高一上学期专题5函数的恒成立问题

函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.

恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解

等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.

例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) → ( )

A.10 B.7 C.-1 D.0

例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=

8（ ）.

A.1 B.-1 C .2 D. -2.

策略二、一次函数型——利用单调性求解

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于

a0a0f(m)0ⅰ），或 ⅱ） 可合并定成

f(m)0f(n)0f(n)0f(m)0同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有

f(n)0y y

x x o m n o m n

例3．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.

策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解

对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)>0恒成立a0

；f(x)<0恒成立

0a0

. 

0

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.

例4． 若函数f(x)(a21)x2(a1)x值范围.

2的定义域为R，求实数 a的取a1例5.已知函数f(x)x2ax3a，在R上f(x)0恒成立，求a的取值范围. 变式1：若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围. 变式2：若x2,2时，f(x)2恒成立，求a的取值范围.

策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解

运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值

例6.已知三个不等式①x24x30，②x26x80，③2x29xm0．要使同时满足①②的所有x的值满足③，求m的取值范围.

例7. 函数f(x)是奇函数，且在[1,1]上单调递增，又f(1)1，若

f(x)t22at1 对所有的a[1,1]都成立，求t的取值范围 .

策略五、数形结合——直观求解

例8. 对任意实数x，不等式x1x2a恒成立，求实数a的取值范围. 解不等式恒成立的四种方法 1 转换主元法

确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。 例9：若不等式 2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。

2 化归二次函数法

根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。

例10：在R上定义运算：xy＝x(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意

实数x成立，则 (A)－11331(B)02222例11：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。

3 分离参数法

在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a例12：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝1n

[3+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0(nN* )若对任意n≥1，nN*，不等式an>an-15恒成立，求a0的取值范围。

4.数型结合法

例13：如果对任意实数x，不等式x1kx恒成立，则实数k的取值范围是（）