人教版八年级下册数学 特殊的平行四边形拓展练习题

八年级数学正方形拔高拓展题专项练习

AEF90，拓展：1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

F A

F

B

E C

图2

G

B

图3

C E G D

A

D

F

A

D

B

E C 图1

G

2.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中． （1）证明：CF=BE；

（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．

3.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC,交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，求BF的长。

4.如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB=90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF （1）在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程 （2）若AE=12，AB=13,求EF的长。

5.边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A,C不重合）。连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°得到BQ,连接QP,QP与BC交于点E，QP的延长线于AD（或AD的延长线）交于点F。

（1）连接CQ，求证CQ=AP

(2)设AP=x，CE=y，试写出y与x的函数关系式，并求当x为何值时，CE3BC（相似证明） 8（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论。

6.问题背景：

如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。 类比研究：

如图2，在正三角形ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD,BE,CF两两相交与D,E,F三点（D,E,F三点不重合）。

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明。 （2）△DEF是否为正三角形？请说明理由。

（3）进一步探究发现，在（2）的条件下，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b,AB=c，请探究a，b，C满足的等量关系。

7.如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/s的速度移动（不到点A）。设点E、F同时出发移动t秒。

（1）在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是_________，始终保持不变。 （2）如图2，连接EF，设EF交BD于点M，当t=2时，求AM的长；

（3）如图3，点G,H分别在边AB,CD上，且GH=35cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的值。

8.如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF. （1）求证：CE=CF;

(2)若点G在AD上，且∠ECG=45°，探索BE、EG、GD三条线段的数量关系。并加以证明； （3）在（2）的条件下，若BC=10cm，BE=3cm，求BG的长度（结果精确到0.01cm）

9.如图，边长为3的正方形OABC摆放在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴上，点C在y轴上，点P是BC边上的动点（不与B、C重合），点E是射线CO上的动点，连接AP,射线PE交x轴于点D，∠CPE=∠APB,EF∥AP交x轴于点F。

（1）当△APD为等边三角形时，求点P的坐标。

（2）当以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求直线PE的解析式。

10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G. （1）求GE的长。 （2）求证：AE平分∠DAF （3）求CF的长。

11. 如图，正方形ABCD中，AB4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CPCE，连接DE、BP、BF，设CPx，△PBF的面积为S1，△PDE的面积为S2．

（1）求证：BPDE．

（2）求S1S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （3）分别求当PBF30和PBF45时S1S2的值．

AFDP

AFDP

BCEB备用图CE

12.如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0,6）、（8,0），点C在第一象限。点Q从x轴上某一点沿x轴正方形运动，同时M点从原点出发，沿x轴正方向运动。

（1）若点Q的横坐标为x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图像如图②所示，直接写出点Q开始运动时的坐标___________，点Q的运动速度___________________（单位长度秒） （2）求正方形边长及顶点C的坐标

（3）已知M点的速度为Q点的速度的

4倍，过M点作x轴的垂线，交线段AB于点P,试问：OP与PQ5能否相等，若能，求出P点的坐标，若不能，请说明理由。