2020年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）（2020•荆门）|−√2|的平方是（ ） A．−√2 B．√2 C．﹣2
D．2
2．（3分）（2020•荆门）据央视网消息，全国广大党员积极响应党号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元．82.6亿用科学记数法可表示为（ ） A．0.826×10l0
B．8.26×109
C．8.26×108
D．82.6×108
3．（3分）（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
4．（3分）（2020•荆门）下列等式中成立的是（ ） A．（﹣3x2y）3＝﹣9x6y3 B．x2＝（
𝑥+121√2）2﹣（+
1√3𝑥−12
）2
C．√2÷（D．
1
）＝2+√6
1
(𝑥+1)(𝑥+2)
=
𝑥+1
−
1
𝑥+2
5．（3分）（2020•荆门）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1
B．2 C．√2
第1页（共26页）
D．4
6．（3分）（2020•荆门）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2√3，D为BC的中点，AE=4AB，则△EBD的面积为（ ）
1
A．
3√34
B．
3√3 8
C．
√3 4
D．
√3 8
7．（3分）（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（ ）
A．14°
B．28°
C．42°
D．56°
8．（3分）（2020•荆门）为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116．这组数据的平均数和中位数分别为（ ） A．95，99
B．94，99
C．94，90
D．95，108
9．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，√3），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣2√3）
B．（0，﹣3） C．（0，﹣4） D．（0，﹣4√3）
第2页（共26页）
10．（3分）（2020•荆门）若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根
11．（3分）（2020•荆门）已知关于x的分式方程
2𝑥+3𝑥−2
=
𝑘(𝑥−2)(𝑥+3)
+2的解满足﹣4＜x
＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ） A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
12．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2√5 B．2√10 C．6√2
D．3√5
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
13．（3分）（2020•荆门）计算：√8−tan45°+（﹣2020）0﹣（√2）1＝ ．
﹣
14．（3分）（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 ．
̂上15．（3分）（2020•荆门）如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为𝐴𝐵一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
第3页（共26页）
16．（3分）（2020•荆门）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y=（x＜0）的图象经过点G，则k的值为 ．
𝑘
𝑥
17．（3分）（2020•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
2218．（8分）（2020•荆门）先化简，再求值：（2x+y）+（x+2y）﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），
其中x=√2+1，y=√2−1．
19．（9分）（2020•荆门）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC
第4页（共26页）
交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F． （1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数； （2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
20．（10分）（2020•荆门）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这（x+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
53
21．（10分）（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处． （1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73）
第5页（共26页）
22．（10分）（2020•荆门）如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE． （1）求证：AB＝BM； （2）若AB＝3，AD=
24
，求⊙O的半径． 5
23．（10分）（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p=
2
𝑥+4(0＜𝑥≤20)5{，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示． 1
−𝑥+12(20＜𝑥≤30)5（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）
24．（12分）（2020•荆门）如图，抛物线L：y=2x2−4x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
第6页（共26页）
15
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y=2x2−4x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．
1
5
第7页（共26页）
2020年湖北省荆门市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）（2020•荆门）|−√2|的平方是（ ） A．−√2 B．√2 C．﹣2
D．2
【解答】解：|−√2|的平方是2， 故选：D．
2．（3分）（2020•荆门）据央视网消息，全国广大党员积极响应党号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元．82.6亿用科学记数法可表示为（ ） A．0.826×10l0
B．8.26×109
C．8.26×108
D．82.6×108
【解答】解：82.6亿＝8 260 000 000＝8.26×109， 故选：B．
3．（3分）（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF=2AB＝5， ∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝10， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40； 故选：C．
第8页（共26页）
1
4．（3分）（2020•荆门）下列等式中成立的是（ ） A．（﹣3x2y）3＝﹣9x6y3 B．x2＝（
𝑥+121√2）2﹣（+
1√3𝑥−12
）2
C．√2÷（D．
1
）＝2+√6
1
(𝑥+1)(𝑥+2)
=
𝑥+1
−
1
𝑥+2
【解答】解：A、原式＝﹣27x6y3，所以A选项错误； B、（
𝑥+12
）﹣（
2
𝑥−12
）＝（
2
𝑥+12
+
𝑥−12
）（•
𝑥+12
−
𝑥−12
）＝x•1＝x，所以B选项错误；
C、原式=√2÷（
√2√33√2+2√366√2(3√2−2√3)+）=√2÷=√2×==6﹣2√6，
618−12233√2+2√3所以C选项错误； D、
1𝑥+1
−
1𝑥+2
=
𝑥+2−(𝑥+1)(𝑥+1)(𝑥+2)
=
1
(𝑥+1)(𝑥+2)
，所以D选项正确．
故选：D．
5．（3分）（2020•荆门）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1
B．2
C．√2
D．4
【解答】解：（1+1）×1÷2×2 ＝2×1÷2×2 ＝2．
故该几何体的体积为2． 故选：B．
6．（3分）（2020•荆门）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2√3，D为BC的中点，AE=4AB，则△EBD的面积为（ ）
1
第9页（共26页）
A．
3√334
B．
3√38
C．
√34
D．
√8
【解答】解：连接AD，作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30° 在Rt△ABD中，BD=1
2BC=√3，∠B＝30°， ∴AB=
𝐵𝐷
𝑐𝑜𝑠30°=√3√3=2，
2∴AD=12𝐴𝐵=1， ∵AE=1
4AB， ∴
𝐵𝐸3
𝐴𝐵
=4
，
∵EF⊥BC，AD⊥BC， ∴EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD， ∴𝐸𝐹𝐵𝐸𝐴𝐷=
𝐴𝐵，
∴
𝐸𝐹=31
4
∴EF=3
4， ∴S△BDE=
12×𝐵𝐷×𝐸𝐹=12×√3×33√34=8， 故选：B．
7．（3分）（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（第10页（共26页）
）
A．14°
B．28°
C．42°
D．56°
【解答】解：∵在⊙O中，OC⊥AB， ̂=𝐵𝐶̂， ∴𝐴𝐶
∵∠APC＝28°，
∴∠BOC＝2∠APC＝56°， 故选：D．
8．（3分）（2020•荆门）为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116．这组数据的平均数和中位数分别为（ ） A．95，99
B．94，99
C．94，90
D．95，108
【解答】解：这组数据的平均数=
1
（78+86+60+108+112+116+90+120+54+116）＝94， 10把这组数据按照从小到大的顺序排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120，
∴这组数据的中位数=故选：B．
9．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，√3），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
90+108
=99， 2第11页（共26页）
A．（0，﹣2√3）
B．（0，﹣3）
C．（0，﹣4）
D．（0，﹣4√3）
【解答】解：∵点A的坐标为（1，√3）， ∴AB＝1，OB=√3，
∴OA=√𝐴𝐵2+𝑂𝐵2=√12+(√3)2=2，
∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'， ∴OB'＝OB=√3，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2， ∴A'（−√3，﹣1），
∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C， ∴∠A′OC+∠A′CO＝90°， ∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°， ∴∠A′CO＝∠A′OB′， ∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°， ∴△A′OB′∽△COA′， ∴
𝑂𝐶𝑂𝐴′
=
𝑂𝐴′𝐴′𝐵′
，即
𝑂𝐶2
=，
1
2
∴OC＝4， ∴C（0，﹣4）， 故选：C．
10．（3分）（2020•荆门）若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
第12页（共26页）
D．没有实数根
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1）， 画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根， 故选：C．
11．（3分）（2020•荆门）已知关于x的分式方程
2𝑥+3𝑥−2
=
𝑘(𝑥−2)(𝑥+3)
+2的解满足﹣4＜x
＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ） A．正数 【解答】解：
2𝑥+3𝑥−2
B．负数 =
𝑘(𝑥−2)(𝑥+3)
C．零
+2，
D．无法确定
（2x+3）（x+3）＝k+2（x﹣2）（x+3）， 解得x=7−3，
∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数， ∴k＝7或14或21，
∴符合条件的所有k值的乘积为7×14×21＞0． 故选：A．
12．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
𝑘
第13页（共26页）
A．2√5 B．2√10 C．6√2
D．3√5
【解答】解：设C（m，0）， ∵CD＝2， ∴D（m+2，0）， ∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD=√𝑚2+22+√(𝑚+2)2+42，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=√𝑚2+22+√(𝑚+2)2+42），
如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10， ∴AC+BD的最小值为2√10． 故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
第14页（共26页）
13．（3分）（2020•荆门）计算：√8−tan45°+（﹣2020）0﹣（√2）1＝
﹣
32√2 ．
【解答】解：原式＝2√2−1+1−2
=
故答案为：
32
√23
√2 2√2．
14．（3分）（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 1 ． 【解答】解：设方程的两根分别为t，t+2， 根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2， 整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去）， 所以m的值为1． 故答案为1．
̂上15．（3分）（2020•荆门）如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为𝐴𝐵一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为
23𝜋−√3 ． 2
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2， ∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D， ∴∠ODC＝90°， ∵∠AOC＝30°，
第15页（共26页）
∴OD=
√32OC=√3，CD=OC＝1，
12∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
60⋅𝜋×2=
360=3π−2． 故答案为π−2．
3
2
√32
√311
−×2×2×+×√3×1 2222√316．（3分）（2020•荆门）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y=𝑥（x＜0）的图象经过点G，则k的值为 −2 ．
𝑘
1
【解答】解：∵B（﹣2，1）， ∴AB＝1，OA＝2，
∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED， ∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°， ∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED， ∴△OCG∽△OED， ∴
𝐶𝐺𝐷𝐸
=
𝑂𝐶𝑂𝐸1
，即𝐶𝐺1
=，解得CG=，
2
1
12∴G（−2，1），
把G（−2，1）代入y=𝑥得k=−2×1=−2． 故答案为−2．
17．（3分）（2020•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC
第16页（共26页）
1𝑘11
1
的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC的面积=AB•yC=
1
21
×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与2图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故
21
y1＞y2，故②错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意； 故答案为：①④．
三、解答题（本大题共7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
2218．（8分）（2020•荆门）先化简，再求值：（2x+y）+（x+2y）﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），
其中x=√2+1，y=√2−1．
【解答】解：原式＝[（2x+y）﹣（x+2y）]2﹣x2﹣xy ＝（x﹣y）2﹣x2﹣xy ＝x2﹣2xy+y2﹣x2﹣xy ＝y2﹣3xy，
当x=√2+1，y=√2−1时，
原式＝（√2−1）2﹣3（√2+1）（√2−1） ＝3﹣2√2−3
第17页（共26页）
＝﹣2√2．
19．（9分）（2020•荆门）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F． （1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数； （2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠ABC=（180°﹣40°）=∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC=∠ABC=∵AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°； （2）∵AE∥BC， ∴∠E＝∠DBC， 在△ADE和△CDB中， {∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐵，
𝐴𝐷=𝐷𝐶
∴△ADE≌△CDB（AAS）， ∴AE＝BC，
∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC， ∴∠E＝∠ABD， ∴AB＝AE， ∴AB＝BC， ∵AB＝AC，
第18页（共26页）
1
21
×140°＝70°， 2121
×70°＝35°， 2∠𝐸=∠𝐷𝐵𝐶
∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°， ∵AD＝DC＝2， ∴AB＝AC＝4，
在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝4×tan30°＝4×3=3．
20．（10分）（2020•荆门）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
√34√3
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这（x+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
53
【解答】解：（1）60÷30%＝200（件），
20200
×100%＝10%，
1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%．
故XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；
（2）S号服装销量：200×25%＝50（件）， L号服装销量：200×20%＝40（件）， XL号服装销量：200×15%＝30（件），
第19页（共26页）
条形统计图补充如下：
𝑥=2𝑦
（3）由题意，得{𝑥=12解得{．
𝑦=6
故所求x，y的值分别为12，6．
21．（10分）（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处． （1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73）
𝑥3，
=𝑥+𝑦+25
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，
第20页（共26页）
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°， ∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°； （2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°， ∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里）， BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里）， 在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°， ∴AD＝AB×sin30°＝20×
1
=10（海里）， 2BD＝AB×cos30°＝20×2=10√3≈10×1.73＝17.3， ∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC， ∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°， ∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3， ∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7， CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，
设快艇的速度为v海里/小时，则v=2=9.85（海里/小时）． 答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．
22．（10分）（2020•荆门）如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE． （1）求证：AB＝BM；
第21页（共26页）
√319.7
（2）若AB＝3，AD=
24
，求⊙O的半径． 5
【解答】解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径， ∴AP⊥AC，
∴∠CAB+∠PAB＝90°， ∴∠AMD+∠AEB＝90°， ∵AB＝BE， ∴∠AEB＝∠CAB， ∴∠AMD＝∠PAB， ∴AB＝BM． （2）连接BC， ∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C+∠CAB＝90°， ∵∠CAB+∠PAB＝90° ∴∠C＝∠PAB，
∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D， ∴∠AMD＝∠D＝∠C， ∴AM＝AD=
24
， 5∵AB＝3，AB＝BM＝BE， ∴EM＝6，
∴由勾股定理可知：AE=√𝐸𝑀2−𝐴𝑀2=5， ∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°， ∴△MAE∽△CBA，
第22页（共26页）
18
∴∴
𝑀𝐸𝐶𝐴6𝐶𝐴
==
𝐴𝐸𝐴𝐵
185，
3
，
∴CA＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
23．（10分）（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p=
2
𝑥+4(0＜𝑥≤20)5{1，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示． −5𝑥+12(20＜𝑥≤30)
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b， 𝑏=80{， 20𝑎+𝑏=40𝑎=−2
解得，{，
𝑏=80
即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80， 当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
第23页（共26页）
20𝑚+𝑛=40{， 30𝑚+𝑛=80𝑚=4
解得，{，
𝑛=−40
即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40， 由上可得，y与x的函数关系式为y={（2）设当月第x天的销售额为w元，
当0＜x≤20时，w＝（x+4）×（﹣2x+80）=−（x﹣15）2+500，
52
45−2𝑥+80(0＜𝑥≤20)4𝑥−40
；
(20＜𝑥≤30)
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
当20＜x≤30时，w＝（−x+12）×（4x﹣40）=−（x﹣35）2+500， ∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480， 由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
24．（12分）（2020•荆门）如图，抛物线L：y=2x2−4x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y=x2−x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．
1
2541
5
1545
【解答】解：（1）∵抛物线L：y=2x2−4x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
第24页（共26页）
15
∴点A（4，0），点B（0，﹣3）， 设直线AB解析式为：y＝kx﹣3， ∴0＝4k﹣3， ∴k=4，
∴直线AB解析式为：y=4x﹣3， ∵y=2x2−4x﹣3=2（x−4）2−32， ∴抛物线顶点坐标为（，−
45
121
）； 321
5
1
5
1213
3
（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB=√𝑂𝐴12
2+𝑂𝐵5
2=√16+9=5，
54
34
设点P（x，x2−4x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3）， ∴BD=√(𝑥−0)
34
2
+(4𝑥−3+3)
12
5
432
=4x，
5
PD＝（x﹣3）﹣（x2−x﹣3）=−x2+2x， ∴PD+BD=−x2+2x+x=−（x−∵＜x＜4，−2＜0，
45
1125412132169）+， 43212∴当x=
16913
时，PD+BD有最大值为， 432
134
此时，点P（，−
57
）； 321
121
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y=2（x﹣m）2−32， 𝑦=4𝑥−3
联立方程组可得：{1
𝑦=2(𝑥−𝑚)∴x2﹣2（m+4）x+m2−16=0， 设点M（x1，y1），点N（x2，y2）， ∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
∴x1，x2是方程x2﹣2（m+4）x+m2−16=0的两根， ∴x1+x2＝2（m+4），
第25页（共26页）
3
2
121
−32，
325
325
3
∵点A是MN的中点， ∴x1+x2＝8， ∴2（m+4）＝8， ∴m=
13， 41
13
121
1
13
3
3
∴平移后的抛物线L'解析式为y=2（x−4）2−32=2x2−4x+2．
第26页（共26页）
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