【抛体运动】对抛体运动的讨论---完整板

对抛体运动的讨论

█Cain

【讨论之前】

运动学中，空间运动是具有十分的普遍性的。然而平面运动也占据着很高的地位。平面运动大体上分为平面曲线运动和平面直线运动，顾名思义，沿曲线轨迹进行的平面运动就是平面曲线运动。若不严格区分，我们也可以将平面直线运动视为曲率为零的曲线运动。

下面的讨论，我们将从运动学的基本概念和曲线运动开始，之后进一步讨论曲线运动中的特殊情况—抛体运动。这里的讨论有一部分会运用到高等数学，若没有此基础的读者可以跳过推导部分直接看推导结果。 本文所分三部分中，【储备知识】部分讨论与抛体运动有关的知识，【讨论部分】开始讨论抛体运动。该部分主要参考第六版《普通物理学》。

最后，还要感谢花非花为本文的总体路线做出良好的设计和规划。他为本文所写的提纲附在了本文文末。

【储备知识】

运动具有十分的普遍性和多样性，而平面曲线运动属于运动学中的质点运动学，也就是研究质点随时间发生位置变化的一门学问。我们先来定义质点。在研究物理问题时，若物体的体积因素可以忽略，我们便可以将这个物体的运动视为一个有质量的点的运动，这个点被称之为质点。质点与数学几何上的点有着本质的不同，它是物理学中一种理想化的模型。

那么，当质点发生运动，在一定时间内走过的实际距离，叫做质点走过的路程。而由出发点指向到达点的有向线段叫做质点这段时间发生的位移。

如左图，质点从A点运动到了B点，其中AB间的红线部分为质点的运动路程，而蓝线部分为A点到B

点的位移，即质点发生的位移。从图中可以看出，位移的线段是有方向的且由A指向B的，而路程没有。这是因为位移是一个向量，既有大小又有方向的量我们定义为向量。而路程是标量，它没有方向，只有大小。向量满足平行四边

形法则，在物理上，我们习惯把向量叫做矢量。向量A的表示方法为A。下面介绍平行四边形法则。

如左图所示，红色部分为某矢量，我们把它作为某个平行四边形对角线，

任意支出两条边，作出所示平行四边形，那么粉色部分和黑色部分的矢量就是红色部分的分矢量，其指向为：由原矢

量起点作为起点，向外指出。为了方便，我们通常将矢量正交分解，也就是沿着平面直角坐标系的x轴、y轴分解。

[《对抛体运动的讨论》作者：Cain][《<对抛体运动的讨论>参考提纲》作者：花非花][审读：花非花、Cain]

如左图所示，红色矢量为待分解矢量，沿x、y轴分解出黑色的两个矢量，我们称之为正

交分解。大小为1的矢量叫做单位矢量，为了方便，在平面直角坐标系中，我们将由原点指向x轴正方向的单位矢量

记作i，由原点指向y轴正方向的单位矢量记作j。

了解了向量的概念和路程、位移、质点的概念，我们再来讨论质点运动学的其他参量。

当质点发生运动，且产生了位移，则必然产生路程。那么，在描述物体运动快慢时，我们引入速率(speed)这个概念。在一段时间内物体经过的路程与所用时间的比值，叫做这段时间内的平均速率。它的定义式为：vst。因为路

程和时间都是标量，所以速率也是一个标量。但是平均速率并不是一个精确的量，它只是一个很粗略的近似量。所以我们令时间t趋近于0，来定义瞬间的速率大小，记为：vlimstdt我们描述物体运动快慢更常用的是速度(velocity)。在一段时间内产生的位移与所用时间的比值，叫做这段时间内的

t0ds，这就是瞬时速率的数学表达形式。而通常，

平均速度。平均速率是标量，平均速度是矢量，所以平均速率和平均速度不是同一个物理量，但在单向的匀速直线运动中，平均速率和平均速度的大小是相等的。（通常，我们注重的是运动产生的结果。若某物体做快速的往返运动，往返时间为1s，往返的路程为1km，由于运动结果并没有发生位移，所以速度为0，但是速率却不是。从这个例子上讲，研究速率便会给我们带来一些错觉，因为如果发生时间更短，我们就很难察觉它的运动情况。而速度却是一种有实效的物理量，若某物体每往返一次后前进1m，且发生这些的总时长为1s，那么利用速度，我们更加方便了解它的运动规律并计算它在某时刻的位置。）同样的，如果时间t趋近于0，那么这时的速度我们称之为瞬时速度，记为：

rdr，这就是瞬时速度的数学表达形式。因为位移r是一个矢量，所以速度也是一个矢量。接下来的内容vlimt0tdt中所说的速度、速率，若无注明，均为瞬时速度、瞬时速率。由于当时间趋于0时，质点位移的大小和运动的路程相

等，所以，我们说对于同样的运动，瞬时速度的大小和瞬时速率是相等的，即：lim表示的是该向量的大小。进一步，我们可以说速率表示的是速度的大小。

rtt0limst，在向量中，绝对值

t0 我们引入加速度这个概念来进一步说明速度变化的快慢。定义：一段时间内速度的变化与时间的比值叫做这段时间

vvv0内的平均加速度。数学表达式为：a。令时间t趋近于0，我们得到瞬时加速度的定义：tt2vv0vdvdralimlim，同样的，速度是矢量，所以加速度也是矢量。利用该定义，在加速度固定不变2t0t0ttdtdt的情况下，我们还能得到这样的结论vvoat。接下来的内容所说的加速度，在没有注明时指瞬时加速度。值得一提的是力的定义：Fma。这个定义的充分说明了，力的作用是使物体产生加速度，其中m是质量。质量是惯性的

量度（而与速度等无关），从这定义式可以看出，质量越大，物体的运动状态越难改变，即质量越大，惯性越大。但dPdmvdmdvvmma，在牛顿力学中，m不变，是，这个力的定义式在相对论中“惨遭”修改，因为Fdtdtdtdt

[《对抛体运动的讨论》作者：Cain][《<对抛体运动的讨论>参考提纲》作者：花非花][审读：花非花、Cain]

故0，但在相对论力学中，m质量却会随运动速度发生改变。 dt 了解了上述的内容，我们大体上就对运动学有了一定了解。接下来，我们讨论一般的平面曲线运动。

当物体所受合外力与速度的方向不在同一直线时，物体便做曲线运动，运动方向为其曲线轨迹上该点的切线方向。

dm如左图，若某质点沿红色曲线从左至右运动，那么质点在运动到图中该点时的运动方向为箭头所

示方向。为了维持曲线运动，必然有一个力提供加速度。下面我们来讨论加速度与质点运动方向的关系。

若红色曲线为运动轨迹，速度V如图，那么加速度是否可能指向曲线凸边？显然，这是

不可能的。因为无论此时速度、加速度大小取何种值，运动轨迹都不会沿着红色曲线。由此，我们得出结论：加速度的方向总是指向运动曲线轨迹凹面。

在正式讨论曲线运动前，我们先介绍一种适用于曲线运动的分解方法——自然分解法。

如左图，质点运动到某时刻t，有一个加速度a，将加速度沿着质点此时所在曲线上的点的切线和垂直

于该切线指向曲线内凹方向分解，叫做自然分解(完整的说法是：沿着自然坐标分解)。其中分解出的切线方向的加速度称为切向加速度，分解出的垂直于切线的方向的加速度称为法向加速度。质点在运动轨迹的每一个点都能进行此种分解。其中，切向加速度改变曲线运动时质点运动的速度，法向加速度改变曲线运动时质点运动的方向（若加速度指向曲线凸面，对加速度做自然分解会发现，法向加速度指向曲线外）。

了解了这些，我们可以进一步讨论曲线运动时加速度对速度的影响。

首先来看加速度与速度方向成钝角，如左图，对加速度自然分解，容易发现此时的加速度会使

得曲线运动变慢。所以，加速度与速度方向成钝角时，曲线运动是减速的。

同理，我们得到加速度与速度方向成锐角，曲线运动是加速的。

[《对抛体运动的讨论》作者：Cain][《<对抛体运动的讨论>参考提纲》作者：花非花][审读：花非花、Cain]

值得一提的是当加速度与速度方向成直角：

当加速度与速度成直角时，自然分解后加速度全为法向加速度，这就是所谓的匀速圆周运动。

另外，我们来介绍运动学方程。此前，我们先定义一个新的物理量：位置矢量。

如左图，由原点指向质点所在位置的矢量叫做位置矢量，通常记作r。质点的位置矢量关于时间

t的函数关系叫做质点的运动方程，记作rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k，i、j、k分别为x、y、z轴的单位向量，

r(t)为向量函数。也就是说，三维空间中，r(t)相当于质点在x、y、z轴运动的分矢量关于时间t函数的和。

最后，我们介绍重力加速度。我们知道，地球上的一切物体，都会受到一个近似于指向地心的引力。我们称之为地心引力。而由地心引力造成的加速度，我们称之为重力加速度。

【讨论部分】

准备了这么久，下面我们正式开始讨论抛体运动。

曲线运动都是具有矢量性质的，因为它们在任意方向上都能分解加速度、速度等。抛体运动也是属于曲线运动的范畴，故也具有矢量性。下面，我们来定义抛体运动：由平面上某一点相对水平面沿一定角度抛射物体，若物体能够视为一个质点并具有一定初速度，且在其曲线运动轨迹只受到重力作用，那么我们就称这类运动叫做抛体运动。其中抛射角为0°的抛体运动称为平抛运动，抛射角度为90°抛体运动称为上抛运动，抛射角度介于0°与90°之间的抛体运动称为斜抛运动。

从定义中我们得知，上抛运动和平抛运动具有特殊性，所以我们先从斜抛运动开始讨论，然后分别讨论上抛运动和平抛运动。

如左图，我们将抛体运动的运动轨迹直接投影在平面直角坐标系

的第一象限。抛体运动轨迹如红色曲线，抛射角度且初速度V在x轴上的分矢量为Vx，在y轴上的分矢量为Vy。且他们的大小为别为：VxVcosθ,VyVsinθ

[《对抛体运动的讨论》作者：Cain][《<对抛体运动的讨论>参考提纲》作者：花非花][审读：花非花、Cain]

如左图，在运动轨迹上的任意一点，它都具有向下的重力加速度g。且ggjgj。

了解以上内容，我们便可以得出斜抛运动的速度关于时间的函数:

V(Vcosθ)i(Vsinθgt)j。

dr根据v的速度定义，我们得到drvdt，设任意时刻t的位置矢量为r，两边做定积分得到抛体运动的运动学方

dt程为：

ttttt12rvdt(Vcosθ)i(Vsinθgt)jdtVcosθidtVsinθjdtgtj(Vtcosθ)i(Vtsinθgt)j

0000021122上式结果也可以写成：(Vtcosθ)i(Vtsinθ)j(gt)j[(Vtcosθ)i(Vtsinθ)j](gt)j其中中括号内的部分

22[(Vtcosθ)i(Vtsinθ)j]又是初速度的在时间t发生的位移，故[(Vtcosθ)i(Vtsinθ)j]可以写成Vt，若我们不使用

12Ox轴和Oy轴的单位向量，而是直接使用g和V，就得到该简化方程：rVtgt。

212 下面，我们来求出抛体运动曲线的方程式。在(Vtcosθ)i(Vtsinθgt)j方程中，我们根据向量的关系，知道x

2坐标关于时间t的函数关系式为x(t)Vtcosθ，y坐标关于时间t的函数关系式为y(t)Vtsinθ间的函数做一些变换得到：tx12gt。把x关于时

12g(xVcosθ)22Vcosθ对该式进行一些化简，于是我们得到了斜抛运动的轨迹方程：

y(x)g22，将该式代入y关于t的函数中得到：y(x)V(xVcosθ)sinθ2Vcosθxxtanθ

2 当角度固定，初速度一定，这条曲线方程式便是一条抛物线，这也是抛物线名字的由来。

以上的推导当然也适用于角度等于90°和0°的情况。

下面我们来讨论最大抛射距离和最大抛射高度的问题。我们知道，当x=0时抛物线与x轴有一交点，该交点为抛物线的抛射起点，那么在抛物线上还有另一点与x轴相交，这点即为抛射的最远距离。则令y=0，解出两个x分别为x10,x2sin2θVg2。

由此可知角度和初速度决定抛射的最大射程，当速度的大小一定时，角度取45°得到x2的值最大，也就是说在初速度大小一定时，沿着水平方向45°夹角抛射物体，能够将物体抛得最远。（这里我们假设抛射起点和落地点都在同一高度。这种情况下最大值对应的角度对于非同一高度的情况依然适用，不过最大距离却根据情况而不同。） 我们再来计算y的最大值，利用初中所学的知识，我们知道抛物线中y的极值为y4acb4a2，代入计算得到：

ysinθV2g22，也就是抛体运动的最大高度。

[《对抛体运动的讨论》作者：Cain][《<对抛体运动的讨论>参考提纲》作者：花非花][审读：花非花、Cain]

《对抛体运动的讨论》参考提纲

█花非花

【储备知识】中建议加入“运动的合成（与分解）”、“直线运动公式”

一、 竖直上抛运动

1 分析：竖直上抛运动是竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动的合成 2 基本规律：

（1） 上升到最高点时间t=v0/g,……(可添加推导步骤等) （2） 上升的最大高度hmax=v0/2g……

（3） 在同一高度，上升速度与下降速度大小相等，方向相反。

（4） 由某一高度到达最高点的时间与最高点落到这一高度的时间相等。 综上所述，竖直上抛运动的上升段和下降段的物理过程具有对称性。 3 注意点

（1） 取初速度v0方向为正方向，即竖直向上方向为正方向。 （2） 位移h（注：不是路程）必需由抛出点算起 （3） 速度v、位移h的正负值的意义，比如：

v>0,说明与初速度方向相同，物体在上升。

v<0,说明与初速度方向相反，物体在下降。 v=0,说明物体达到最高点。

h>0,说明与初速度方向相同，物体在抛出点上方。 h<0,说明与初速度方向相反，物体在抛出点下方。 h=0,回到抛出点位置。

二、 竖直下抛运动：竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动的合成

三、 平抛运动

1 分析：平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成，这两个分运动具有性和等时性。在计算时，既分又合:“分”是指将平抛运动分解为两个方向的运动计算；“合”是指在求某一刻速度或位移时，将两个分运动中的量合成起来。

2 基本规律：

(1) 平抛运动的时间由物体抛出时所在高度h决定，移无关。

,t与初速度v0及水平方向位

2

(2) 水平方向位移由抛出点的高度和初速度两者决定，

四、 斜抛运动：是水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合成。

。

[《对抛体运动的讨论》作者：Cain][《<对抛体运动的讨论>参考提纲》作者：花非花][审读：花非花、Cain]

共同规律：抛体运动加速度恒为重力加速度g，加速度恒定，则在相等的时间内速度变化的量相等，即△v=g△t。并且速度变化的方向始终是竖直向下的，故抛体运动是匀变速曲线运动。

五、 两个（及以上）抛体运动：处理问题时可等效为多个抛体均不受重力场，以及利用它们的相对速度来简化计算。