消元法在解题中的应用
[方法精要] 在一些较复杂的题目中，若含有两个或两个以上的未知数时，为了保证先求出其中的一种数量，往往要通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来，这种解题方法就是消元法． 用消元法解题时注意以下几点：
1．把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去．
2．如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同然后消去这个量．
3．解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意．
题型一 消元法在平面向量中的应用
→→→→→
例1 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，且2a＝b，c＝b＋d,2e＝3b＋4d，求证：点C是线段AE的中点．
题型二 消元法在解析几何中的应用
x2y2x
例2 已知双曲线2－2＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线－
abay4
＝1的距离之和S≥c，则e的取值范围是________． b5
总结提高 消元思想是中学数学的重要思想方法之一，它既可以显性的表现为具体的技能，
如降幂、减少变量的个数等，又指导着思维的方向，如对题设或结论的简化意识等，在解题的动态思维过程中，如能紧扣消元的数学思想，重视消元法的应用，就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣． 强化训练
1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2(a>0，且a≠1)，若
－
g(2)＝a，则f(2)的值为( ) 1517
A．2 B. C. D．a2
44
2．(·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝4334
A. B. C．－ D．－ 3443
y≥x，
3．设m>1，在约束条件y≤mx，
x＋y≤1围为( ) A．(1,1＋2) C．(1,3)
x2y21
4．若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实
ab2
B．(1＋2，＋∞) D．(3，＋∞)
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，则tan2α的值为( ) 2
下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范
根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为( ) A.2 B.
5．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为( ) A．4 B．8 C．12 D．16
|PF|6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小
|PA|值是( )
12323A. B. C. D. 2222
x2y2
7．已知双曲线：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交
ab双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为( ) A．2 B．3 C.3 D.6
8．已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0和圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0，则过两圆交点的公共弦所在直线方程为________．
77 C．2 D. 24
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9．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋2)(2＋4y2)的最小值为________．
yx
→→→→
10．设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，m，n，p，q是不同时为零的实数，如果ma＋nb＋pc＋qd＝0，且(m＋n)2＋(p＋q)2＝0. 求证：A，B，C，D共线或AB∥CD.
11.如图，已知抛物线C：y2＝－2px(p>0)上横坐标为－3的一点，与其焦点的距离为4. (1)求p的值；
(2)设动直线y＝x＋b(b>3)与抛物线C相交于A、B两点，问在直线l：y＝2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得∠AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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12．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)．
22(1)求椭圆C的方程；
→→→2
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA·PB＝PM？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．