2017-2018学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集 ， ， ，则集合
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】解： 或 ， ， 故选：D．
先求 ，再根据补集的定义求 ．
本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．
2. 化简式子 的值是
，得 与 同向共线， 存在正数 ，使得 ，即 ，【解析】解：由
解得 ． 故选：B． ，得 与 同向共线，再用坐标运算可求得． 由
本题考查了平行四边形法则和向量共线定理，属基础题．
5. 下列函数中，最小正周期为 的奇函数是
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】解： 是偶函数，不正确； 是奇函数，函数的周期为 ，正确； 是非奇非偶函数，不正确； 是奇函数，周期为 ，不正确；
故选：B．
判断函数的奇偶性以及求出函数的周期判断选项即可．
本题考查三角函数的奇偶性以及函数的周期的求法，考查计算能力．
6. 已知 ，点 ， ，则向量 在 方向上的投影为
A.
A.
B. C.
D. 【答案】A
【解析】解：
．
故选：A．
由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简得解．
本题主要考查了两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．
3. 下列函数中，在 上单调递减的是
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ，为对数函数，在 上为增函数，不符合题意； 对于B， ，为二次函数，在 上为减函数， 在 上为增函数，不符合题意；
对于C， ，为指数函数，在 上单调递减，符合题意； 对于D， 为幂函数，在 上为增函数，不符合题意； 故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．
， ，且 ，则k的值为 4. 已知 A. 3 B. 12 C. 【答案】B
B.
C.
D. 【答案】A
，点 ， ， 【解析】解：
可得 ， ， ， 可得向量 在 方向上的投影为：
．
故选：A．
运用向量的加减运算可得 ，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量 在 方向上的投影为
，即可得到所求值．
D.
本题考查向量的数量积的坐标表示，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．
7. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则
A. 12 B. 8 C. 10 D. 【答案】C
【解析】解：根据题意，等比数列 中， ， 则有 ， 则 ，
， 故选：C．
根据题意，由等比数列的性质，分析可得 ，对数性质可知 ，进而计算可得结论．
本题考查等比数列的性质，注意数列中所给各项的下标的关系．
8. 已知l，m，n为三条不同直线， ， ， 为三个不同平面，则下列判断正确的是
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ， ，则 【答案】C
【解析】解： 若 ， ，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误； 在正方体 中，设平面ABCD为平面 ，平面 为平面 ，直线 为直线m，直线 为直线n，
则 ， ， ，但直线 与 不垂直，故B错误． 设过m的平面 与 交于a，过m的平面 与 交于b， ， ， ， ， 同理可得： ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故C正确．
在正方体 中，设平面ABCD为平面 ，平面 为
平面 ，平面 为平面 ，
则 ， ， ， ，但 平
面ABCD，故D错误． 故选：C．
根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．
本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键． 9.
已知
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：已知
，则
， 故选：A．
由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得
的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
10. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸 单位： ，可得这个
几何体得体积是 ．
A.
B.
C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 其底面面积 ， 高 ，
故几何体的体积
，
故选：B．
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
11. 等边 的边长为4，点P是 内 包括边界 的一动点，且
，则 的最大值为
A. 3 B. C. D. 【答案】B
【解析】解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系：
是边长为4的等边三角形，
， ， ，
设点P为 ， ， ，
，
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知 ，则 的值是______． 【答案】 【解析】解： ，则 ， 故答案为： ．
由题意利用两角差的正切公式，求得 的值．
本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
14. 如果数列 的前n项和 ，则此数列的通项公式 ______． 【答案】
【解析】解：当 时 ，
整理得： ，
又 当 时， ，即 ，
数列 构成以1为首项、2为公比的等比数列， ， 故答案为： ．
利用 与 之间的关系、计算可知数列 构成以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论． 本题考查数列的通项，利用 与 之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
4、5，15. 长方体 的同一顶点的三条棱长分别为3、则该长方体的外接球表面积为______．
【答案】
【解析】解：由题意，长方体外接球，
长方体同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，即 ， ， ． 外接球的半径
．
，
，
，
而直线BC的方程是： ，
由 解得： ，
， 最大，最大值是 此时
故选：B．
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得 ，
取得最大值． 当该直线与直线BC相交时，
本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．
12. 函数 在
上的所有零点之和等于
A.
【答案】C
B.
C.
D.
【解析】解：由 ， 得 ，
分别作出函数 与 的图象如图：
由图可知，函数 在 之和等于 故选：C．
由 得 ，分别作出函数 与 的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数 的所有零点之和．
本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键，是中档题．
上的所有零点
长方体的外接球表面积 ． 故答案为： ．
根据长方体外接球的半径 ，即可求解．
本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16. 已知函数 ， 对任意的 都存在 ，使得
则实数a的取值范围是______． 【答案】
【解析】解： 函数 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线 对称 时， 的最小值为 ，最大值为 ，
．
可得 值域为
又 ， ，
为单调增函数， 值域为 即
对任意的 都存在 ，使得
，
故答案为：
确定函数 、 在 上的值域，根据对任意的 都存在 ，使得 ，可 值域是 值域的子集，从而得到实数a的取值范围．
本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知函数 的定义域是A，函数 的值域为 求 ． 【答案】解：函数 的定义域是
，
函数 的值域为 ； 则 ．
【解析】求出函数 的定义域A， 的值域B，再计算 ．
本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了交集的运算问题，是基础题．
18. 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ．
Ⅰ 求A的大小；
Ⅱ 若 ， 的面积为
，求 的值．
【答案】解： Ⅰ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， 整理得： ， 解得：
， 由于： ， 则：
．
Ⅱ 由于 ， ，
所以由余弦定理 ，可得 ， ， 由于： 的面积为
，则：
，可得： ，
由 解得： ，
故三角形的周长为： ．
【解析】 Ⅰ 直接利用正弦定理得三角函数关系式的恒等变换求出A的值．
Ⅱ 利用 Ⅰ 的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出 的值，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于中档题．
19. 差数列 的公差 ，其n项和为 ，已知 ，且 是 和 的等比中项．
求数列 的通项公式；
若
求数列 的前n项和 ．
【答案】解： 等差数列 的公差 ，其n项和为 ， 已知 ，且 是 和 的等比中项， 可得 ， ，即 ， 解得 ， ，
则 ；
，
则前n项和
．
【解析】 运用等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质，解方程可得首项、公差，即可得到所求通项公式；
求得
，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．
20. 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、
PC的中点，且 ． Ⅰ 求证： 平面PAD； Ⅱ 求证： 面PCD；
Ⅲ 若 ，求二面角 的正弦值． 【答案】证明： Ⅰ 取CD中点O，连结MO、NO， 垂直于矩形ABCD所在的平面，
M、N分别为AB、PC的中点，且 ， ， ，
， ，
平面 平面PAD，
平面MNO， 平面PAD．
Ⅱ 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 设 ， ，
则 0， ， 0， ， b， ， ， b， ， ， b， ， b， ， ， ，
， ，
【答案】解： 函数
的最小正周期为 ，
， ．
Ⅱ 将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变， 得到函数 的图象．
在 上， ， ， ，
即函数 在 上的值域为
， 面PCD．
Ⅲ 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ，
0， ， 0， ， 1， ， 1， ， 0， ， 1， ，
y， ， 设平面MPC的法向量
， 则，取 ，得
0， ， 平面MCD的法向量
设平面 的平面角为 ， 则
【解析】 利用三角恒等变换化简 的解析式，再由题意利用正弦函数的周期性，求得 的值．
Ⅱ 利用函数 的图象变换规律求得 的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数 在 上的值域．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数 的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
22. 已知函数 是R上的偶函数，其中e是自然对数的底数．
Ⅰ 求实数a的值
Ⅱ 探究函数 在 上的单调性，并证明你的结论；
Ⅲ 若函数 有零点，求实数m的取值范围． 【答案】解： Ⅰ 是偶函数，
，即 ， 即 ，则 ． Ⅱ 当 时， ， 设 ，
则 ，
，
，即 ，
则 则 ，即函数 在 上的单调递增； Ⅲ ， 设 ，当且仅当 时取等号，
有零点，
，
，
二面角 的正弦值为 ．
NO， Ⅰ 取CD中点O， ，【解析】连结MO、则 ，从而平面 ，由此能证明 平
面PAD．
Ⅱ 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 面PCD．
AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴， Ⅲ 以A为原点，建立空间直角坐标系，设 ，则 ，
求出平面MPC的法向量和平面MCD的法向量，利用向量法能求出二面角 的正弦值．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21. 已知函数 的最小正周期为 ．
求 的值
Ⅱ 将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域．
有不少于2的实数根，
即， ，
解得 ，
故m的取值范围为
【解析】 Ⅰ 根据函数的奇偶性的定义即可求出a的值， Ⅱ 根据函数单调性的定义即可判断和证明函数的单调性．
Ⅲ 设 ，问题转化为 有不少于2的实数根，即 ，解得即可．
本题考查了函数的奇偶性和单调性以及函数零点的问题，考查了转化思想，属于中档题