浅谈小波变换的结构损伤识别功能

工程结构的构件在使用过程中，由于各种原因会有不同程度的损伤或老化，从而可导致工程事故的发生。随着土木工程的迅速发展和工程事故的增多，对工程结构的安全性、适用性以及耐久性等健康状况的监测和评估已成为重要的研究课题。

作为傅里叶分析思想发展的小波分析方法是一种窗口面积固定、但窗口的形状可变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法：即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分。在本质上，小波分析既是一种数学方法又是一种信号处理方式。在结构振动状态监测中，信号波形突变点往往包含反映结构状态的重要信息，因此，对信号突变点的监测具有重要意义。

1 小波变换基本理论

对于一个能量有限的函数f（t），即满足f（t）∈L2（R），它的小波变换： 其中a，b分别为尺度因子和平移因子，a，b，且a。，由它经过尺度伸缩与时间平移生成小波函数族，即小波基：

其中是的傅里叶变换。公式一中是把函数f（t）分解为若干个小波系数，由这些小波系数可以对函数f（t）进行重构。

通过伸缩因子和平移因子的变化，小波窗沿时间轴移动在不同的尺度上对整个时间域上的函数变化进行分析。当a值小时，时间轴上观察范围小，而频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察。当a值较大时，时间轴上考察范围大，而在频域上相当于用低频小波作概貌观察。小波变换把信号分解成母小波按不同尺度伸缩和平移后的小波函数上，这些小波函数是紧支撑的、时间有限的。

2 最优小波基的选取

小波包基库是由许多小波包基组成，不同的小波包基具有不同的性质，能够反映信号的不同特性，我们希望根据不同分析信号的特征来选择一个最好的小波

包基，用来表达信号的特点。对运用于损伤检测的小波基从理论上来说应该具有以下性质：

（1）合适的紧支性。支撑性表示的是函数的衰减速度，不同的支撑长度，对应不同时间和频率的局部刻化能力。可通过改变支撑集的大小来调整通频带宽的带宽，在选择小波基的时候，紧支撑区间越大，反映频域局部性态的能力越强而当紧支撑区间越小，反映时域局部性态的能力越强。

（2）足够的消失矩。消失矩的个数对于信號微小突变的检测能力很有用。可以证明，如果小波具有n阶消失矩，那么小波变换相当于一个n阶多尺度微分算子，消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，它可以用来检测有微小突变的信号高阶导数不连续的情况。

（3）对称性。波是用来学习奇异性和局部特征的天然工具，不同对称性的小波得到的重构信号也具有不同的光滑性，影响奇异信号的检测。

3 小波分析在单梁损伤识别中的应用

承受一定的振动激励，结构会产生某种振动响应，损伤的发生会导致结构固有频率、振型和阻尼比发生变化。损伤的程度不同，结构固有频率、振型和阻尼的变化量的大小不同，进而影响结构的动力响应。由于损伤对响应信号各频率成分的抑制或增强作用不同，导致响应信号中各频率成分的重新分布。小波包分析就是将信号分解到代表不同频带的各个层次上，因此，通过提取各个层次上信号的能量值，组成特征向量，可以作为损伤情况的特征。

利用通用有限元计算软件MIDAS建立设计长度5.3m的混凝土简支梁，计算跨径为5.1的数值模型。该梁的质量密度和弹性模量分别为2500kg/m3和2.931010pa，泊松比为0.2。将全梁划分为16个单元，17个节点。利用单元刚度降低模拟结构损伤。本文设置跨中单元刚度降低50%。选用Daubechies（dbN）小波做为小波变换的基函数。利用DB5小波在水平4下对有限元加速度信号进行小波包分解，此时将产生16个组分。加速度分解后，根据下式计算小波能量。

定义j水平下信号的小波能量变化率。 其中：

损伤后的小波包节点能量; 未损伤的小波包节点能量;

在有限元计算中，共有17个测量节点，则每一种工况的加速度信号经过小波分解后都可以得到17个小波包能量变化率指标。分别对工况二和工况三的51个指标进行数学统计，μ和σ分别表示能量变化率指标的均值和均方差，则对应于置信水平（1−a）的单边置信限为：

Za对应于标准正态分布的累积概率为100（1—a）%时的置信限。此限值可以看作为小波包能量变化率指标对应于结构损伤的预警值。设置此预警值之后，如果结构的小波包能量变化率超过此，则表明在100（1—a）%的概率下，结构存在损伤。在分析中，取a=0.02，则对应于置信水平为98%的小波能量变化率指标的置信上限UL便可以通过上式获得。对于任一损伤单梁，可以将小波能量变化率指标和置信上限UL之差与梁体的节点绘成柱状图，来判断梁体的损伤位置。

用有限元法计算冲击荷载作用下的加速度响应，采集节点1-17的加速度信号作为测量的动力信号进行分析。采样频率为500Hz，时间步为0.002s，冲击力的作用时间为0.04s。经过有限元计算，得到各个节点的加速度信号。我们以9号节点（跨中节点）为例，分别提取梁未损伤状态下和梁跨中损伤50%时的加速度响应。使用公式来计算各节点的小波能量变化率指标，可以得到各节点在冲击荷载作用下与损伤置信上线的差值。我们可以得到跨中节点，在瞬态冲击荷载作用下有明显的能量损伤变化差值，达到预期效果。我们可以得出，在瞬态冲击荷载作用，小波能量变化率指标能够准确识别出单梁的损伤位置，此方法对于结构损伤识别具有可行性。

4 总结

经过多年的研究，虽然在结构损伤识别领域已经发展了大量的方法，但是由于土木工程结构损伤分布和损伤程度有很大的随机性、振动源不明确和振动测试环境不可控、独特的个性和相对复杂等特点，这些方法应用在实际工程中时遇到了很多困难，比如，测试数据不完备、环境激励下无法获得激振信息、结构所处的外界环境复杂多变、无法得到结构在完好状态下的基准数据、很难得到精度较高的基准有限元模型、测试噪声的干扰等困难和问题是普遍存在的。虽然人们已经认识到这些问题，并针对这些问题提出了相应的解决办法，但是这些方面还有待于我们在以后的研究中进一步完善。

参考文献：

[1]唐和生，薛松涛，陈镕，等.基于小波变换在线结构损伤检测分析研究[J].固体力学学报，2004，25（1）：47-52.