立体几何知识点总结

1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征

（1）棱柱：

①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

侧棱不垂直于底面

侧棱垂直于底面

底面是正多边形

棱柱斜棱柱

底面是平行四边形

直棱柱

侧棱垂直于底面

正棱柱；

底面是矩形

四棱柱

底面是正方形

平行六面体

棱长都相等

直平行六面体

长方体正四棱柱正方体。

②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形； Ⅱ、两底面是全等多边形；

Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；

Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。

（2）棱锥：

①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几

何体叫做棱锥；

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质：

Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，

截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；

截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；

Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形RtPOH，

RtPOB，RtPBH，RtBOH实现边，高，斜高间的换算

P

A 1

D O

B H C

2、 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征

2

（2）性质：

① 任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫 小圆）

② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且r面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（C底为底面周长，h为高，h为棱锥的斜高或圆锥的母线）

直棱柱、圆柱的侧面积

R2d2，其中R为球半径，r为截

S侧C底h；

1SC底h

正棱锥、圆锥的侧面积侧2（3）柱体、锥体的体积公式

1V柱S底h， V锥S底h

3 3

432V=RS=4R（4）球体的表面积和体积公式：球 ； 球面

3（5）球面距离（注意识别经度和纬度）

球面上A,B两点的球面距离ABR,其中为劣弧AB所对的球心角AOB的弧度数.

4、空间几何体的三视图

空间中的点、直线、平面之间的关系

（一）、立体几何网络图：

⑹ 公理4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理

⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行 ⒁ 面面垂直

4

1、线线平行的判断：

（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线

和交线平行。

（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （12）、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断：

（7）、如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （8）、如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：

（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

判定定理：

性质定理：

★判断或证明线面平行的方法

⑴ 利用定义(反证法)：lI，则l∥α (用于判断)；

⑵ 利用判定定理：线线平行⑶ 利用平面的平行：面面平行

线面平行 (用于证明)； 线面平行 (用于证明)；

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。

2 线面斜交和线面角：l∩ α = A

2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面影的夹角θ。

2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]

注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90°

线面角

5

4、线面垂直的判断：

⑼ 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾ 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁ 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃ 如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

判定定理：

性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

即：

（2）垂直于同一平面的两直线平行。 即：

★判断或证明线面垂直的方法

⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。

⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。

★1.5 三垂线定理及其逆定理

（1） 三垂线定理及其逆定理

已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。 ① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直

斜线。

② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线

则垂直射影。

（2）三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。

三垂线定理

6

5、面面平行的判断：

⑷ 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 ⒀ 垂直于同一条直线的两个平面平行。

6、面面垂直的判断：

⒂ 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

判定定理：

性质定理：

⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；

（2）

（3）

（4）

面面垂直性质3 面面垂直性质2

（二）、其他定理：

（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线； （2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；

直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ； 平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；

（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；

如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的

锐角(或直角)相等；

（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，

射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

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（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面影所成的角。 （6）异面直线的判定： ①反证法；

②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。 （7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 （8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。

（三）、唯一性定理：

（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。 （2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。 （3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。

四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）

（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成

oo的角。异面直线所成角的范围：090；

（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0o； ②线面垂直：线面所成的角为90o；

oo③斜线与平面所成的角：范围090；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。

oo线面所成的角范围090 （3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；

oo二面角的平面角的范围：0180；

五、距离的求法：

（1）点与点、点与线、点与面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的垂线段，然后再计算。

注意：求点到面的距离的方法：一作，二证，三求

①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；

③ 体积法：利用三棱锥体积公式。

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空间向量的应用

1、设d1, d2是直线l1,l2的一个方向向量，n1, n2是平面1,2的一个法向量，则 （1）线线平行：l1//l2d1//d2 （2）线面平行：l//dn （3）面面平行：1//2n1//n2 （4）线线垂直：l1l2d1d2

（5）线面垂直：① a,b是平面内不平行的两个向量，则lda, db ② ld//n

（6）面面垂直：12n1n2 2、用空间向量解决“空间角”

（1）异面直线所成角（锐角）：设异面直线l1, l2所成角为 (02)，d1, d2为异

d1d2面直线l1, l2的一个方向向量，其夹角为0，则coscos|d1||d2|；

（2）直线与平面所成角（锐角）：设为直线l与平面所成角， d是直线l的一个方

向向量，n是平面的一个法向量，d与n的夹角为，则sincos|dn|；

|d||n|（3） 二面角（锐角或钝角）：设二面角的两个半平面所在的平面1,2的法向量分别为

两个法向量的夹角为，二面角的大小为(0)，则或n1, n2，

（结合图形决定具体的取值）

3、用空间向量解决“空间距离”

（1）点到直线的距离：Al, Bl, d为直线l的一个方向向量，则点A到直线l的距离为|AB|sin（其中为向量AB, d的夹角且cosABd）

|AB||d|（2）点到平面的距离：设A,B, n为平面的一个法向量，则点A到平面的距离为|ABn|

|n|（3）异面直线之间距离：若l1, l2为异面直线，Al1,Bl2, nl1, nl2,则l1与l2间的距离为|ABn|

|n| 9

10