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菱形的判定和性质
一、基础知识
（一）菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质：
1、 具有平行四边形的一切性质； 2、 菱形四条边都相等；
3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 4、 菱形是轴对称图形；
菱形 边 对边平行； 四边相等
（三）菱形的判定：
1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积
1、可以用平行四边形的面积算（S=
角 对角相等； 邻角互补 对角线 互相垂直平分且平分对角 对称性 轴对称 AOB DC1底×高） 21ab) 22、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=
D
A E
C
B
二、例题讲解
考点一 ：菱形的判定
例1：下列命题正确的是（ ）
1
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（A） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A．互相平分且不垂直 B．互相平分且相等 C．互相平分且垂直 D．互相平分、垂直且相等
练习2：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
C．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
A M B
O C
N D
练习3：如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE 沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A．若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是( )
A．DE是△ABC的中位线 B．AA是BC边上的中线 C．AA是BC边上的高 D．AA是△ABC的角平分线
D A E B
练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） ①ACBD ②BAD90 ③ABBC ④ACBD A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
A C
2
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A
D
B
C
例2 ：已知AD是△ABC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是什么四边形？
A A 请说明理由．
E F E F B
D C B D C 变化：若D是等腰三角形底边BC的中点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是什么四边形？请说明理由．
练习1：如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠B交AD于G，交AC于E，过E作EF⊥BC于F，试说
B D 明四边形AEFG是菱形．
F G
A C E
练习2：如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于点H，交CB延长线于点F，交AB于点G，求证：AB与EF互相平分。
AGF3
EDHCB
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练习3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：四边形ACEF是菱形。
考点二：菱形的性质
例1：如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC＝CB，E、F分别是AC、AB的中点，且∠DEA＝∠ACB＝45°，BG⊥AE于G，
求证：（1）四边形AFGD是菱形；
（2）若AC＝BC＝10，求菱形的面积。
BDEFCADGEFACB
练习1：如图，在菱形ABCD中，E是AB中点，且DE⊥AB，AB＝4， 求：（1）∠ABC的度数； （2）菱形ABCD的面积。
4
DCAEB……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
例2 ：如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，ACD30°，BD6． （1）求证：△ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号）．
D
A
O B
C
练习1：若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A．
3cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．23cm2 2练习2：若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）
（A） 43 cm （B）83 cm （C）163 cm （D）203 cm
练习3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( )
A．21㎝ B．22㎝ C．23㎝ D．24㎝
例3： 如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )
A．10cm
2B．20cm
2C．40cm
2D．80cm
D 2A C B
5
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练习1：菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（ ） A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm
练习2：若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（ ） （A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm
练习3:若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为( )
A．240 cm B．120 cm C．60 cm D．30 cm
例4:如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°求∠CEF的度数。
A
BD
EF
C
练习1:如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC．CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A． 23 B． 33 C． 43 D． 3
2
2
2
2
B E
6
A D F C
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练习2：如图，在菱形ABCD中，A60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF2，则菱形ABCD的边长是_____________．
练习3：如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°， 求∠CEF的度数。
例5：如图，菱形ABCD是边长为13cm，其中对角线AC=10cm， 求（1）菱形ABCD的面积；
（2）作BC边上的高AH，求出AH的长度
AOB DC7
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练习1：如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm． 求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积．
AOB DC例6： 已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
A
GBECHFD
练习1： 如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=
1∠EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM。 2
8
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练习2：如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2． (1) 求证：△BDE≌△BCF；
(2) 判断△BEF的形状，并说明理由； (3) 设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
考点三：综合
例1：如图，菱形AB1C1D1的边长为1，B160；作AD2B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使B260；作AD3B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使
B360；
C3 B2 D3 C2
B1
A D2
依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是 ． B3
D1C1
例2：菱形ABCD的对角线交于O，AO=1，且∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD的周长是8，其中正确的有（ ） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①②③
9
ADOBC……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
例3：如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC90．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180得到△ABF．连接AD． （1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？
A
G D
E
F
B
C
课后练习:
1、若菱形的边长是它的高的2倍，则它的一个较小内角的度数是 。 2、如图1，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC等于（ ） A．20 C．10
B
A
D
C
B．15 D．5
3、菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是 ，对角线BD的长是 ．
10
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A B
E C D 4、如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
D
A E B
F
P C
5、已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
AMEBFD第21题图C
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