中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习(2021年整理)

江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

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江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

2017年中考数学一轮复习第15讲《二次函数综合应用》

【考点解析】

知识点一、二次函数与一次函数及反比例函数的结合

【例题】（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

2

A． B． C． D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax+bx+c的图象相比较看是否一致．

【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误; B、由抛物线可知,a＞0，x=﹣C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣故选C． 【变式】

已知二次函数y=ax+bx+c（a,b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+反比例函数y=

ab在同一坐标系内的大致图象是（ ） x2

2

＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； ＜0，得b＜0,由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．

b与2a

【答案】D．

2

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【解析】∵抛物线开口向上， ∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=-∴b＞0,

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方, ∴c＜0， ∴一次函数y=cx+故选D．

知识点二、二次函数与一元二次方程

【例题】(2016·四川泸州）若二次函数y=2x﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则

+

的值为 ﹣ ．

2

b＜0， 2abab的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=分布在第一、三象限． 2ax【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出【解答】解：

设y=0，则2x﹣4x﹣1=0，

∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1，x2， ∴x1+x2=﹣∵

+

=

=2,x1,•x2=﹣， =﹣，

2

+的值．

∴原式==﹣，

故答案为:﹣．

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【变式】

二次函数y=x+bx的图象如图，对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x+bx—t=0（t为实数)在—1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

2

2

A．t≥-1 B．—1≤t＜3 【答案】C.

【解析】对称轴为直线x=-解得b=—2，

C．-1≤t＜8 D．3＜t＜8

b=1， 21所以，二次函数解析式为y=x2-2x， =(x-1）2—1, x=-1时，y=1+2=3， x=4时，y=16—2×4=8，

∵x+bx—t=0相当于y=x+bx与直线y=t的交点的横坐标， ∴当-1≤t＜8时，在—1≤x＜4的范围内有解． 故选：C．

知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题

【例题】（2015浙江金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线

y1(x80)216，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米,则桥4002

2

面离水面的高度AC为( ）

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A．16917715米 B．米 C．16米 D．米 404404【答案】B．

【分析】主要是利用抛物线的解析式以及OA=10来进行解答，关键是根据图象确定A点的坐标,从而确定C点的横坐标，继而得到问题的答案．

【解析】∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x=﹣10时，

111717，∴桥面离水面的高度(x80)216=(1080)216=，∴C（﹣10，）

4004004417AC为m．故选B．

4y【点评】本题考查了利用函数图象上的点来解决实际问题中的距离问题，能正确地确定点的坐标是解决问题的关键．

【方法技巧规律】利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案． 【变式】

（2015•铜仁市）（第3题）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣度AB为（ ）

x，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽

2

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A. ﹣20m B。 10m C。 20m D. ﹣10m

【解析】二次函数的应用．. 根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答． 【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4， 把y=﹣4代入y=﹣得x=±10，

∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4)， ∴AB=20m．

即水面宽度AB为20m． 故选C．

【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

知识点四、二次函数的应用

【例题】（2016·湖北随州·9分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件),每天的销售量为p(单位：件),每天的销售利润为w（单位:元）． 时间x(天） 每天销售量p

198

（件)

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大？并求出最大利润;

(3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．

140

80

20

1

30

60

90

x，

2

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【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时,y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；

（2)根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论;

（3)令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．

【解答】解:(1）当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），

∵y=kx+b经过点（0,40）、（50，90）， ∴

，解得：

，

∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40; 当50＜x≤90时,y=90．

∴售价y与时间x的函数关系式为y=

由可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，

7

．

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设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0）， ∵p=mx+n过点(60，80）、（30,140）， ∴

，解得：

，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），

当0≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30)（﹣2x+200)=﹣2x2

+180x+2000; 当50＜x≤90时,w=（90﹣30）（﹣2x+200)=﹣120x+12000． 综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=

．

（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2

+180x+2000=﹣2（x﹣45)2

+6050， ∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，

∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元． 当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000, ∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，

∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元． ∵6050＞6000，

∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．

即销售第45天时,当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

（3)当0≤x≤50时，令w=﹣2x2

+180x+2000≥5600，即﹣2x2

+180x﹣3600≥0， 解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21（天)；

当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+00≥0， 解得：50＜x≤53， ∵x为整数，

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∴50＜x≤53， 53﹣50=3(天)．

综上可知：21+3=24（天),

故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元． 【变式】

（2016·湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表: 产品 甲 乙 每件售价（万每件成本（万每年其他费用（万元） 6 20 元) 元） 20 40＋0。05x 2每年最大产销量（件) 200 80 a 10 其中a为常数，且3≤a≤5．

（1) 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润;

(3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 【考点】二次函数的应用，一次函数的应用

【答案】 （1）y1=(6—a）x—20（0＜x≤200）,y2=-0。05x²+10x-40（0＜x≤80)；（2） 产销甲种产品的最大年利润为（1180—200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3。7时，选择甲乙产品；当3。7＜a≤5时,选择乙产品 【解析】解：（1） y1=（6-a）x—20（0＜x≤200)，y2=-0.05x²+10x-40(0＜x≤80)； （2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6—a＞0，∴y1随x的增大而增大． ∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5)

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乙产品：y2=-0.05x²+10x—40（0＜x≤80） ∴当0＜x≤80时,y2随x的增大而增大． 当x＝80时，y2max＝440（万元）．

∴产销甲种产品的最大年利润为(1180—200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品； 1180－200＝440，解得a=3.7时,此时选择甲乙产品; 1180－200＜440，解得3。7＜a≤5时，此时选择乙产品． ∴当3≤a＜3。7时,生产甲产品的利润高； 当a=3。7时,生产甲乙两种产品的利润相同； 当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．

知识点五、二次函数在几何图形中的应用

【例题】（2016·湖北武汉·12分）抛物线y＝ax＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方． （1）如图1，若P（1，－3)、B(4,0）, ① 求该抛物线的解析式；

② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标;

（2) 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OEOF是否为定

OC2

值？若是，试求出该定值;若不是，请说明理由．

yyAOBxAOEPBxCCF

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【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。

【答案】 （1）①y＝x—2

【解析】解:（1）①将P(1，－3）、B（4,0）代入y＝ax＋c得

1a16ac05 ，解得 ，抛物线的解析式为:y1x216 ． 55ac0c1652

152

161127；②点D的坐标为（-1，—3)或（，）；（2）是定值,等于5416②如图：

由∠DPO＝∠POB得DP∥OB,D与P关于y轴对称,P（1，－3）得D（-1，-3)； 如图，D在P右侧,即图中D2,则∠D2PO＝∠POB,延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP， 设Q（q，0），则（q－1）＋3＝q，解得：q＝5,∴Q(5，0），则直线PD2为yx315yx44y1x216552

2

2

3415 ,再联立4 得：x＝1或

11 ，∴ D2(11,274416 ）

∴点D的坐标为(—1，-3)或(11,27 ）

416

(2）设B（b，0），则A(-b，0）有ab＋c＝0，∴b＝c，过点P（x0，y0）作PH⊥AB,有y0ax2c,

2

2

a 11

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易证：△PAH∽△EAO,则 OE同理得OFOBPHBH2OAPHHA即

y0OEbx0b，∴OEby0, x0b11) bx0bx02c2. c∴

y0OFbbx0,∴OFby0bx0，则OE＋OF＝by0(c2()y02bya∴OEOF2022c，又

cy0cbx0aaOC＝－c，∴OEOFOC

∴OEOF是定值，等于2．

OC【变式】

（2016·吉林·10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8D，点P从点A出发，沿A→C方向以

cm，AD⊥BC于点

cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P

作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm) (1)当点M落在AB上时，x= 4 ； （2）当点M落在AD上时，x=

；

2

（3）求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围．

【考点】三角形综合题．

【分析】(1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形,此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．

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（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得由此即可解决问题．

==,

(3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中,设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF,②当4＜x≤

时,如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当

＜

x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ,分别计算即可解决问题．

【解答】解：(1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=4所以x=

=4．

，

故答案为4．

（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E．

∵△MQP，△PQE,△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC ∴DQ=QE=EC, ∵PE∥AD, ∴

=

=，∵AC=8, ÷

=

．

,

∴PA=∴x=故答案为

．

（3）①当0＜x≤4时，如图2中,设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，

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∵AP=x，

∴EF=PE=x,

∴y=S2

△PEF=•PE•EF=x． ②当4＜x≤

时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．

∵PQ=PC=8﹣x，

∴PM=16﹣2x,∴ME=PM﹣PE=16﹣3x， ∴y=S△PMQ﹣S2

2

△MEG=（8

﹣

x）﹣（16﹣3x）=﹣x2

+32x﹣．

③当＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，

∴y=S2

△PMQ=PQ=（8﹣x）2=x2

﹣16x+．

综上所述y=．

【典例解析】

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【例题1】（2011湖北随州,23，？)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝1．当(x60)241（万元）

100地拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中,该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润

Q99294． (100x)2(100x)160（万元）

1005（1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少？

(2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ （3)根据（1）、（2)，该方案是否具有实施价值？ 【解析】二次函数的应用。(1）由可获得利润P＝1(x60)241（万元)，即可知当100x＝60时，

P最大,最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；

（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100－x,即可得函数y＝P+Q＝［－

1100(x－60）+41]+［－

2

99100x+294x+160］，整理求解即可求

2

5得最大值,则可求得按规划实施,5年所获利润（扣除修路后）的最大值； （3)比较可知,该方案是具有极大的实施价值． 【解答】解：(1）∵每投入x万元，可获得利润P＝∴当x＝60时，所获利润最大，最大值为41万元，

∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5＝205（万元）；

（2）前两年：0≤x≤50,此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2×[－

11001， (x60)241（万元）

100（50－60)+41］＝80（万元），

2

后三年：设每年获利y,设当地投资额为x，则外地投资额为100－x,

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∴y＝P+Q＝［－

2

1100（x－60）+41］+[－

2

2

99100x+294x+160]

2

5＝－x+60x+165＝－（x－30)+1065， ∴当x＝30时,y最大且为1065，

∴这三年的获利最大为1065×3＝3495（万元),

∴5年所获利润(扣除修路后）的最大值是:80+3495－50×2＝3475（万元）． （3）该方案是具有极大的实施价值．

【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．

【例题2】（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x+mx=7的解为（ ）

A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1,x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 【考点】二次函数的性质;解一元二次方程—因式分解法．

【分析】先根据二次函数y=x+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x+mx=7,求出x的值即可．

【解答】解：∵二次函数y=x+mx的对称轴是x=3， ∴﹣=3，解得m=﹣6，

∴关于x的方程x+mx=7可化为x﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7)=0，解得x1=﹣1,x2=7． 故选D．

【例题3】（2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x﹣2（b﹣2)x+b﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2

【分析】由于二次函数y=x﹣2（b﹣2）x+b﹣1的图象不经过第三象限,所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可

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2

2

2

2

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2

22

2

2

2

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以确定抛物线与x轴有无交点,抛物线与y轴的交点的位置,由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．

【解答】解:∵二次函数y=x﹣2（b﹣2）x+b﹣1的图象不经过第三象限， ∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限, 当抛物线在x轴的上方时， ∵二次项系数a=1， ∴抛物线开口方向向上，

∴b﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]﹣4（b﹣1）≤0， 解得b≥；

当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时， 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2, ∴x1+x2=2（b﹣2）≥0,b﹣1≥0, ∴△=［2（b﹣2）］﹣4（b﹣1）＞0,① b﹣2＞0，② b﹣1＞0，③

由①得b＜，由②得b＞2， ∴此种情况不存在， ∴b≥, 故选A．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题．

【例题4】（2016·吉林·10分）如图1，在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l:y=ax+bx+c经过点O,A,B三点

17

2

2

2

22

2

2

2

2

2

江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

（1)当m=2时，a=﹣，当m=3时,a=﹣；

(2)根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；

(3)如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=﹣;

（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．

【考点】二次函数综合题．

【分析】(1）由△AOB为等边三角形，AB=2m,得出点A，B坐标，再由点A,B，O在抛物线上建立方程组，得出结论,最后代m=2，m=3，求值即可； （2）同(1）的方法得出结论

（3）由△APQ为等腰直角三角形,PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n,d），Q（e+n，d）,建立方程组求解即可;

（4）由（2）（3)的结论得到m=【解答】解：（1）如图1,

n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可．

∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m, ∴B（2m,0），

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江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

∵以OB为边向上作等边三角形AOB, ∴AM=

m,OM=m,

∴A（m，

m),

∵抛物线l：y=ax2

+bx+c经过点O，A,B三点

∴，

∴

当m=2时，a=﹣， 当m=3时，a=﹣， 故答案为：﹣，﹣

；

（2）a=﹣

理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m， ∴B（2m，0),

∵以OB为边向上作等边三角形AOB, ∴AM=

m，OM=m,

∴A（m，

m），

∵抛物线l：y=ax2

+bx+c经过点O,A,B三点

∴，

∴

∴a=﹣

，

19

江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

（3)如图2,

∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n, 设A（e，d+n)，∴P（e﹣n，d）,Q（e+n，d）, ∵P,Q,A，O在抛物线l：y=ax2

+bx+c上，

∴,

∴，

①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④， ①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤， ④﹣⑤化简得,an=﹣1， ∴a=﹣

故答案为a=﹣，

(4）∵OB的长度为2m，AM=m， ∴S△AOB=OB×AM=2m×m=

m2

，

由(3）有，AN=n ∵PQ的长度为2n，

∴S△APQ=PQ×AN=×2m×n=n2

，

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江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

由（2）（3）有,a=﹣∴﹣∴m=∴

=﹣， n， =

=

，a=﹣,

=, ：1．

∴△AOB与△APQ的面积比为3【中考热点】

热点1：（2016·辽宁丹东·10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克），增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1)函数的表达式为y=kx+b，把点（12,74），（28，66）代入解方程组即可． （2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值． （3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．

【解答】解：（1)设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74）,(28，66)， 得

，

21

江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

解得，

∴该函数的表达式为y=﹣0。5x+80, （2）根据题意，得,

（﹣0。5x+80)（80+x)=6750， 解得，x1=10,x2=70 ∵投入成本最低．

∴x2=70不满足题意,舍去．

∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克． （3）根据题意,得 w=（﹣0.5x+80）（80+x） =﹣0.5 x+40 x+00 =﹣0。5（x﹣40）+7200

∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当x=40时,w最大值为7200千克．

∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．

热点2：(2016·江西·12分）设抛物线的解析式为y=ax，过点B1（1,0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1，2）；过点B2（,0)作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）0）（n为正整数）作x轴的垂线,交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1． （1）求a的值；

（2)直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）； （3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？

n﹣1

2

2

2

，

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江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

②设1≤k＜m≤n(k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由． 【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）直接把点A1的坐标代入y=ax求出a的值;

（2）由题意可知:A1B1是点A1的纵坐标：则A1B1=2×1=2；A2B2是点A2的纵坐标:则A2B2=2×（）

2

2

2

=；…则AnBn=2x=2×[（）

2n﹣1

］=

2

;

，…，BnBn+1=

；

B1B2=1﹣=,B2B3=﹣==

（3）因为Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1是直角三角形,所以分两种情况讨论：根据（2）的结论代入所得的对应边的比列式，计算求出k与m的关系，并与1≤k＜m≤n（k，m均为正整数)相结合，得出两种符合条件的值，分别代入两相似直角三角形计算相似比． 【解答】解：（1）∵点A1(1，2）在抛物线的解析式为y=ax上， ∴a=2;

(2）AnBn=2x=2×［（）BnBn+1=

；

=

，

2

n﹣12

2

]=，

（3）由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，则：2n﹣3=n,n=3，

∴当n=3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形, ②依题意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有两种情况：i)当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时，

=， =， =，

所以，k=m(舍去），

ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时，

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江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

=， =， =，

∴k+m=6,

∵1≤k＜m≤n（k,m均为正整数）， ∴取当

或

；

时,Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5,

=

=，

相似比为：当

时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，

相似比为： ==8,

所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为:1或8:1．

热点3：（2016·贵州安顺·14分）如图,抛物线经过A（﹣1，0)，B（5，0），C（0，点．

（1)求抛物线的解析式;

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小,求点P的坐标；

）三

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A，C,M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在,求点N的坐标；若不存在,请说明理由．

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江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

【分析】（1)设抛物线的解析式为y=ax+bx+c(a≠0)，再把A（﹣1,0），B（5，0），C(0，三点代入求出a、b、c的值即可；

2

）

(2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；

（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．

【解答】解：（1)设抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0)，B(5,0),C（0，

）三点在抛物线上，

2

∴,

解得．

2

∴抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣； （2）∵抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣，

2

∴其对称轴为直线x=﹣连接BC，如图1所示，

=﹣=2,

∵B（5，0)，C(0，﹣)，

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江苏省苏州市2017年中考数学一轮复习 第15讲《二次函数综合应用》练习

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴，

解得,

∴直线BC的解析式为y=x﹣, 当x=2时,y=1﹣=﹣， ∴P（2,﹣）；

（3)存在． 如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C(0，﹣∴N1（4,﹣);

②当点N在x轴上方时,

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中，

）， 26

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∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为． ∴x﹣2x﹣=， 解得x=2+∴N2(2+

或x=2﹣,),N3（2﹣

， ,）．

,）或（2﹣

，)．

2

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+

【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．

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