§8.5 直线、平面垂直的判定与性质
2015高考会这样考 1.考查垂直关系的命题的判定；2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3.考查平行和垂直的综合问题；4.考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想．
复习备考要这样做 1.熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2.解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3.重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破．
1． 直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 2． 斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3． 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法．
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (2)平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． 4． 二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两
1
射线所成的角叫做二面角的平面角． [难点正本 疑点清源] 1． 两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α. 2． 两平面垂直的判定
(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．
1． 一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是__________．
答案 垂直
解析 由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行，再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论． 2. △ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是
________． 答案 4
3． α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________． 答案 可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
4． 设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥c，b⊥c
B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
D．a⊥α，b⊥α
C．a⊥α，b∥α 答案 C
解析 对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b. 5． (2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，
则下列结论中不正确的是 ．．A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
( )
2
答案 D
解析 易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面
SCD，B 正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.
思维启迪：第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD
得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．
证明 (1)在四棱锥P—ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.
探究提高 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
3
(2012·陕西)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内
的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．
(1)证明 方法一 如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面． 根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn， 则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)． 因为a⊥b，所以a·b＝0.
又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0. 故a·c＝0，从而a⊥c.
方法二 如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过
P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.
因为PO⊥π，a⊂π， 所以直线PO⊥a.
又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P， 所以a⊥平面PAO.
又c⊂平面PAO，所以a⊥c.
(2)解 逆命题为a是平面π内的一条直线，
b是π外的一条直线(b不垂直于π)， c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.
逆命题为真命题．
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，
E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为 B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.
思维启迪：(1)证明两个平面垂直，关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线；(2)两个平面垂直的性质是证明的突破点． 证明 (1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
4
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以A1F∥平面ADE.
探究提高 面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．
(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平
面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 证明 (1)如图，在△PAD中，
因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD，
PD⊂平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形． 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
5
题型三 线面、面面垂直的综合应用
例3 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.
(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD； (2)求四棱锥P—ABCD的体积．
思维启迪：(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD. (2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离． (1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45， ∴AD＋BD＝AB.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，
2
2
2
BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD.
又BD⊂面BDM， ∴面MBD⊥面PAD. (2)解 过P作PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD， ∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高． 又△PAD是边长为4的等边三角形， ∴PO＝23.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC， ∴四边形ABCD为梯形．
4×885
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
545此即为梯形的高．
25＋4585
∴S四边形ABCD＝×＝24.
251
∴VP—ABCD＝×24×23＝163.
3
探究提高 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．
6
如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正
方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点， (1)求证：EF∥平面ABCD； (2)设M为线段C1C的中点，当并说明理由．
(1)证明 ∵E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，∴EF∥AB.∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)解 当
D1D的比值为多少时，DF⊥平面D1MB？ADD1D＝2时，DF⊥平面D1MB. AD∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面ABC，∴D1D⊥AC. ∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF.
∵F，M分别是BD1，CC1的中点，∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D＝2AD，∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1为正方形． ∵F为BD1的中点，∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB. 题型四 线面角、二面角的求法
例4 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A—PD—C的正弦值．
思维启迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角． (1)解 在四棱锥P—ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
7
(2)证明 在四棱锥P—ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.
(3)解 过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示． 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM， 则AM⊥PD.
因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角． 由已知，可得∠CAD＝30°. 设AC＝a，可得
PA＝a，AD＝
23212
a，PD＝a，AE＝a. 332
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，
则AM＝PA·AD＝PDa·
23
a327
＝a.
721a3
在Rt△AEM中，sin∠AME＝AE14＝. AM4
14
. 4
所以二面角A—PD—C的正弦值为
探究提高 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ( )
A.2
3
B.3
3
2
C. 3
D.6 3
答案 D
8
解析 如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1， 则DD1＝1，DO＝∴cos ∠DD1O＝
26，D1O＝， 22
DD126＝＝. D1O63
6
. 3
解答过程要规范
∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
典例：(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的
棱AB，CD，C1D1的中点． 求证：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
审题视角 (1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直， 需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直． 规范解答
证明 (1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，
∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分] ∵N，K分别为CD，C1D1的中点， ∴DN∥D1K，DN＝D1K，
∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分] ∴KN∥DD1，KN＝DD1， ∴AA1∥KN，AA1＝KN.
∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分] ∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK， ∴AN∥平面A1MK.[6分]
(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB∥C1D1，AB＝C1D1.
∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.
9
∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分] 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，
BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]
∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，
∴平面A1MK⊥平面A1B1C.[12分]
温馨提醒 (1)步骤规范是答题得满分的最后保证，包括使用定理的严谨性，书写过程的流畅性．
(2)本题证明常犯错误：
①定理应用不严谨．如：要证AN∥平面A1MK，必须强调AN⊄平面A1MK.
②解题过程不完整，缺少关键步骤，如第(1)问中，应先证四边形ANKA1为平行四边形．第(2)问中，缺少必要的条件，使思维不严谨，过程不流畅．
方法与技巧
1． 证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α； (2)判定定理1：
m、n⊂α，m∩n＝Al⊥m，l⊥n⇒l⊥α；
(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；
(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 2． 证明线线垂直的方法
(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3． 证明面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化
10
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 失误与防范
1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 答案 B
解析 若l⊥m，m⊂α，则l与α可能平行、相交或l⊂α；若l⊥α，l∥m，则m⊥α；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行或异面；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确．
2． 已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则
( )
( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 答案 C
解析 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与
之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才
11
存在．
3． 已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出
现的是
( )
A．l∥m，l⊥α C．l⊥m，l∥α 答案 C
解析 设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α. 4． 正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )
A．A′C′ 答案 B
解析 连接B′D′，
∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′， ∴B′D′⊥平面CC′E. 而CE⊂平面CC′E， ∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE. 二、填空题(每小题5分，共15分)
5. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在
的直线中：与PC垂直的直线有______________；与AP垂直的直 线有________． 答案 AB，BC，AC AB
解析 ∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.
6. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、
B．BD
C．A′D′
D．AA′
B．l⊥m，l⊥α D．l∥m，l∥α
F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③
解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
12
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确．
7． 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足
条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 答案 ②④
解析 若m⊥α，α∥β，则m⊥β. 三、解答题(共22分)
8． (10分)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，
A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1， 求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证明 (1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥侧面BB1C1C， ∴AD⊥侧面BB1C1C，∴AD⊥CC1.
(2)如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N. 1
∵AM＝MA1，∴MA1綊BB1，
2∴NA1＝A1B1. ∵A1B1＝A1C1， ∴A1C1＝A1N＝A1B1， ∴NC1⊥C1B1.
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C， ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C， 即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
9． (12分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1
的中点．
(1)求证：AB1⊥BF； (2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
(1)证明 连接A1B，则AB1⊥A1B，
13
又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，
∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF. (2)证明 取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE， 又∵△BAG≌△ADE， ∴∠ABG＝∠DAE.
∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G， ∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.
(3)解 存在．取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D， ∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1. 由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP. 又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E， ∴BF⊥平面AEP.
D为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但
平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．
14
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容