2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（ ） A．{1，2，3}
B．{1，2}
C．（0，3]
D．（3，4]
2．（3分）设i为虚数单位，复数𝑧=A．3﹣2i
→
2+3𝑖
，则z的共轭复数是（ ） 𝑖B．3+2i
→
C．﹣3﹣2i
→
→
→
D．﹣3+2i
→
→
3．（3分）已知向量𝑎=(1，3)，𝑏=(4，𝑚)，且(𝑎−𝑏)⊥𝑎，则向量𝑎与𝑏夹角为（ ） A． 3𝜋
B．
6
﹣
𝜋
C． 4
𝜋
D． 2
𝜋
4．（3分）已知a＝log52，b＝log72，c＝0.5a2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
𝜋
5．（3分）直角坐标系xOy中，点P（cosα，sinα）在直线y＝﹣2x上，则𝑐𝑜𝑠(2𝛼+2)=（ ） A．
54
B．−5
4
C． 5
3
D．−5
3
6．（3分）如果数据x1，x2，…，xn的平均数为𝑥，方差为82，则5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的平均数和方差分别为（ ） A．𝑥，82
C．5𝑥+2，25×82
3−3
7．（3分）函数f（x）=
𝑥2𝑥
−𝑥
B．5𝑥+2，82 D．𝑥，25×82
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，B＝120°，c＝3，则b＝（ ）
第1页（共16页）
A．√7 B．4 C．√19 D．5
9．（3分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（ ）
A．y＝x（1﹣|x|） C．𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥)
𝑥
4B．𝑦=4𝑐𝑜𝑠(2𝑥) D．y＝|x|（1﹣x）（x+1）
𝑥𝜋
10．（3分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（ ） A．
32
B．
5
3
C． 5
2
D．
3
10
11．（3分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A．12π
B．
21𝜋2
C．
41𝜋4
D．10π
12．（3分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线C1：
𝑥2𝑎2
−
𝑦2𝑏2
=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2互为共
轭双曲线，它们的离心率分别为e1、e2．以下说法错误的是（ ） A．C1、C2的渐近线方程都是y＝±𝑥
𝑎𝑏
B．e1•e2的最小值是2 C．e12+e22＝1 D．
1𝑒12+
1𝑒22=1
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）过抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点做平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，△OAB面积为，则a＝ ．
21
𝑦≤2
14．（3分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥+𝑦≥1，若z＝x+ty（t＞0）的最大值为11，
𝑦≥2(𝑥−2)则实数t＝ ．
第2页（共16页）
15．（3分）圆锥的底面直径为2，侧面积为2π，则它的体积为 ． 16．（3分）f（x）=−x2+lnx+1在[，e]上的最大值是 ．
𝑒
1
21
三．解答题（共5小题）
17．已知数列{an}满足𝑎1=1，𝑎2=，𝑎𝑛+𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+2． （Ⅰ）求证：{an+1﹣an}为等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式．
18．某学校开设了射击选修课，规定向A、B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为，向B靶射击，命中的概率为，假设
5
4
4
3
12小明同学每次射击的结果相互．现对小明同学进行以上三次射击的考核． （Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E（X）．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）．
（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （2）求二面角B﹣AF﹣E的余弦值的取值范围．
20．已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为不小于1的整数）， （1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）当a＝1时，若关于x的方程f（x）+2x2﹣4x＝2m+1在区间[2，𝑒]上有两个实数解，求实数m的取值范围． 21．已知椭圆C：
𝑥2𝑎2
1
+𝑦2=1（a＞1）的离心率是
√2． 2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N．如果∠MF1N为锐角，求k的取值范围．
第3页（共16页）
四．解答题（共1小题）
22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为{𝑥=𝑡−√3（t为参数），直线l2的参
𝑦=𝑘𝑡𝑥=√3−𝑚
数方程为{（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹𝑚
𝑦=3𝑘为曲线C1．
（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+)=3√2，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）
23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，设f（x）＜4的解集为S． （Ⅰ）求S；
（Ⅱ）证明：当a，b∈S时，2|a+b|＜ab+4．
𝜋4第4页（共16页）
2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）
参与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（ ） A．{1，2，3}
B．{1，2}
C．（0，3]
D．（3，4]
【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}， ∴所以A∩B＝{1，2，3}， 故选：A．
2．（3分）设i为虚数单位，复数𝑧=A．3﹣2i
【解答】解：∵𝑧=∴𝑧=3+2𝑖． 故选：B．
3．（3分）已知向量𝑎=(1，3)，𝑏=(4，𝑚)，且(𝑎−𝑏)⊥𝑎，则向量𝑎与𝑏夹角为（ ） A． 3
→→
→
→
→
→
→
→
2+3𝑖
，则z的共轭复数是（ ） 𝑖B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
2+3𝑖(2+3𝑖)(−𝑖)
==3−2𝑖， 2𝑖−𝑖
𝜋
B．
6
→
𝜋
C． 4
→
→
→
→
𝜋
D． 2
→
→
→2
→
→
𝜋
【解答】解：∵向量𝑎=(1，3)，𝑏=(4，𝑚)，且(𝑎−𝑏)⊥𝑎，∴（𝑎−𝑏）•𝑎=𝑎−𝑎⋅𝑏=0， 即 𝑎=𝑎•𝑏，即 10＝4+3m，∴m＝2，∴𝑏=（4，2）． 设向量𝑎与𝑏夹角为θ，θ∈[0，π]，
则 10＝|𝑎|•|𝑏|•cosθ=√10•√16+4•cosθ=√10•2√5•cosθ cosθ=2，∴θ=4， 故选：C．
4．（3分）已知a＝log52，b＝log72，c＝0.5a2，则a，b，c的大小关系为（ ）
﹣
→2
→→
→
→
→
→
→
√2𝜋
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵1＜log25＜log27， ∴1＞log52＞log72， 又0.5a2＞0.51＝2，
﹣
﹣
第5页（共16页）
则c＞a＞b， 故选：A．
5．（3分）直角坐标系xOy中，点P（cosα，sinα）在直线y＝﹣2x上，则𝑐𝑜𝑠(2𝛼+2)=（ ） A．
54
𝜋
B．−
4
5C． 5
3
D．−
35【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y＝﹣2x上， ∴
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
=tanα＝﹣2，
𝜋22𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼2𝑡𝑎𝑛𝛼−44
=−=−=， 2224+15𝑡𝑎𝑛𝛼+1𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼
则𝑐𝑜𝑠(2𝛼+)=−sin2α=−故选：A．
6．（3分）如果数据x1，x2，…，xn的平均数为𝑥，方差为82，则5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的平均数和方差分别为（ ） A．𝑥，82
C．5𝑥+2，25×82
B．5𝑥+2，82 D．𝑥，25×82
【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为𝑥，方差为82， ∴5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的平均数为：5𝑥+2， 5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的方差分别S＝25×82． 故选：C．
3−3
7．（3分）函数f（x）=
𝑥2𝑥
−𝑥
的图象大致为（ ）
A． B．
C．
3
−𝑥
𝑥
D．
【解答】解：f（﹣x）=排除B，
−3
=−f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，𝑥2第6页（共16页）
当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，D， 故选：C．
8．（3分）在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，B＝120°，c＝3，则b＝（ ） A．√7 B．4
C．√19
D．5
【解答】解：已知a＝2，B＝120°，c＝3，
则b2＝a2+c2﹣2accosB=4+9−2×2×3×(−2)=19， 解得b=√19． 故选：C．
9．（3分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（ ）
1
A．y＝x（1﹣|x|） C．𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥)
𝑥
4B．𝑦=𝑐𝑜𝑠(𝑥) D．y＝|x|（1﹣x）（x+1）
𝑥
4𝜋2【解答】解：对于A，因为﹣x（1﹣|﹣x|）＝﹣x（1﹣|x|），该函数是奇函数，故A错； 对于B，
−𝑥4
𝑐𝑜𝑠(
−𝜋𝑥2
)=−
𝑥4
𝑐𝑜𝑠(
𝜋𝑥2
)，该函数为奇函数，故B错；
对于D，x＞0时，f′（x）＝﹣3x2+1，当x＞1时，f′（x）＜0，该函数为减函数，故D错； 对于C，−𝑥4
𝑠𝑖𝑛(−𝜋𝑥)=
𝑥4
𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥，故函数为偶函数，𝑦′=4(𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥+𝜋𝑥𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥)，显然，
1
y′的符号可正可负，所以当x＞0时，函数有增有减．故C准确． 故选：C．
10．（3分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（ ） A．
32
B．
5
3
C． 5
2
D．
3
10
【解答】解：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B， 则从这5只兔子中任取3只的所有取法有：
第7页（共16页）
{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，
{a，A，B}，{b，C，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，共10种， 其中恰有2只做过测试的取法有：
{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为p=故选：B．
11．（3分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A．12π
B．
21𝜋2
63
=， 105 C．
41𝜋4
D．10π
【解答】解：取AC的中点E，做EF⊥AF与F，连接PF可得PF⊥AF，过E做垂直于面ABC的直线，由题意可得外接球的球心直线直线EO上，设球心为O，过O做OM⊥面PAF交于M，由正方体性质可得，M在PF上，四边形OEFM为矩形，MF＝OE，OM＝EF，PF＝AB＝2，连接PO，OC可得都是外接球的半径， 由题意可得：CE=2AB=√2，EF=2=1，
在三角形OEC中，OC2＝OE2+EC2＝OE2+（√2）2＝2+OE2， 在三角形POM中，OP2＝OM2+（PF﹣FM）2＝12+（2﹣OE）2， 两式联立可得：2+OE2＝1+（2﹣OE）2，解得：OE=， 所以OC2＝2+（）2=16，
43
41
34√2𝐴𝐵
所以外接球的表面积S＝4πOC2=4， 故选：C．
41𝜋
12．（3分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，
第8页（共16页）
称它们互为共轭双曲线．设双曲线C1：
𝑥2
𝑎2−
𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2互为共
轭双曲线，它们的离心率分别为e1、e2．以下说法错误的是（ ） A．C1、C2的渐近线方程都是y＝±𝑥
𝑎𝑏
B．e1•e2的最小值是2 C．e12+e22＝1 D．
1𝑒12+
1𝑒22=1
𝑥2𝑎2【解答】解：根据定义可得C1：
𝑏𝑎
−
𝑦2𝑏2=1，C2：
𝑦2𝑏2−
𝑥2𝑎2=1（a＞0，b＞0），
故他们的渐近线方程均为y＝±𝑥，故A正确； 则𝑒1
2
𝑎2+𝑏𝑎2+𝑏2
=，𝑒2=2， 𝑎2𝑏1
22
所以
𝑒12+
1𝑒22=
𝑎2𝑎2+𝑏2+
𝑏2𝑎2+𝑏2=1，故D正确；
上式整理得𝑒12+𝑒22=𝑒12𝑒22，
根据e1、e2都是大于1的正数，得e12e22＝e12+e22≥2e1e2， 两边约去e1e2，得e1e2≥2，故B正确； 故选：C．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）过抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点做平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，△OAB面积为，则a＝ ±2 ．
2
【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=y，所以焦点坐标为：（0，线AB的方程为：y=4𝑎， 代入抛物线的方程可得：x2=解得a=±2， 故答案为：±2．
𝑦≤214．（3分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥+𝑦≥1，若z＝x+ty（t＞0）的最大值为11，
𝑦≥2(𝑥−2)则实数t＝ 4 ．
第9页（共16页）
1
1
1𝑎1
4𝑎
），由题意可得直
1
11111111
，所以x=±，所以S=|𝐴𝐵|⋅=⋅⋅=， △OAB
2𝑎24𝑎2𝑎4𝑎24𝑎21
1
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z＝x+ty得y=−𝑡x+𝑡， 平移直线y=−x+，
由图象知当直线y=−𝑡x+𝑡经过点A时，直线的截距最大此时z最大为11， 𝑦=2由{得A（3，2）， 𝑦=2(𝑥−2)则3+2t＝11，得2t＝8，t＝4， 故答案为：4．
1
𝑧
1𝑡𝑧𝑡1
𝑧
15．（3分）圆锥的底面直径为2，侧面积为2π，则它的体积为 【解答】解：设圆锥的母线长为1，则由πrl＝2π，得l＝2， ∴圆锥的高ℎ=√𝑙2−𝑟2=√3， ∴𝑉=𝜋𝑟2ℎ=故答案为：
1
3√31
×𝜋×1×√3=𝜋． 33√3𝜋 ． 3√3𝜋． 3
1
1𝑒
1216．（3分）f（x）=−2x2+lnx+1在[，e]上的最大值是
1
2 ．
1𝑥𝑥2−1(𝑥−1)(𝑥+1)
=−（x𝑥𝑥【解答】解：f（x）=−x2+lnx+1的导数f′（x）＝﹣x+=−＞0），
当x∈[，1]有f'（x）＞0；当x∈（1，e]，有f′（x）＜0，
𝑒1
可得f（x）在区间[，1]上是增函数，在 （1，e]上为减函数，
𝑒
1
又f（x）max＝f（1）=2；
第10页（共16页）
1
故答案为：．
2
1
三．解答题（共5小题）
17．已知数列{an}满足𝑎1=1，𝑎2=，𝑎𝑛+𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+2． （Ⅰ）求证：{an+1﹣an}为等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式．
【解答】（Ⅰ）证明：∵an+an+1＝2an+2，
∴an﹣an+1＝2an+2﹣2an+1，即2（an+2﹣an+1）＝﹣（an+1﹣an）， ∴
𝑎𝑛+2−𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1−𝑎𝑛
1
2=−，
2121
又∵𝑎2−𝑎1=−，
∴数列{an+1﹣an}为首项为−，公比为−的等比数列； （Ⅱ）解：由（1）可知：an+1﹣an=(−2)𝑛， ∴𝑎2−𝑎1=(−)1， 𝑎3−𝑎2=(−)2， 𝑎4−𝑎3=(−2)3， ……
an+1﹣an=(−2)𝑛，
累加得：𝑎𝑛+1−𝑎1=(−2)1+(−2)2+(−2)3+⋯⋯+(−2)𝑛=−3×[1−(−2)𝑛]， 又∵a1＝1，
∴an+1=−3×[1−(−2)𝑛]+1=3+3×(−2)𝑛， ∴𝑎𝑛=
211
+×(−)𝑛−1． 3321
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
111
2121
121218．某学校开设了射击选修课，规定向A、B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为，向B靶射击，命中的概率为，假设
5
4
4
3
小明同学每次射击的结果相互．现对小明同学进行以上三次射击的考核． （Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；
第11页（共16页）
（Ⅱ）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E（X）．
【解答】解：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击A靶命中”为事件D，“该射手第一次射击B靶命中”为事件E，“该射手第二次射击B靶命中”为事件F， 由题意可知𝑃(𝐷)=5，𝑃(𝐸)=𝑃(𝐹)=4，
由于𝐶=𝐷𝐸𝐹+𝐷𝐸𝐹+𝐷𝐸𝐹，𝑃(𝐶)=𝑃(𝐷𝐸𝐹+𝐷𝐸𝐹+𝐷𝐸𝐹)=8， （Ⅱ）X＝0，1，2，3，4，5𝑃(𝑋=0)=
1
1
3
3
111411
×()2=，𝑃(𝑋=1)=×()2=，𝑃(𝑋=548054204
1
3
3
1
3
9
1
4
3
11
2)=5×𝐶2×4×4=40，𝑃(𝑋=3)=5×𝐶2×4×4=10，𝑃(𝑋=4)=5×(4)2=80，
𝑃(𝑋=5)=
X P 𝐸(𝑋)=0×
439
×()2=， 54200
180
1
1
2
3
3
3
4
9
5
9
20
40
108020
11339919+1×+2×+3×+4×+5×=． 802040108020519．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）．
（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （2）求二面角B﹣AF﹣E的余弦值的取值范围．
【解答】解：（1）因为PA＝AB，E为线段PB的中点， 所以AE⊥PB，
因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC，
又因为底面ABCD为正方形， 所以BC⊥AB， 又PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB， ∵AE⊂平面PAB，
第12页（共16页）
∴BC⊥AE， 因为PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC， 因为AE⊂平面AEF， 所以平面AEF⊥平面PBC；
（2）由题意，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令PA＝2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），E（1，0，1），F（2，t，0）（其中0＜t≤2）， 易知平面BAF的一个法向量为𝑚=(0，0，1)，
𝑛⋅𝐴𝐹=2𝑥+𝑡𝑦=0设平面AEF的一个法向量为𝑛=(𝑥，𝑦，𝑧)，则{， →→
𝑛⋅𝐴𝐸=𝑥+𝑧=0
→
→
→
→
令z＝1，则𝑛=(−1，，1)，
𝑚⋅𝑛1𝑐𝑜𝑠＜𝑚，𝑛＞=→→=，
4|𝑚||𝑛|
√2+2𝑡
→
→
→
2𝑡→→
∵0＜t≤2，∴√2+
4∈[√3，+∞)，𝑡214√2+2𝑡
∈(0，√33]，
故若F为线段BC上的动点（不含B），二面角B﹣AF﹣E的余弦值的取值范围是(0，3]．
√3
20．已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为不小于1的整数）， （1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）当a＝1时，若关于x的方程f（x）+2x2﹣4x＝2m+1在区间[2，𝑒]上有两个实数解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx﹣x+2的导数为f′（x）=𝑥−1， 可得函数f（x）在x＝1处的切线斜率为2﹣1＝1，切点为（1，1）， 则f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣1＝x﹣1，即y＝x；
第13页（共16页）
1
2
（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+2，
关于x的方程f（x）+2x2﹣4x＝2m+1，即为lnx﹣5x+2x2＝2m﹣1， 设g（x）＝lnx﹣5x+2x2，x∈[2，𝑒]， g′（x）=𝑥−5+4x=
1
1(4𝑥−1)(𝑥−1)
，可得g（x）在[，1）递减，在（1，e）递增， 𝑥2
12
1
且g（x）的最小值为g（1）＝﹣3，g（e）＝1﹣5e+2e2，g（）＝﹣ln2﹣2， 作出g（x）在[，e]的图象，
21
可得﹣3＜2m﹣1≤﹣2﹣ln2，即﹣1＜m≤
−1−𝑙𝑛2
， 212关于x的方程f（x）+2x2﹣4x＝2m+1在区间[，𝑒]上有两个实数解．
21．已知椭圆C：
𝑥2𝑎2+𝑦2=1（a＞1）的离心率是
√2． 2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N．如果∠MF1N为锐角，求k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，{
𝑥22
𝑐√2=𝑎22
𝑏=1
𝑎2=𝑏2+𝑐2
，解得a2＝2．
∴椭圆C的方程为
+𝑦2=1；
（Ⅱ）由已知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）， 直线l与椭圆C的交点A（x1，y1），B（x2，y2）， 𝑦=𝑘(𝑥−1)联立{𝑥2，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0． 2
+𝑦=12第14页（共16页）
2
22由已知，△＞0恒成立，且𝑥1+𝑥2=
𝑦
4𝑘
22𝑘+1
，𝑥1𝑥2=
2𝑘−22𝑘+1
，①
𝑦1
1直线F1A的方程为𝑦=𝑥+1(𝑥+1)，令x＝0，得M（0，），
𝑥1+11
同理可得N（0，
→
→
𝑦2
𝑥2+1
）．
2
𝑦1𝑦2𝑘(𝑥1−1)(𝑥2−1)
∴𝐹1𝑀⋅𝐹1𝑁=1+=1+ (𝑥1+1)(𝑥2+1)(𝑥1+1)(𝑥2+1)(1+𝑘)𝑥1𝑥2+(1−𝑘)(𝑥1+𝑥2)+1+𝑘
=， 𝑥1𝑥2+𝑥1+𝑥2+1222
将①代入并化简得：𝐹1𝑀⋅𝐹1𝑁=
→
→→
7𝑘−18𝑘−1
→
22，
7𝑘−18𝑘−1
22
依题意，∠MF1N为锐角，则𝐹1𝑀⋅𝐹1𝑁=解得：k2＞7或k2＜8．
1
1
＞0，
综上，直线l的斜率的取值范围为（﹣∞，−7）∪（−4，0）∪（0，）∪（，+
47∞）．
四．解答题（共1小题）
22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为{𝑥=𝑡−√3（t为参数），直线l2的参
𝑦=𝑘𝑡𝑥=√3−𝑚
数方程为{（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹𝑚
𝑦=3𝑘为曲线C1．
（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+)=3√2，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为{𝑥=𝑡−√3（t为参数），转换为直角坐标方程为
𝑦=𝑘𝑡𝑦=𝑘(𝑥+√3)①． 直线l2的参数方程为{
𝑥23
𝜋4√7√2√2√7𝑥=√3−𝑚1
（m为参数）．转换为直角坐标方程为𝑦=3𝑘(√3−𝑥)②． 𝑚
𝑦=3𝑘所以①×②得到
+𝑦2=1（y≠0）．
𝜋
（Ⅱ）直线C2的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+4)=3√2，转换为直角坐标方程为x+y﹣6＝0．
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设曲线C1的上的点Q（√3𝑐𝑜𝑠𝜃，𝑠𝑖𝑛𝜃）到直线x+y﹣8＝0的距离d==
|2𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋3)−6|√2|√3𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑖𝑛𝜃−6| √2，
8=4√2． √2当𝑠𝑖𝑛(𝜃+)=−1时，𝑑𝑚𝑎𝑥=五．解答题（共1小题）
𝜋323．设函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，设f（x）＜4的解集为S． （Ⅰ）求S；
（Ⅱ）证明：当a，b∈S时，2|a+b|＜ab+4．
2𝑥，𝑥＞1
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x﹣1|+|x+1|={2，−1≤𝑥≤1．
−2𝑥，𝑥＜−1
2𝑥＜4−2𝑥＜4∵f（x）＜4，∴{或﹣1≤x≤1或{，
𝑥＞1𝑥＜−1∴1＜x＜2或﹣1≤x≤1或﹣2＜x＜﹣1，∴﹣2＜x＜2， ∴f（x）＜4的解集S＝（﹣2，2）；
（Ⅱ）证明：∵a，b∈S，∴a2﹣4＜0，b2﹣4＜0， ∴（a2﹣4）（b2﹣4）＞0，
∴a2b2﹣4（a2+b2）+16＝（ab+4）2﹣4（a+b）2＞0， ∴2|a+b|＜ab+4．
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