塑性状态下三维应力应变状态分析

第６卷第２期　哈尔滨理工大学学报　ＪｏＵＲＮＡＬ　ＨＡＲＢＩＮ　ＵＮＩＶ．ＳＣＩ．＆ＴＥＣＨ　Ｖ０Ｉ　６　Ｎ０　２　２００１年４月　Ａｐｒ，２００１　文章编号：１００７—２６８３（２００１）０２—００９３—０３　塑性状态下三维应力应变状态分析　张　莉　（哈尔滨工业大学航天工程与力学系，黑龙江哈尔滨１５０００１）　摘要：在主向空间内分析了塑性状态下三雏应力应变状态．利用坐标变换的方法，求出了　任一截面上的应力应变分量．引用平均应力应变、第二偏应力应变不变量、罗地参数建立新的应　力、应变空间，计算得出由这些参数表示的任一截面上的应力和应变分量值．　关键词：应力应变状态；坐标变换；主向空间　中图分类号：０３４４．１　文献标识码：Ａ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｓｔｒｅｓｓ——ｓｔｒａｉｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｐｌａｓｔｉｃ　Ｓｔａｔｅ　ｚＨＡＮ６　Ｌｉ　（Ｄｅｐｔ　Ａｅｒｏ　Ｓｐａｃｅ　Ｅｎｇｌｎｅｅｒｉｎｇ＆Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　Ｈａｒｂｉ￣ｔ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｉ５０００１，Ｃｈｉｎ￣．）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｔａｔｅ　ｏｆ　ｓｔｒｅｓｓ　ａｎｄ　ｓｔｒａｉｎ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　Ｃｏｍ－　ｐｏｎｅｎｔｓ　ｏｆ　ｓｔｒ￣ｓ　ａｎｄ　ｓｔｒａｉｎ　ｏｎ　ａ　ｐｌａｎｅ　ａｒｅ￣ｌｃｕｌａｔｃｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｕｒｎｉｎｇ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ．Ｔｈｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｏｃｍｐｏｎｅｎｔｓ　ｏｆ　Ｓｔｒｅｓｓ　ａｎｄ　ｓｔｒａｉｎ　ｗｉｔｈ　ｍｉｎｅｄ　√　，　ａｎｄ　，，／Ｖ，　ａｒｅ　ｄｅｔｅｒ—　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｔａｔｅ　ｏｆ　ｓｔｒｅｓｓ　ａｎｄ　ｓｔｒａｉｎ；ｔｕｒｎｉｎｇ　ｏｆ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ；ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　在弹塑性力学中，应力应变状态分析是重要的环节，特别是材料进人塑性状态以后，如果了解塑性状　态下应力应变状况，可解决力学中的很多问题　０．为了分析塑性状态下任一截面的应力应变分量，引入　新的坐标空间，给出较为满意的结果．　１　主向空间内塑性状态下三维应力应变状态分析　一【：　：　』　０　０　１　㈤　塑性状态下，应变可分为弹性应变　和塑性应变ｓ　，其中弹性应变　可根据广义胡克定律计算得到，结果　收稿日期：２０００—１２—２５　作者简介：张莉（１９６８一）．女，哈尔滨理工大学讲师　哈尔滨理工大学学报　第６卷　ｉ　ｌ　ｌ—　（　２＋　３）　１　ｌ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　２一　（　ｌ＋　３）　Ｏ　（２）　其中：Ｅ为弹性模量；　为泊松比．　由增量理论　知　堕：堕：堕：ｄ　其中：　，＿　ｌ一　；　２一Ｏ＂ｍ；　３一　为３个主应力偏量　对式（３）进行积分得塑性应变为　１　０　０　０　ｅ　＝　二　Ｏ＂Ｉ一　ｍ　０　０　０　二　Ｏ＂Ｉ一　ｍ　综合式（２），式（４）得出，在主应变空间内材料进入塑性之后的应变状态为　一　Ｏ　Ｏ　１　＋　）　０　０　ｅ＝　＋　＝｛［　ｌ一　；　一　ｃ蠢＋　０　二　Ｉ一　０　１＿＿ｌ＿＿＿＿Ｊ　＋　０　０　１　二　１一　ｍ　２　主向空间内任意截面上的应力应变分量计算　图１所示为主向空间内应变状态和由ＸＹＺ构成的新应变空间，其中：Ｚ轴为所求截面的外法线　方向，Ｘ在０　岛面上的投影与￡．轴的夹角为　ｚ在Ｏｓ．￡２面上的投影与　轴的夹角为　，ｚ轴与岛轴的　夹角为口　坐标变换系数矩阵为　ｒ　ｃｏｓ，８・ｃｏｓ　ｃｏｓ　・ｓｊｎ　ｓｉｎ＃‘ｃｏｓ　１　Ｆｌ＝ｌ　ｃ０ｓ　・ｓｉｎ＇￣　ｃ０ｓ　・ｃｏｓ？　ｓｉｎ，８‘ｓｉｎ：￣ｌ　Ｌ　ｓｉｎ，８　ｓｉｎ／￣　ｃ０ｓ　Ｊ　由ｅ，＝＿，　ｅ　可得任意截面上的应变分量为　￡　＝ｓｔｓｉｎ２／￣ｃｏｓ　＋ｓ￣ｓｉｎ　卢ｓｉｎ　＋８３Ｃ０Ｓ２１￣　１　图ｌ应变空间　，　＝￡ｌｓｉｎ　ｃｏｓ／￣ｃｏｓａｃｏｓｔ＋ｓ：ｓｉｎ　∞ｓ卢ｓｉｎ　ｓｊｎ　＋岛ｓｉｎ／￣ｃｏｓ，８｝　（６）　７　＝ａｔｓｉｎ／￣ｃｏｓ，８ｃｏｓａｓｉｎ？＋ｓ２ｓｉｎ￣ｃｏｓ＃ｓｉｎａＣＯＳ＇￣＋￡３　ｓｉｎ／￣ｃｏｓｆｌ　Ｊ　其中ｓ．，　￡，为３个主应变，由式（５）确定．同时，本文分析的材料为各向同性材料，且加载为简单加　载，应变主轴与应力主轴重合，利用与应变分析相同的方法，由　，＿，　，．可得任意截面上的应力分量　＝　１　ｓｉｎ　ＣＯＳ　＋ｃｒ￣ｓｉｎ　ｓｉｎ　＋０＂３ＣＯＳ　卢　１　Ｔ“＝　ｌ　ｓｉｎ，８ｃｏｓ／￣ＣＯＳｔ￣ｃ０ｓ　＋Ｏ＂２　ｓｉｎ＃ｃｏｓｌｆ　ｓｉｎａ　ｓｉｎ７＋　３　ｓｉｎ／￣ｃｏｓ／￣｝　Ｔ　＝ｄ　ｌ　ｓｉｎ／￣ｃｏｓ／￣ＣＯＳｔ￣ｓｉｎ？＋　２　ｓｉｎ＃ｃｏｓｆｌ　ｓｉｎａ　ｃｏｓ７＋　３　ｓｉｎ／￣ｃｏｓ／￣Ｊ　３　任一截面上应力应变分量的参数变换　文【３］引人参数　，　（７）　，　和得出线性的弹／粘塑性的本构关系．这里引入参数　，、，　，　给　第２期　张莉：塑性状态下三维应力应变状态分析　出任一截面上应变分量．方法为ｊ在三维主应变空间内引入新的坐标系置ｙ　Ｚ１，其中置轴与主应变空　间的对角线重合，　轴、ｚ　轴为Ｅ平面上的坐标，坐标变换系数矩阵为　ｌ／　ｌ／　ｌ，　坐标变换关系为　￡　＝，２　ｆ　ｌ，２，３　（８）　其中　的分量满足　：ｘ＝　ｓ：√虿２　，２＝√了霄＝　＝　』　为弟一ｌ匝变倔张量不变量；　为应变罗地参数．　粤＝三＝ｔｘａｎ０　２　Ｙ　将式（８）展开，综合式（９）得出　ｓ　ｓ：—　／　ｌ　ｓ　ｓ　—　ｅ　＝ｅ：一　ｃ　。　将式（１０）代人式（６），得出　。　ｅ　ｅ　了　”　（ｓｊｎ。　ｃ。ｓ　一ｃ。ｓ　）　（ｓｉｎ　卢ｃ。ｓ　Ⅸ　２ｓｉｎ　ｓ　ｎ　—ｃ。ｓ　）］＝　ｓ　＋ｆ　卢，　）√　ｃ号　＝ｅ　ｓｉｎ卢ｃ０ｓ卢（ｃｏｓ　ｃ０ｓ７＋ｓｉｎ　ｓｉｎ　＋１）＋　√３（３　√Ｊ２　）　ｓｉｎ／￣ｃｏｓｆｌ［３（ＣＯＳ￣ＣＯＳ＇］一１）＋　（ｃｏｓａｃｏｓ￣＋２８ｉｎｖｓｉｎｅ一１）】＝＿厂２　，口，　）￡　＋ｆ３（　，ｐ，　）√ｊ，　ｒ—　ｓ　ｓ　ｎ　ｃ。ｓ／？（ｃｏｓａｓｉｎ　ｉｎ　。。ｓ　）　ｊｎ口ｃ。ｓ卢［　（ｃ。ｓ　ｓｊｎ　一　）　（ｃｏｓａｓｉｎ？＋２ｃｏｓｙｓｉｎａ一１）］＝，４（　，　，　）￡　＋ｆ５（　，　，７）　同理可计算截面上的应力分量为　生　Ｏ－　＝　＋＿厂　（　，卢，　）√　ｆ：　＝，】（　，卢，，）　＋　，卢，　）√　ｆ　，　（　，口，　）　＋　（　，卢，　）√上　４　结论　１）在主向空间内，给出塑性状态下任一截面应力应变分量计算公式；　２）以　，￣厂　，　和　，￣厂　，　分别表示的任一截面应力应变分量计算式　３）截面上的弹性线应变不随截面位置的改变而改变；　４）进一步说明平均应力　不产生塑性应变．　参考文献：　【１１　ＣＨＵ　ｃ　Ｃ　Ｆａｔｉｇｕｅ　Ｄａｍａｇｅ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｃｒｉｔｉｃａｌ　Ｐｌａｎｅ　Ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｍａｔｅｒｉａｌｓ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈ．　ｎｏｌｏｇｙ．】９９５．ｆ］１）４１—４８　【　王仁，熊祝华．塑性力学基础［Ｍ】．北京：科学出版社．１９８２　［３】　贾乃文．黄文兴　弹　粘塑性三雏应力的参散变换Ｉｓ］应用力学学报，】９９８，１５１３）：１　３４—１　３８　（审稿：程新教授．赵教授；缡辑：高长福）