西安交通大学 理论力学2006—2007年期末考试试题

理论力学2006—2007年期末考试试题

一、 填空题（每题2分，共10分）

1、在介质中上抛一质量为m的小球，已知小球所受阻力Rkv，若选择坐标轴x铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________。

2、质点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？

①aτ=0，an=0（答）： ； ②aτ≠0， an=0（答）： ； ③aτ=0，an≠0（答）： ； ④aτ≠0，an≠0（答）： ；

3、质量为10kg的质点，受水平力F的作用，在光滑水平面上运动，设F34t（t以s计，F以N计），初瞬间（t0）质点位于坐标原点，且其初速度为零。则t3s时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________。

4、在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；横向加速度为_______。 5、哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ，

二、选择题（每题5分，共20分）

1、已知某点的运动方程为 S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹______________。 ① 是直线；② 是曲线； ③ 不能确定；④抛物线。

2、在图<2.2>所示圆锥摆中，球M的质量为m，绳长l，若角保持不变，则小球的法向加速度为______________。

① gsin；② gcosa；③ gtg；④ gctg。

<图二.2>

3、求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来___________。

① 分析力的变化规律； ② 建立质点运动微分方程；

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③ 确定积分常数； ④ 分离积分变量。

4、如图<2.4>所示距地面H的质点M，具有水平初速度v0，则该质点落地时的水平距离l与________________成正比。

① H； ② H1/2； ③H； ④ H

23

<图二.4>

三、是非题（每题2分，共20）

1、只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬间的运动状态就完全确定了。（） 2、在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作 用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。（ ）

3、一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是所受力的方向。（ ） 4、同一运动的质点，在不同的惯性参考系中运动，其运动的初始条件是不同。（ ） 5在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。（ ）

6．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。（ ） 7．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（ ）

8、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。（ ） 9．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（ ） 10．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（ ） 四、证明题（每题10分，共20分） 1、证明：变换Q=qp ,P=lnp是正则变换。

2、均质实心圆球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它们经过相等距离所需的时间比是21：5.

五、计算题（每题10分，共30分）

1、质量为 m1的质点B，沿倾角为α的光滑直角劈A滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动。试求

（a）质点水平方向的加速度； （b）劈的加速度 ；

2 、半径为c的均质圆球，自半径为b的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。

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<图五.1>

<图五.2>

3、 质量为M，半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2及绳中张力T。

rM图五.3m答案

一、填空题

mgk(dx/dt) x1、m2、（1）匀速直线；（2）变速直线；（3）匀速曲线；（4）变速曲线 3、答：3.15m；2.7m/s。

..2..4、arrr.，

ar1d+2r=rdt(r)2

5、q=[qα,H] ,p=[pα,H] ,

二、选择题

1、③ 2、③。3、③。4、 ②。 二、是非题

1、错。2、对。3、错。4、对。5、错 。6、对。7、错。8、错。9、对。10、错。

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四、证明题

QQ1、解：由题意，p =q, P =lnq以此代入正则变换关系式，则

QQQQQpdqPdQdqlndQdqd(Qlnd(Qln)dUqqqqq

QU(q,Q)Qlnq 问题得证。  母函数

2、解：设空心球角加速度为1，实心球角加速度为2，则I11M1；I22M2

I123225322522752m1rm1r2m1r ；

I2m2rm2r25g7rm2r

1

m1grsin53m1r355g3rsin2m2grsin75；

21

t122m2rsin

57

122又  s五、计算题

a1t112a2t2； t22a2a12157532521t1； t2521

1、解：把m1'm2视为一个系统，系统在x轴方向动量守恒

xc0 （1）

m1x1m1x20 （2）； 求导：

x2....m1m2x1 （3）

x1axx2'；

axx1x2....'....；

ayy1y2' （4）

tgay'y1y2....ax..'..x1x2 （5） y20

..y1x1

..m1m2m2th （6）

..m1x1R1sin ；m1y1R1cosm1g （7）

..m2m1sin 由（3）（6）（7）式可解得：；

cb(cb)cc2、解：设ω 为A球绕其球心旋转的角速度。，

m2m1sinx1m2sincos2gx2m1sincos2LTVm2m22(cb)m52221222(mc)mg(cb)cos25

222(cb)(cb)mg(cb)cos

PLm(cb)25m(cb)275m(cb)2

5P27m(cb)5P2 ，

7m(cb)

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HpqL5p227m(cb)P25m(cb)mg(cb)cos2107m(cb) 725PH22

14m(cb)mg(cb)cos

Pmg(cb)sin，

5mg(cb)sin7m(cb)57gsin25gsin7(cb)

A球球心下降的切向加速度：

aA(cb)

3、解 如题五.3图，设圆柱体的转动角速度为ωk，设它受到地面的摩擦力为f，由动量定理和动

yArTTooCxMmBf量矩定理知：

题五.3图

① ②

2 

对于滑块。由动量定理知：

cMa1FxTfMxzMyTrfr122MrF maTmgmy ③

又由无滑滚动条件知：

两边对时间求导得： 以C为基点：

crx

④

cra1xraAxa1假设绳不可拉伸。则

由①②③④⑤解得：

aAxa2r。故a2a1 ⑤

4mg3M8m8mg3M8m3mMg3M8m

a1,a2,T第 5 页 共 5 页