2020-2021学年天津市西青区杨柳青一中高一（下）
期中数学试卷 附详细解析参
一、选择题（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确答案） 1．（5分）已知i为虚数单位，A．﹣2i
B．2i
，则复数z的虚部为（ ）
C．2
D．﹣2
2．（5分）在△ABC中，若A．
B．
且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为（ ）
C．
D．
3．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
，则此圆锥的侧面积为（ ）
D．π
，
4．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为A．
B．2π
C．
5．（5分）已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A＝60°，b＝2若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ） A．
B．a＝3
C．
或a＝3 D．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且则角A的大小为（ ） A．
B．
C．
D．
，
7．（5分）已知平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，（ ） A．若l∥m，则l∥α C．若l∥α，则l∥m
B．若l⊥m，则l⊥α D．若l⊥α，则l⊥m
＝（ ）
8．（5分）点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则
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A．
B．
C．
D．
，BN
9．（5分）如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使与CM交于点P，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝
，则•＝ ．
11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为 ．
12．（5分）边长为
的正方形，其水平放置的直观图的面积为
13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1
﹣ADE的体积为 ．
14．（5分）如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD＝200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝ 米．
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15．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，BC上的动点，满足的值为 ．
，
，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、，其中λ∈（0，1），若
，则λ
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（12分）已知向量（1）若（2）若
＝（3，﹣4），
＝（6，﹣3），
＝（5﹣m，﹣3﹣m）．
，求实数m的值： ，求实数m的值．
17．（12分）复平面内表示复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m﹣3）i的点为Z． （1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部； （2）当点Z位于二、四象限时，求实数m的取值范围； （3）当点Z位于直线y＝x上时，求实数m的值．
18．（14分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，且bsinC+2csinBcosA＝0．
（1）求∠A大小； （2）若a＝2
，c＝2，求△ABC的面积S的大小．
19．（18分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
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（3）求BE与平面PAC所成的角．
20．（19分）如图：在△ABC中，b2＝a2+c2﹣ac，点D在线段AC上，且AD＝2DC． （1）用向量
，
表示
；
，求BC的长；
（2）若AB＝2，BD＝
（3）若AC＝2，求△DBC的面积最大值．
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参与试题解析
一、选择题（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确答案） 1．（5分）已知i为虚数单位，A．﹣2i
B．2i
，则复数z的虚部为（ ）
C．2
D．﹣2
【分析】根据复数的运算法则先进行化简，结合虚部的定义进行求解即可． 【解答】解：
＝
＝
＝2﹣2i，
则复数z的虚部为﹣2， 故选：D．
【点评】本题主要考查复数的计算，结合复数的运算法则是解决本题的关键． 2．（5分）在△ABC中，若A．
B．
且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为（ ）
C．
D．
【分析】根据数量积和角A的度数，求得bc＝【解答】解：因为在△ABC中，若∴c•b•cosA＝2⇒b•c×
＝2⇒bc＝
； ×＝
；再代入三角形的面积计算公式即可．
且∠BAC＝30°，
∴△ABC的面积为：bcsinA＝×故选：C．
；
【点评】本题主要考查数量积的应用以及解三角形的有关知识，属于基础题目． 3．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）
2
＝6a2，代入球的表面积公式，S球＝4πR2，即可得到答案．
【解答】解：根据题意球的半径R满足 （2R）2＝6a2，
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所以S球＝4πR2＝6πa2． 故选：B．
【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长． 4．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为A．
B．2π
C．
，则此圆锥的侧面积为（ ）
D．π
【分析】根据圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为60°求出母线的长，把圆锥沿着母线PA剪开后再展开，得到一个以PA为半径，以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形，则展开后扇形的面积即为圆锥的侧面积． 【解答】解：如图，
O为圆锥底面圆的圆心，圆锥的底面半径OA＝1，母线PA与底面所成的角为∠PAO＝60°， 则PA＝2，
该圆锥的侧面展开图为以PA为半径，以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形， 如图，
则展开后扇形的弧长l＝2π•OA＝2π，
所以，展开后扇形的面积为S＝×l•PA＝×2π×2＝2π．即圆锥的侧面积为2π． 故选：B．
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【点评】本题考查了圆锥的侧面积的求法，圆锥的侧面积就是把圆锥沿着一条母线剪开后再展开得到的扇形面积，圆锥的母线是所得扇形的半径，圆锥的底面圆的周长是所得扇形的弧长，另外对于扇形面积公式的记忆可模仿三角形面积公式的记法，此题是中低档题．
5．（5分）已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A＝60°，b＝2若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ） A．
B．a＝3
C．
或a＝3 D．
，
【分析】根据题意求出bsinA＝3，然后数形结合可得a的范围． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，b＝2∴由正弦定理可得bsinA＝2
×
＝3，
，
∵这样的三角形有且只有一个， ∴a＝3或a≥2故选：C．
．
【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且则角A的大小为（ ）
，
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A． B． C． D．
【分析】直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 【解答】解．由正弦定理得
，即
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7．（5分）已知平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，（ ） A．若l∥m，则l∥α C．若l∥α，则l∥m
B．若l⊥m，则l⊥α D．若l⊥α，则l⊥m
，也即
，故
，即，
【分析】对于A，l∥α或l⊂α；对于B，l与α相交、平行或l⊂α；对于C，l与m平行或异面；对于D，由线面垂直的性质得l⊥m．
【解答】解：由平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，知： 对于A，若l∥m，则l∥α或l⊂α，故A错误；
对于B，若l⊥m，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误； 对于C，若l∥α，则l与m平行或异面，故C错误； 对于D，若l⊥α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故D正确． 故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、应用意识等核心素养，是中档题． 8．（5分）点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积． 【解答】解：以CA，CB为x，y轴，建立直角坐标系，如图：
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点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°， 可得A（＝（则
，0），B（0，1），则G（，），＝
＝（﹣＝﹣．
，），
，）
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，善于利用平面向量的一些常见结论是求解本题的关键．
9．（5分）如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使与CM交于点P，若
，
，则
的值为（ ）
，BN
A． 【分析】用到结论．
【解答】解：由题意，
＝
+
＝
＝
＝
，
B．
作为基底分别表示
C．
D．6
，根据平面向量基本定理，求出λ，μ，即可得
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根据平面向量基本定理，可得，∴
∴＝6
故选：D．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝
，则•＝ 0 ．
【分析】利用向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可． 【解答】解：向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝可得则•＝0． 故答案为：0．
【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题． 11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为 60° ．
＝5，1+2•+4＝5，
，
【分析】求两条异面直线AB1与BC1所成角，只要连结AD1，即可证明AD1∥BC1，可得∠D1AB1 为两异面直线所成的角，在三角形D1AB1 中可求解．
【解答】解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1 且AB＝D1C1， ∴四边形ABC1D1 为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1 为两异面直线AB1与BC1所成角．
连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1 为正三角形，所以∠D1AB1＝60°． 故答案为60°．
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的
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能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，此题是中档题． 12．（5分）边长为
的正方形，其水平放置的直观图的面积为
【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积之比求解即可． 【解答】解：正方形的边长
，故面积为8，
，
而原图和直观图面积之间的关系是
故直观图的面积为故答案为：
．
＝．
【点评】本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积之比的应用，解题的关键是掌握
，属于基础题．
13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1
﹣ADE的体积为
．
【分析】由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论． 【解答】解：由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积 ＝故答案为：
．
＝
．
【点评】本题考查三棱锥B1﹣ADE的体积，正确转换底面是关键．
14．（5分）如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD＝200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝ 200 米．
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【分析】设AB＝h，则BC＝h，BD＝塔高AB．
【解答】解：设AB＝h，则BC＝h，BD＝△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m， 由余弦定理，可得40000＝h2+3h2﹣2h•∴h＝200，即AB＝200米． 故答案为：200．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，BC上的动点，满足的值为
．
，
，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、，其中λ∈（0，1），若
，则λ
h•
， h，
h，△BCD中，由余弦定理，可得方程，即可求
【分析】由平面向量的线性运算得：
，
由平面向量数量积的性质及其运算得：[
2
＝+＝+（1﹣λ），＝＝
+（1﹣λ）
＝2，
]•（
＝|
）＝﹣2，所以|2＝3，可得：3λ2
+λ（1﹣λ）＝﹣2，又，得解． +
＝
﹣5λ+2＝0，又0＜λ＜1，所以【解答】解：由图可知：
＝+（1﹣λ），
第12页（共18页）
＝又所以[所以又
＝， +（1﹣λ）
2
，
]•（+λ（1﹣λ）＝|
）＝﹣2，
＝﹣2，
＝2，
|2＝3，
可得：3λ2﹣5λ+2＝0， 又0＜λ＜1， 所以
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（12分）已知向量（1）若（2）若
＝（3，﹣4），
＝（6，﹣3），
＝（5﹣m，﹣3﹣m）．
，求实数m的值： ，求实数m的值．
【分析】（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行的性质，计算求得结果．
（2）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，计算求得结果． 【解答】解：（1）∵ ∵（2）∵
第13页（共18页）
，
，
，∴﹣3m＝﹣1﹣m，解得．
，
∵∴解得
，
，
．
【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题．
17．（12分）复平面内表示复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m﹣3）i的点为Z． （1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部； （2）当点Z位于二、四象限时，求实数m的取值范围； （3）当点Z位于直线y＝x上时，求实数m的值． 【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；
（2）分别由实部小于0且虚部大于0或实部大于0且虚部小于0求解不等式组得答案； （3）由实部与虚部相等列式求解．
【解答】解：（1）当m2﹣2m﹣3＝0且m﹣3≠0， 即m＝﹣1时，复数Z是纯虚数，虚部为﹣4； （2）由题意，解得当m＜﹣1，
即m＜﹣1时，点Z位于二、四象限； （3）当m2﹣2m﹣3＝m﹣3，
即m＝0或m＝3时，点Z位于直线y＝x上．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．
18．（14分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，且bsinC+2csinBcosA＝0．
（1）求∠A大小； （2）若a＝2
，c＝2，求△ABC的面积S的大小．
或
，
【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边，转化为角的正弦，化简整理求得cosA的值，进而求得A．
（2）利用正弦定理求得sinC的值，进而求得C，利用三角形内角和求得B，最后利用三角形面积公式求得答案．
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【解答】解：（1）∵bsinC+2csinBcosA＝0． ∴sinBsinC+2sinCsinBcosA＝0 ∴sinBsinC（1+2cosA）＝0 ∵sinB≠0，sinC≠0， ∴1+2cosA＝0，cosA＝﹣， ∴A＝（2）∵
． ＝
×
＝，
∴sinC＝•sinA＝∴C＝
，
＝
∴B＝π﹣，
×2×＝
∴S△ABC＝acsinB＝×2
【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，三角函数恒等变换等知识．要求对三角函数常用公式能熟练记忆．
19．（18分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB； （3）求BE与平面PAC所成的角．
【分析】（1）利用线面平行的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的判定定理去证明．（3）利用定义或向量法求直线与平面所成的角．
【解答】解：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，
第15页（共18页）
∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线． ∴ME∥CD，ME＝CD．
又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴ME∥FB，且ME＝FB． ∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF． ∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF， ∴BE∥平面PDF．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD， ∴DF⊥PA．连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△DAB为正三角形． ∵F是AB的中点，∴DF⊥AB． ∵PA∩AB＝A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC． ∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影． ∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角． ∵O，E，分别是中点，∴OE＝AP＝1，OD＝∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO＝45°， 即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．
＝
＝1，
【点评】本题主要考查线面平行和面面垂直的位置关系的判定，要求熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理．综合性较强．
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20．（19分）如图：在△ABC中，b2＝a2+c2﹣ac，点D在线段AC上，且AD＝2DC． （1）用向量
，
表示
；
，求BC的长；
（2）若AB＝2，BD＝
（3）若AC＝2，求△DBC的面积最大值．
【分析】（1）由平面向量的线性运算法则，可得解； （2）先由余弦定理求得cosB＝，再由|积运算，得关于BC的方程，解之即可； （3）易知sinB＝
△ABC
|2＝（
+
）2，根据平面向量的数量
，由b2＝a2+c2﹣ac，结合基本不等式，知ac≤3，而S△BCD＝S
＝•ac•sinB，得解．
＝
+
＝
+
＝
+（
﹣
）＝
+
．
【解答】解：（1）
（2）∵b2＝a2+c2﹣ac， ∴a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理知，cosB＝由（1）知，∴|∴解得
|2＝（
＝+
+）2＝
×+（舍负），
，
＝＝，
+•，即3
cosB++2
， ﹣33＝0，
＝×4+×2×
＝3或﹣
∴BC的长为3．
第17页（共18页）
（3）∵∴由
∴ac≤3，当且仅当a＝c＝∵AD＝2DC， ∴
∴△DBC的面积最大值为
． ，
，
，
时，取等号，
，
【点评】本题考查解三角形与平面向量的综合，熟练掌握余弦定理、三角形面积公式和平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
第18页（共18页）