,2)、C(0,222)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状.

解：AB边所在直线的斜率

kCD2(222), 24222)22，DA02kAB2(222)2222，CD边所在直线的斜率

BC边所在直线的斜率kBC(22∵

kABkCD,kBCkDA，

边所在直线的斜率kDA(222)22, 24 ∴ AB//CD，BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.又 ∵ AB⊥BC，即四边形ABCD为矩形.

kABkBC2(2)1，∴ 2【例2】已知ABC的顶点B(2,1),C(6,3)，其垂心为H(3,2)，求顶点A的坐标． 解：设顶点A的坐标为(x,y)． ∵

ACBH,ABCH，∴

kACkBH1， kk1ABCH即

1y3()1y5x33x65，化简为，解之得：y11y3x5()13x2x19. y62∴ A的坐标为(19,62).

2【例3】（1）已知直线l1经过点M（-3，0）、N（-15，-6），l2经过点R（-2，3）、S（0，

5），试判断l1与l2是否平行？ 2（2）l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问l1与l2是否垂直？ 点评：当l1与l2的斜率存在时，k1k2l1//l2，k1k21l1l2.

斜率不存在时，进行具

体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.

第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程

¤知识要点：

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为yy0k(xx0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为ykxb.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为xx00，或xx0. 4. 注意：yy0xx0k与yy0k(xx0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点P0(x0,y0)，

后者才是整条直线. ¤例题精讲：

【例2】已知直线ykx3k1.（1）求直线恒经过的定点；（2）当3x3时，直线上的

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数学必修2知识点及经典例题

点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 解：（1）由yk(x3)1，易知x3时，y1，所以直线恒经过的定点(3,1).（2）由题意得k(3)3k10，解得k1.

6k33k10【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B

（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A（－3，－4）关于y轴的对称点A（－4）在经过射入y轴的反射线上，∴kAB=64=123，

223－2. 故所求直线方程为y－6=－2（x+2）， 即2x+y－2=0.

点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.

【例4】已知直线l经过点P(5,4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

解：由已知得l与两坐标轴不垂直．

∵直线l经过点P(5,4)，∴ 可设直线l的方程为y(4)k[x(5)]，即y4k(x5).则直线l在x轴上的截距为45，在y轴上的截距为5k4.根据题意得1|45||5k4|5，即

k2k(5k4)210|k. |当k0时，原方程可化为(5k4)210k，解得k12,k28；

55当k0时，原方程可化为(5k4)210k，此方程无实数解.

故直线l的方程为y42(x5)，或y48(x5).即2x5y100或8x5y200.

55点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

第21讲 §3.2.2 直线的两点式方程

¤知识要点：

1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

2. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为线.

4. 线段P1P2中点坐标公式(x1x2,y1y2).

22yy1xx1， y2y1x2x1a、b，其方程为xy1.

ab3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直

¤例题精讲：

【例1】已知△ABC顶点为A(2,8),B(4,0),C(6,0)，求过点B且将△ABC面积平分的直

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线方程.

解：求出AC中点D的坐标D(4,4)，则直线BD即为所求， 由直线方程的两点式得y0x4，即x2y40.

4044【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程

解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示. 根据菱形

的对角线互相垂直且平分可知，顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称.

所以A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）. 由截距式，得

直线AB的方程：xy＝1，即3x－４y＋12＝0；直线BC的方程：xy＝1, 即

43433x＋４y－12＝0；

直线AD方程：－４y－12＝0.

第22讲 §3.2.3 直线的一般式方程

¤知识要点：

1. 一般式：注意A、B不同时为0. 直线一般式方程AxByC0(B0)AxByC0，化为斜截式方程yAxC，表示斜率为A，y轴上截距为C的直线.

BBBB'0；与直线2 与直线l:AxByC0平行的直线，可设所求方程为AxByCAxByC0垂直的直线，可设所求方程为BxAyC'0. 过点P(x0,y0)的直线可写为A(xx0)B(yy0)0.

经过点M0，且平行于直线l的直线方程是A(xx0)B(yy0)0； 经过点M0，且垂直于直线l的直线方程是B(xx0)A(yy0)0. 3. 已知直线l1,l2的方程分别是：（A1,B1不同时为0），l1:A1xB1yC10l2:2Ax2By2C0（A2,B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）l1l2A1A2B1B20； （2）l1//l2A1B2A2B10,AC12A2B10； （3）l1与l2重合A1B2A2B10,AC12A2B10； （4）l1与l2相交A1B2A2B10.

xy＝1, 43即3 x＋４y＋12＝0；直线CD方程：x4y＝13即3 x

如果A2B2C20时，则l1//l2A1B1C1A2B2C2l1与l2重合；

A1B1C1A2B2C2l1与l2相交；

A1B1A2B2.

¤例题精讲：

【例1】已知直线l1：xmy2m20，l2：mxy1m0，问m为何值时：（1）l1l2；（2）l1//l2.

解：（1）l1l2时，A1A2B1B20，则1mm10，解得m＝0.（2）l1//l2时，1mm2m2, 11m解得m＝1.

【例2】（1）求经过点A(3,2)且与直线4xy20平行的直线方程；（2）求经过点B(3,0)且与直线2xy50垂直的直线方程.

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数学必修2知识点及经典例题

解：（1）由题意得所求平行直线方程4(x3)(y2)0，化为一般式4xy140. （2） 由题意得所求垂直直线方程(x3)2(y0)0，化为一般式x2y30.

【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．

分析：由两直线平行，所以斜率相等且为3，再由点斜式求出所求直线的方程.

4解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为3，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的

4斜率为3，

4又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：y33(x1)，即3x44y90.

点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式

A(xx0)B(yy0)0而直接写出方程，即3(x1)4(y3)0，再化简而得.

第23讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标

¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组A1xB1yC10.

AxByC0222若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条

直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l1: nxyn1, l2: nyx2n.

解：解方程组nxyn1，消

nyx2ny得

(n21)xn2n.

当n1时，方程组无解，所以两直线无公共点，l1//l2.

当n1时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l1与l2重合. 当n1且n1，方程组有惟一解，得到xn，y2n1， l1与l2相交.

n1n1∴当n1时，l1//l2；当n1时，l1与l2重合；当n1且n1，l1与l2相交，交点是

(n2n1,). n1n1【例2】求经过两条直线2xy80和x2y10的交点，且平行于直线4x3y70的直线方程.

解：设所求直线的方程为2xy8(x2y1)0，整理为(2)x(12)y80.

∵ 平行于直线4x3y70， ∴ (2)(3)(12)40，解得2.则所求直线方程为4x3y60.

第24讲 §3.3.2 两点间的距离

¤知识要点：1. 平面内两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则两点间的距离为：

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.

特别地，当P1,P2所在直线与x轴平行时，|PP1,P2所在直线与y轴平行时，12||x1x2|；当P2|PP12|1k|x1x2|. 1,P2在直线ykxb上时，|PP12||y1y2|；当P2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

¤例题精讲：

【例1】在直线2xy0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为５，并求直线PM的方程. 解：∵ 点P在直线2xy0上，∴ 可设P(a,2a，)根据两点的距离公式得

22|PP12|(x1x2)(y1y2)PM2(a5)2(2a8)252,即5a242a0,解得a2或ay8PM的方程为y8x5或4825532，∴P(2,4)或(32,)． 555∴ 直线

8x5，即4x3y40或24x7y0. 3255【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设A'(a,b), 则

b121a0a4，解得， b14ab124022所以线段|A'B|(41)2(30)232. 【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|2＋|AC|2=2（|AO|2＋|OC|2）. 解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy.

设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0), A(a,b) y 由两点间距离公式得：

|AB|=(ac)2b2，|AC|=(ac)2b2， |AO|=a2b2， |OC|=c. B(-c,0) O C(c,0) x ∴ |AB|2＋|AC|2=2(a2b2c2)， |AO|2＋|OC|2=a2b2c2.

∴ |AB|2＋|AC|2=2（|AO|2＋|OC|2）.

第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离

C|¤知识要点：1. 点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离公式为d|Ax02By0. 2AB2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线

l2:AxByC20之间的距离公式dl1:AxByC10，

|C1C2|A2B2，推导过程为：在直线l2上任取一点P(x0,y0)，

P(x0,y0)则

Ax0By0C20，即Ax0By0C2. |Ax0By0C1||C1C2|. d2222ABAB这时点到直线l1:AxByC10的距离为

¤例题精讲： 【例1】求过直线l1:y1x10和l2:3xy0的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.

33解：设所求直线l的方程为3yx10(3xy)0, 整理得(31)x(3)y100.

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数学必修2知识点及经典例题

由点到直线的距离公式可知，d10(31)(3)221, 解得3.

代入所设，得到直线l的方程为x1或4x3y50.

【例2】在函数y4x2的图象上求一点P，使P到直线y4x5的距离最短，并求这个最短的距离.

解：直线方程化为4xy50. 设P(a,4a2), 则点P到直线的距离为

d|4a4a25|42(1)2|4(a1/2)24|174(a1/2)2417.当a1时，点P(1,1)到直线的距离最短，最短

22距离为41717. |m3|(m2)(1m)22【例3】求证直线L：(m2)x(1m)y(64m)0与点P(4,1)的距离不等于3.

)(1)(64m)|解：由点线距离公式，得d|(m2)4(1m=22(m2)(1m).假设d3，得

到(m3)29[(m2)2(1m)2]，整理得17m248m36.0∵ 482417361400， ∴ 17m248m360无实根.∴ d3，即直线L与点P(4,1)的距离不等于3.

点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m，但求解的结果是m无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.

另解：把直线L：(m2)x(1m)y(64m)0按参数m整理， 得(xy4)m2xy60.由

x2xy40，解得. y22xy60所以直线L恒过定点Q(2,2).点P到

(24)2(21)2直线L取最大距离时, PQ⊥L，即最大距离是PQ=直线L与点P(4,1)的距离不等于3.

=5.∵

5<3， ∴

点评：此解妙在运用直线系(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0恒过一个定点的知识，其定点就是A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ⊥L时，点线距离为最大.

第26讲 第4章 §4.1.1 圆的标准方程

¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.

2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；

（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程. ¤例题精讲：

【例1】过点A(1,1)、B(1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（ ）.

A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 19

解：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件, 再把A点坐标（1，－1）代入圆方程. A不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r, 因为圆心C在直线x+y－2=0上, ∴b=2－a.由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2

+（b－1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4. 选C. 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点A(2,0)，圆心在(3,2)；（2）圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0,4),B(0,2) 解：（1）设所求圆的方程为(x3)2(y2)2r2. 则 (23)2(02)2r2， 解得r229. ∴ 圆的方程为(x3)2(y2)229.（2）圆心在线段AB的垂直平分线y3上，代入直线2xy70得x2，

圆心为(2,3)，半径r(20)2(32)25.∴ 圆C的方程为(x2)2(y3)25.

【例3】推导以点A(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程.解：设圆上任意一点M(x,y)，则|MA|r.由两点间的距离公式，得到(xa)2(yb)2r.化简即得圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2

第27讲 §4.1.2 圆的一般方程

¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程x2y2DxEyF0 （D2E24F0）表示圆心是

(DE1,)，半径长为D2E24F222的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标(x,y)满足的

关系式.

¤例题精讲：

【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0. 则

442D2EF02595D3EF0， 913DEF0

D8解得E2.

F12 ∴ 圆的方程为x2y28x2y120.

【例2】设方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m47m290，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.

22解：配方得x(m3)2y(14m)16m，该方程表示圆，则有

116m0，得m(,)，此时圆心的轨迹方程为6xm3y14m2，消去m，得y4(x3)21，

6由m(1,)得x=m+3(17,). ∴所求的轨迹方程是y4(x3)21，x(17,)

66第28讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系

¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别； 方法二：利用圆心（a,b）到直线AxByC0的距离d|Aa2Bb2C|，比较d与r的大小.

AB（1）相交dr 0；（2）相切dr0；（3）相离dr0.

2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种

C|方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d|Ax02By0 2AB苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 20

¤例题精讲：【例1】若直线（1+a）x+y+1=0与圆x＋y－2x＝0相切，则a的值为 . 解：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d|1a1|(1a)12数学必修2知识点及经典例题

22

1，

∴ a＝－1.

【例2】求直线l:2xy20被圆C:(x3)2y29所截得的弦长. （P144 练习1题）

解：由题意，列出方程组2xy2022(x3)y9，消y得5x214x40，得x1x214，x1x24.

551442145(122)()24555设直线2xy20与圆(x3)2y29交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

|AB|(1k2)|x2x1|(1k2)(x1x2)24x1x2 =.

另解：圆心C的坐标是(3,0)，半径长r3. 圆心到直线2xy20的距离

d|2302|45. 55所以，直线2xy20被圆(x3)2y29截得的弦长是2r2d2232(4522145)55.

第29讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系

¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，则：

（1）两圆相交|r1r2||O1O2|r1r；；（3）两圆内切2（2）两圆外切|O1O2|r1r2|O1O2||r1r2；| ¤例题精讲：【例1】已知圆C1：x2y26x60①，圆C2：x2y24y60② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程. 解：（1）∵圆C1的圆心为（3,0），半径为r115，圆C2的圆心为（0，2），半径为r210， 又|C1C2|13，∴|r1r2|＜|C1C2|r1r2， ∴圆C1与C2相交. （2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为3x2y0. 【例2】求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点，并且圆心在直线xy40上的圆的方程.

解：设所求圆的方程为x2y26y28(x2y26x4)0，即

(1)x2(1)y26x6y2840,

∵圆心在直线xy40上，

33,). 11∴3340，解得1.

711则所求圆的圆心为(∴ 所求圆的方程为x2＋y2x7y320

第30讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用

¤知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题 ¤例题精讲：

【例1】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 21

曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．

解：建立使A(－5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a元. 若在A地购货费用较低，则：价格＋A地运费≤价格＋B地运费 即 3a(x5)2y2a(x5)2y2. ∵ a＞0，∴ 8x2＋8y2＋100x＋200y≤0.得 (x＋＋y2≤(15)2 .

4254)2

∴ 两地购物区域的分界线是以点C(－25，0)为圆

415为半径的圆. 4心，

所以，在圆C内的居民从A地购物便宜，圆C外的居民从B地购物便宜，圆C上的居民从A、B两地购物总费用相等．

【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70相切, 求光线l所在的直线方程.

解：由已知可得圆C：(x2)2(y2)21关于x轴对称的圆C‘的方程为(x2)2(y2)21，其圆心C‘（2，-2），易知l与圆C’相切. 设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.∴整理得12k2+ 25k+12=0, 解得k3或k4.

435k51k21，

所以，所求直线方程为y-3=3 (x+3)或 y-3=4 (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

43点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过“0”求切线方程也可, 但过程要复杂些.

第31讲 §4.3.1 空间直角坐标系

¤知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.

2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

4. 在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零

【例2】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=12，AD=8，AA1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 22

数学必修2知识点及经典例题

解：以A为原点，射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、A1(0,0,5)、B1(12,0,5)、C1(12,8,5)、D1(0,8,5).

【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.

解：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为223. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,223). 点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.

第32讲 §4.3.2 空间两点间的距离公式

¤知识要点：1. 空间两点P1(x1,y1,z、)P2(x2,y2,z2)间的距离公式：

222|PP12|(x1x2)(y1y2)(z1z2). 2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标 ；③通过坐标运算得到答案.

3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 23