非线性Volterra积分方程

积分数值解方法

1前言

微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点。相对于某种情况来说,对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势,使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美，所以研究积分方程便得越来越有用，日益受到重视.

积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel。Abel分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois—Raymond首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程.所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程,并用两种方法求出了它的解，第一的积分方程便是以Abel命名的方程.该方程的形式为:b(t)(xt)aadtf(x),该方程称为广义Abel方程,式中a的值在(0,1)之间.当

x(x)1dtf(x).在此之前,Laplace于1782年所提出的a=时,该式子便成为a2xt求Laplace反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程。但是Fourier

其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究,实际上也说明了Fourier在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程。积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm和Volterra奠定的,积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm方程和Volterra方程。后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究,所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。我国在60年代前,积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式，即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂，在内容方面比较单一、狭隘，甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。随着数学研究的高速发展，特别是积分方程近年来的丰富发展，如此单一、刻板的解法已经不能跟上数学研究时代的步伐。在九十年代我国的数学专家路见可、钟寿国出版了《积分方程论》，该书选择L2空间来讨论古典积分方程，并结合泛函分析的算子理论来分析积分方程的相关问题.最近出版的比较适合一般读者阅览的积分方程的书有李星出版的《积分方程》，该书从最简单的方法分析研

究积分方程的理论问题，并给日后打算研究泛函的读者提供了基本的实例.由于现代的计算机技术高速发展,对于一些比较复杂,难以求解的非线性积分方程逐渐采用了比较有效的数值解,常用的方法有逐次逼近法、Adomian分解法、配置法、haar小波方法、小波—Galerkin方法、泰勒展开等等一些方法。 现在积分方程的应用广泛，很多问题都可以引出积分方程,并可用积分方程来解决.像弹性弦问题、线性系统响应问题、人口增长问题、等时曲线问题等等。还有在空气动力学中研究分子运动，对于非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移,导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类非线性积分方程.在确定飞机机翼方面的研究中，对于气流、升力等问题的计算中也引出了积分方程的研究.现在很多积分方程方面的研究都取得了不错的进展.

2、预备知识

积分方程是一个在积分号下出现待求的函数的方程,称作积分方程。含一个未

知函数的线性积分方程的一般形式为：(x)k(x,y)(y)dyf(x) xa,b

ab[1]

我们把积分号中的上下限为常数的积分方程称为Fredholm方程。其中f(x)、

k(x,y)是已知函数，(y)是未知所要求的函数。一般称f(x)为自由项 ，k(x,y)称为积分方程的核,而是积分方程的一个参数，方程的解与相关

而与Fredholm对应的是Volterra积分方程,与Fredholm的一个不同点是Volterra积分号下的上下限中的上限是一个变量而不是一个常数.本论文我们主要研究的是非线性的Volterra积分方程.非线性 Volterra积分方程的形式为

(x)k(x,y)F((y)）dyf(x) xa,b 。同样，(y)为所求。

ax积分方程的解法：

一、 Fredholm积分方程一般的解法有：有限差分逼近法、逐次逼近法及解核、

泛函修正平均法、Fredholm积分方程退化核解法、退化核近似代替法、待定系数法.

二、 Volterra积分方程的常用解法：有限差分逼近法、逐次逼近法、转化为常

微分方程的初值问题、第二类Volterra积分方程的数值积分解法。

第二类线性volterra积分方程与第二类线性Fredholm积分方程的一个很大的差别是volterra方程的解不依赖于参数的值，即对于任何的参数该方程都有解，而且解具有唯一性。具体的证明过程参见［],所以得出定理：如果核k(x,y)与自由函数 fx在Volterra积分方程的定域是连续函数，那么无论参数取何值该方程都有解，而且解具有唯一性。

3、Volterra积分方程

3.1第一类Volterra积分方程

3。1.1 第一类线性Volterra积分方程

形如：k(x,y)(y)dyf(x)

ax其中函数k(x,y)、f(x)为已知的，(x)为所要求的未知函数，这样的方程叫第一类线性Volterra积分方程。一般来说第一类积分方程由于其不适定性，研究其解跟第二类积分方程有很大的不同，而且比较复杂，在此主要简单介绍一下.

3。1。2 第一类Volteraa积分方程的一种解法

在某种情况下第一类Volterra积分方程通常可以化为第二类volterra积分方程的解，一般对方程两边求导，当方程的k(x,y)、f(x)可微，且k(x,y)0，就把第一类该方程化为第二类。化为第二类的形式为：

(x)xa(x,y)kxf(x)(y)dy,这样就可以用第二类积分方程的解法来求解。k(x,y)k(x,y)对于一种特殊的第一类Volterra积分方程:Abel方程，Abel方程是Volterra

积分方程的一种特殊情况,其形式为： x(y)(xy)aadyf(x)

其中当xy时，该方程出现弱奇性。其解可根据定理：假设Abel积分方程

x(y)(xy)aadyf(x)的自由项f(x)是连续可微的，而且f(a)0，则它有唯一的

sinadxf(y)dy 1aadx(xy)解。即 (x)

3。2第二类volterra积分方程

3.2。1第二类线性Volterra积分方程

第二类方程的形式：(x)k(x,y)(y)dyf(x)

ax其中(x)是所要求的未知函数，是已知或是需要讨论的参数，跟Fredholm方程一样k(x.y)是已知的函数,叫Volterra方程的核,当k(x.y)=0时，Volterra方程可以看成特殊形式的Fredholm方程，而且Fredholm方程理论适合于Volterra方程。

Volterra方程有自己的特点，例如,Volterr方程没人特征值，对于任意的自由项它都有解。对于第一类的Voltrra方程在某种条件下可以转化为第二类Volterra方程。与第二类线性Fredholm积分方程一样，第二类线性Volterra积分方程也有自己的迭核、解核，其迭核、解核的引出方法跟第二类线性Fredholm一样。

迭核:假设k2(x,y)k(x,t)k(t,y)dt，则2(x)k2(x,y)f(t)dt

ayxx...... n(x)kn(x,y)f(y)dy ，我们称kn(x,y)为Volterra方程的

ax迭核.

解核：我们称R(x,y;)n1kn(x,y)为解核

n1 只要知道方程的迭核，就能求得方程的解核，从而求得方程的解。

3.2。2第二类线性Volerra积分方程的解法:

1、逐次逼近法

假设方程具有这样一个形式的解

(x)0(x)1(x)ni(x)i

ni0n如果对于逐次方法来说该方程有解,解次方程一般令

0f(x)

1f(x)k(x,y)0dy

ax2f(x)k(x,y)1dy

ax……

nf(x)k(x,y)n1dy

ax那么，对于上述的级数一定收敛，即对级数i(x)i收敛，可以证明对于任意

i0n的参数方程都有解，依据定理：如果核k(x,y)及自由项f(x)是连续的实函数。那么第二类线性Volterra方程

(x)k(x,y)(y)dyf(x)

ax对于任意的参数存在一个唯一的连续解，而且解可以用逐次逼进法求出。 迭核：假设k2(x,y)k(x,t)k(t,y)dt,则2(x)k2(x,y)f(t)dt

ayxx..。。。. n(x)kn(x,y)f(y)dy ,我们称kn(x,y)为Volterra方程的

ax迭核.

解核：我们称R(x,y;)n1kn(x,y)为解核, 只要知道方程的迭核，就能

n1求得方程的解核，从而求得方程的解。

3。2.3非线性第二类Volterra积分方程

非线性第二类volterra积分方程的形式如：(x)xak(x,y)F((y)）dyf(x)

未知函数为(x)，而f(x)、k(x,y)、F(x)都是已知的。当方程满足一定条件时，可用逐次逼近法求解。对于第一类非线性Volterra积分方程可以通过转化成第二类非线性Volterra积分方程求解.具体转化的过程参见[]. 非线性Volterra积分方程的数值解

3。3 卷积型Volterra方程的解法

3。3.1第二类卷积型Volterra积分方程的解

1、形如(x)f(x)k(xy)(y)dy称为第二类卷积型Volterra积分方程，

ax此类方程一般用Laplace变换来解决。如果方程中的f(x)、k(x,y)是足够光滑、指数阶的函数，那么方程的解也是指数阶的，这样就可以用Laplace变换来解此

(x)(p)，通过对方程两边作方程。设k(x)K(p)，f(x)F(p)，Laplace变换，可得(p)F(p)K(p)(p),解出(p)F(p)，当

1K(p)F(p)K(p)1时,(x)1

1K(p)2、对于第一类Volterra积分方程，即方程k(xt)(t)dtf(x)同样对方程两

ax边作Laplace变换,可解得(p)3、非线性

x0F(p)F(p)，所以方程的解为(x)1 K(p)K(p)Laplace

变换的解.即方程

Volterra积分方程

(x)f(x)(y)(xy)dy，设(x)(p)，f(x)F(p)，对方程两

114F(p)114F(p)边作Laplace变换，可得出(x)，当存在221时，该解就是非线性Volterra积分方程的Laplace变换得出的解。

4、积分数值解相关知识

4.1 Newton—Cotes型积分求积公式

在这里我们主要讨论

baf(x)dx的数值计算问题，可以假设f(x)在a,b上可积.

在一些时候函数f(x)并不是可积的能用初等函数来表示，所以有的时候并不能求出该函数的原函数，因此，这里我们来研究用数值方法解函数积分。 欲计算积分I(f)f(x)W(x)dx，其中W(x)为权函数，可以假设f(x)在n+1个互异的点：ax1x2xn1b的值分别为：f(x1)，f(x2),…,

f(xn1)，就可以用f(x1),f(x2)，…, f(xn1)的线性组合得出积分的近似解，

即In(f)I(f)，其中InAif(xi)

i1n1插值求积公式：I(f)Aif(xi)En(f) En(f)是离散误差

i1n1其中AiliW(x)dx li(x)abwn1 i1,2,,n1 1(xi)(xxi)wnwn1(x)(xx1)(xx2)(xxn1)

当我们假设a,b为有限区间,W(x)1，并将该区间分成n等份，取等距基点为:

ba，根据上面所得n出的差值求积公式，便可得出Newton—Cotes型积分求积公式，即 ax1x2xn1b，并且得出步长为hxi1xiIn(f)Aif(xi)i1n1，其中

Ainwn1(x)hdx(1)n1it(t1)(t(i2))(ti)(tn)dt01(xi)(xxi)wn(ii)!(n1i)!i1,2,,n1

在Newton—Cotes型积分求积公式中，n=1时,便可以得到梯形公式，即令

x1a,x2b，根据Newton-Cotes型积分求积公式便可以得出公式：

I1(f)ba(f(a)f(b))，其中 2babaA1,A2.如果令n=2时就可以得到simpson公式。

224.2 复合梯形公式

我们假设所讨论的积分中函数的定域义为a,b,在该区间取n+1个互异基点，即ax1x2xn1b，且取步长为hxi1xi使用体型公式，所以

ba.在子区间xi1,xi上nbaf(x)dxi1nxi1xihnhnf(x)dxf(xi)f(xi1)f(i)

2i112i1从而可以得出：

ban1hhnf(x)dxf(a)f(b)2f(aih)f(i)

2i112i1hn 舍去f(i)项,于是就得到复合梯形公式：

12i1ban1hf(x)dxf(a)f(b)2f(aih)

2i15 积分方程的数值解方法

5。1未知函数展开法

在这里,我们将讨论在L2(a,b)中完备的函数系在近似方程解方面的作用,这

些函数系可以是正交的,也可以的非正交的，可以去某个函数系的有限项当作方程解的近似值。设该函数系为ii1，其中该函数系的各个函数是线性无关

n的,可令积分方程的解(x)cii，把该近似函数代人积分方程：

i1n(x)k(x,y)(y)dyf(x)ax，，

这把

样它

就整

可理

得成

到：

ci1nniicik(x,y)idyf(x)i1nnci1iicik(x,y)idyf(x)R(x)，其中R(x)是残差，如果能是R(x)等

i1于零，那么方程的近似解就等于该方程的精确解，但是一般来说，要使R(x)等于零是很难的,一般在R(x)很小的情况下可以忽略,即得出方程的一种数值解：ciicik(x,y)idyf(x)，但对残差的不同要求，可以得出不

i1i1nn同的解法,一般来说有如下几种解法：配点法、Galerkin法、最小二乘法等方法。 1、配点法

如果要求残差在所选取的基点上满足R(xi)等于零，其中xkk1是一些互异的

n基点，如此便可以得到一下方程组:

（k1,2,,n)，求解该方程组cii(xk)cik(xk,y)i(y)dyf(xk)，

i1i1annxk变可以得到展开系数cii1

n2、矩量法

对于矩量法以下用于Fredholm积分方程，即(x)k(x,y)(y)dyf(x).

ab矩量法就是要求残差关于原点到N阶的矩为零，即R(x)xkdy0，可得到如

ab下的方程组：

c(x)xii1ainbkdxcii1nbabk(x,y)(y)dyxkdxbf(x)xkdx，（k1,2,,n)iaan解此方程变可以得到展开系数cii1 3、Galerkin法

Galerkin法要求残差函数R(x)在平方可积空间即空间L2[a,b]与函数i内积为零，即要求R(x)idx0，i1.2,,n.所以展开系数可以这样来确定

abciin1，取函数系中的前

nnbi1i1an个函数i（i1.2,,n)在[a，b]上与积分方程

cii(x)cik(x,y)i(y)dyf(xk)两端正交,令ncii于是展开系数

满足下列线性方程组:

bn (x),i(x)k(x,y)ndy,i(x)f(x),i(x)a，i1.2,,n

an其中(f(x),g(x)f(x)g(x)dx,解该方程组便可以得到展开系数cii1

ab5.2积分核级数展开法

积分核级数展开法又称退化核近似方法，就是利用某种展开方式把非退化的

核展开成近似退化的核，一般的展开方式有泰勒级数展开、Fourier级数展开、

L2a,b空间内的线性无关的针对为知函数近似展开的函数系等等。如果利用泰勒

展式，那么应该注意保留合适的级数项数，一般来说应该根据积分限的大小来决

定级数项数.也有把未知函数展开求积分方程的未知函数的解。 对于用退化核来近似积分方程核的误差有如下估计方法:

定理［1]:设k(x,y)是积分方程核的近似退化核，对于退化核满足条件 k(x,y)k(x,y)dth

ab~~而且以退化核k(x,y)为积分核的积分方程的解核R(x,y:)，成立 R(x,y;)dtR

ab~则积分方程

(x)k(x,y)(y)dy

ab~的解(x)与用近似退化核代替的积分方程的解(x,y),满足 (x)(x)~B(1R)2h1h(1R)

在式子中,B是f(x)的一个上界.

6 非线性Volterra积分方程的数值解

(x)k(x,y)F((y)）dyf(x) x[a,b]，我们假定f(x)、k(x,y)、

axF(x)在其定义域上都是连续函数，利用数值求值公式

iAmKimF(m)fi i1,2,...,n,

m1ii=(i),Am是数值积分公式中的权系数，Kimk(xi,xm)，fif(xi),该方程组是一个n阶的下三角方程组,（a)f(a)，有此我们可以顺着方程组的顶端解出n个数值解,所以我们便得出方程的近视解

（x)Amk(xi,xm)F(m)f(xi) i1,2,...,n,

m1i当n趋向于无穷时该解也是趋于精确解

6.1梯形公式

我们取h步长，hxnan(n为大于1的正整数)，xn是x的终点,由梯形公

式

y0a，y1ah,…,ynxn

11k(x,y)F((y))dyhk(x,y)F(y)k(x,y)F(y)k(x,y)F(y)k(x,y)F(y)0011n1n1nna22x11(xi)hk(xiy0)F(y0)k(x,y1)F(y1)k(x,yn1)F(yn1)k(x,yn)F(yn)f(xi)22i1,2,,n，上述方程是一个下三角方程组,由积分方程组可知

(x0)f(x0)f(a)，便可从上到下依次解出方程组。

6.2 复合梯形公式

我们将积分区间a,b分成n个相等的小区间xi,xi1，i1,2,,n，其中我们取步长为h复合梯形公式：

n11Tn(f)f(a)f(b)2f(aih)，我们将此公式应用到积分方程

2i1ba,xia(i1)h，ni1,2,,n.

中去，可以得到

i1h(xi)(k(xi,x1)F((x1))k(xi,xi)F((xi))2k(xi,xj1)F((xj1)))f(xi)j12这样我们便可得出一个下三角行i1,2,n，j1,2,,i ,(x1)f(a)，

方程组,接触此方程组的解，便可得出n个该方程的数值解,然后用插值法

进行拟合,就可以得出一个近似的解。

6。3 投影—积分法

首先在n维空间中假设一个线性无关的一组基ei(x)in1，可令未知近似解n(x)ciei(x)，只要能解出cii1的值就可以得出方程的近似解，

ni1n在n维子空间中对于任意的V(x)[a,b],则V(x)在n维坐标系的投影为

pnV(x)V(xi)ei(x)，xi为插值点，所以n(x)pn(x)ciei.用pni1i1nn乘以方程的两边可得:

pn(x)pnk(x,y)F((x))dypnf(x) （2）

ax把公式（1）带入(2)便可得

ce(x)iii1ni1iiii1nnnxak(xi,y)F((x))ei(x)dyf(xi)ei(x)

i1nce(x)e(x)k(x,y)F((y))dyf(x)e(x)0 iiicxik(x,y)dyf(x)0 e(x)iiiiai1cik(xi,y)F((y))dyf(xi)0

axi cik(xi,y)F(ciei(yj))Anf(xi)0

j1i