(1) (2)
0.2c(t) =2r(t)
0.04c(t) 0.24c(t) c(t) = r(t)
试求系统闭环传递函数 ①(s),以及系统的单位脉冲响应 部初g(t)和单位阶跃响应 c(t)。已知全 始条件为零。 解：
(1) 因为 0.2sC(s) =2R(s)
闭环传递函数
单位脉冲响应: C(s)=10/s g(t) -10
2
单位阶跃响应 c(t) C(s) =10/s 2
t _0
c(t) = 10t
C(s)
R(s) 0.04s 0.24s 1
2
(2)(0.04s 0.24s 1)C(s)二 R(s)
_ 1
_ 2
闭环传递函数
0.04s
单位脉冲响应: C(s)=
0.04s
h2
\" Wk ； 单位阶跃响应
0.24s 1
g(t)
用宀n4t
3
0.24s 1
s 6
16]
Ts 1
s (s 3)
2
16
3-2 温度计的传递函数为 — ，用其测量容器内的水温，1min才能显示出该温度的
98%的数值。若加热容器使水温按 10OC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有 多大？
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
1
G(s) 口
Ts 1
1
由一阶系统阶跃响应特性可知： c(4T)二98o，因此有 4T =1 min，得出 T = 0.25 min 。
o
G(s“4」 1 —①(s) Ts
「K=”T
V=1
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为
用静态误差系数法，当 r(t^10 t时,
10
ess 二—=10T = 2.5 C。
K
\"Rfb
C(s) 1 Ts -R(s)
Ts 1 Ts 1
S ：：』s
Ts
2
=10T =2.5 C s
(S)R(s)=
Ts 1
3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为
c(t) =10-12.5e」.2tsi n(1.6t 53.1o)
试求系统的超调量 b%、峰值时间t p和调节时间t s。
1 严 + y ----
解：c(t) =1 _ ---- e~ sin(p1 _U2豹nt + P)
2 '
:=arccos 二％ 二 e~~ ' 1
一
t3.5
s
二 cos ：二 cos53.1° 二 0.6
_;0.6/ 1 _0.62
= 9.5%
31
w「96
⑸
ts 二
3.5
=3.
2 =2.92(S)
5n 1.2
或：先根据c(t)求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。
3-4机器人控制系统结构图如图 T3.1所示。试确定参数 K1, K2值，使系统阶跃响应的峰值时间tp =0.5s,超调量、「％ =2%。
解依题，系统传递函数为
，J(s)
s(s 1)
] gas 1)
s(s +1)
Ki
s
2
(1 K1K2)s K1
=e 毗宀=0.02 tp
711 n 7.•用
联立求解得
0.5
= 0.78 •n =10
比较：.：』(s)分母系数得
r
9
I 1
K
n
- 100
2
心 心= 0.146
K1
3-5 设图T3.2 (a)所示系统的单位阶跃响应如图
T3.2 ( b)所示。试确定系统参数
Ki, K 2 和 a。
图 T3.2 习题3-5 图
解由系统阶跃响应曲线有
cL) =3
讥p =0.1
=(4—3)/3 =33.3%
系统闭环传递函数为
G(S)二
K1K2 s as K1
tp
2
2
K2 'n S2 2「nS「
2
= 0.1
.1 一 「n
= 0.33
联立求解得
n
「。厂e「： 一 \"3.3。。
=33.28
r 2
由式(1)
K, =con =1108 a = 2・G)n = 22
1
另外
c(：：)二 lim 二
K1K2 lim 2
s^(s)
s s
s as K1
3-6已知单位反馈随动系统如图 T3.3所示，K=16s1
,T=0.25s,试求:
(1 )特征参数
和，；
(2) 计算(T °%n ts；
(3) 若要求T %=16%当T不变时K应当取何值？
【解1 : (1求出系统的闭环传递函数为)
:
K/T
1 s ■ K /T s1 2
T
,K 16
=8(s」)，二竺 1/T '、T : 0.25 2 = 0.25
因此有:
・
2 .. KT
U*-
■■2
(2)
；「％=e 1-
100% =44%
—1/T
■ n
4(s
(3 )为 了使2 2
可得 =°.5，当T不变时，有:
2頁％=26%).由式.25% =e 100% =16%K =T -2
n =4 0.25 二4(s )
3-7系统结构图如图 T3.4所示。已知系统单位阶跃响应的超调量 匚％ = 16.3%，峰值时间tp =1s。
（4） 计算等速输入r（t） =1.5t（ ）. s时系统的稳态误差
10 s(s 1) 10 . s + ------- 解（1） G(s)
10K s(s TO.
1)
s(s 1)
(2)
E G(s)
1OK
1 G(s)
s2 (10. 1)s 10K
= 16.3°。
(3 )由
联立解出
由（2） 10K 二：=3.632
=13.18，得出 K =1.318。
K10K v 二 13.18 lim sG(s)二
s
—0
10 1 10 0.263 1
1.5
=0.413
Kv 3.63
3-8已知单位反馈系统的单位阶跃响应为
1
- （1） 开环传递函数 -:；
（2）
- 'n -% ts ；
（3） 在巳 「二'作用下的稳态误差
3-9 已知系统结构图如图 T3.5所示,
G(s)
K
试确定系统稳定时的增益 K的取值范围。
= 0.5 n = 3.63 = 3.63
G(s)
图T3.5 习题3-9图
.=0.2 6 3
，求
解:
P(J) = O.O25J1 +G32 +^ + Jt = O
3 5 0,025 I
『 035 k
列劳斯花* 0.025Ar-035
$ — -- ---------- 035
护 k 很据劳斯判据、系统稳定的充要条件是:
0.025Jt-035」 ----------- >0
0.35 J => 0 s(s 4)( s 2s 2) 试分别求出当输入信号2 r(t) =1(t), t和t时系统的稳态误差 G(s)二 7(s+1) 7/8 2 s(s 4)( s 2s 2) v=1 由静态误差系数法 r(t) =1(t)时， ess = 0 r(t) =t 时， ess A =8 =1.14 K 7 r(t) 二t2 时， ess 二：： 3-11已知单位负反馈系统的开环传递函数为 G(S)二 K s(0.1s 1)(0.2s 1) 若r(t) = 2t + 2时，要求系统的稳态误差为 0.25，试求K应取何值。3-12设系统结构图如图 T3.6所示, 图T3.6 习题3-12图 （1） 当Ko =25,Kf =0时，求系统的动态性能指标 -%和 ts; （2） 若使系统 =0.5，单位速度误差ess=0.1时，试确定K0和Kf值。 °）（ 5 分）（2）K^100，Kf =6（5 分） 3-13已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性, 5432 (1) D(s)二 s 2s 2s 4s 11s 10 = 0 (2) (3) (4) 并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。 D(s) = s5 D(s) = s D(s) = s5 5 45 3s4 2s- s - 2 = 0 2s4 3 2 4 12s324s2 32s 48 = 0 24s3 48s2 - 25s -50 = 0 解(1) D(s) = s 2s 2s 4s 11s 10=0 Routh: S S S 34 5 1 2 ； 2 4 6 11 10 S2 S S 0 4；-12； 6 10 10 第一列元素变号两次，有 2个正根。 Routh: (2)D(s) =S5 3s4 12s3 24s2 32s 48=0 S5 1 12 S4 3 24 S3 3 12-24 3 =4 32 3-48 3 S2 4 2「3 012 32 48 -16 S S S 0 12 16-4 48 12 24 48 2 =0 0 辅助方程12s —0, 辅助方程求导：24s = 0 系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统■对虚一 根 %2 = j 2。 (3)D(s)二 S 2s Routh: S S S S S S 02345 54 _s_2 =0 1 2 8 Z 0 0 0 -1 -2 辅助方程2S4_2=0 辅助方程求导 8s二0 3 -2 16 ； -2 1个正根；由辅助方程 2s 一2 = 0可解出： 4 第一列兀素变号一次，有 2s—2=2(s 1)(s-1)(s j)(s-j) 54 D(s)二 s 2s - s-2 =(s 2)( s 1)(s-1)(s j)(s-j) (4) D(s) = s 2s 24s Routh: S S S S S S 02345 543 48s2 - 25s - 50 = 0 1 2 8 24 48 96 -25 -50 辅助方程 2s • 48s -50 = 0 辅助方程求导 8s 3 4 2 96^0 24 -50 338/3 -50 2s - 48s - 50 =0 可解出： 4 2 第一列兀素变号一次, 有 1个正根；由辅助方程 2s 4 48s -50 =2(s 1)(s-1)(s 2 j5)(s-j5) D(s) =s5 2s4 24s3 48s2 -25S-50 =(s 2)(s 1)(s-1)(s j5)(s-j5) 3-14 某控制系统方块图如图 T3.7所示，试确定使系统稳定的 K值范围。 图T3.7 习题3-14图 解 由结构图，系统开环传递函数为： G(s)二 K (4s2 2s 1) 32 s(s +s + 4) 开环增益 Kk 二 K 4 :系统型别 v=3 D(s) = s s4 4s3 4Ks2 2Ks K =0 Routh: S5 2K 4K S3 _4(1 _ K) S2 (15 -16K)K K 1615=1.067 4(1 _ K) -32K2 47K -16 0.536 ：：： K ::: 0.933 4(1 -K) S° .使系统稳定的K值范围是： 0.536 ::: K ::: 0.933 。 3-15 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s 八 s(s 3)(s 5) 要求系统特征根的实部不大于 -1,试确定开环增益的取值范围。 解 系统开环增益 Kk二K 15。特征方程为: D(s) = s3 8s2 15s K = 0 做代换s -1有： D(s) =(s -1)3 8(s-1)2 15(s -1) K 二 s3 5s2 2s (K -8) = 0 K(s 1) G(s)二 s(Ts 1)( 2s 1) Routh : S3 1 2 S2 5 K-8 S 18 - K =K <18 5 S0 K -8 二 K 8 8 K 18 使系统稳定的开环增益范围为： 15 :::K k < 一 15 3-16 单位反馈系统的开环传递函数为 15 试确定使系统稳定的 T和K的取值范围。 解特征方程为: D(s) = 2Ts3 (2 T)s2 (1 K)s K =0 Routh : S3 2T 1 K — T 0 S2 2 T K — T -2 S 2TK 4 1 K - ― T :::2 - 2 +T K -1 s° 二 K . 0 4 综合所得，使系统稳定的参数取值 = T :: 2 - ，k>0 K -1 3-17 船舶横摇镇定系统方块图如图 阻尼。 T3.8所示，引入内环速度反馈是为了增加船只的 (1) (2) (3) BQ 图T3.8 习题3-17图 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 ’型； M N(S) 为保证M N为单位阶跃时倾斜角 二的值不超过0.1，且系统的阻尼比为 0.5，求K2、 K1和K3应满足的方程; 取K2=1时，确定满足(2)中指标的K1和K3值。 (1) 0.5 S 0.2s 1 1 . 0.5K2K3S 0.5KK s2 +0.2s+1S2 0.2S 1 MN(S) S )0 2 0(s) MN(S) 0.5 S2 (0.2 0.5K2K3)S (1 0.5K1K2) 05 S.1 GU --- ----- <0 1 S M N (S) 1 0.5K1K2 (2) 令：*：) = lim SM N (S) 心(S) K1K2 -8。 M N(S) n =「 有: 1一0.5KK 0.2 0.5K2K3 2'n ，可得 0.5 0.2 0.25K2K3 「1 0.5K1K2 (3) K2 =1 时，K1 一8，0.2 0.25K^ 5，可解出 K^ 4.072。 3-18 系统方块图如图T3.9所示。试求局部反馈加入前、 静态后系统的静态位置误差系数、 速度误差系数和静态加速度误差系数。 图T3.9 习题3-18图 解局部反馈加入前，系统开环传递函数为 ： G(s) 10(2s+1) > s (s+1) Kv = s_ lim sG(s)工 n 2 Ka Pms G(s) =10 局部反馈加入后，系统开环传递函数为 K p =lim G(s)= 10 s(s 1) 20 (s ■ Kp =lim G(s)=:: Kv =lim sG(s) =0.5 ST 2 10( 2s 1) 2 s(s s 20) K^Hm s G(s) =0 3-19 系统方块图如图 T3.10所示。已知r(t) = ni(t) = n2(t) =1(t)，试分别计算 r(t), m(t)和n2(t)作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下 的稳 态误差的影响。 图T3.10 习题3-19图 G(s)= s(T1s 1)(T2S 1) r(t) =1(t)时, e0 K [K 、 v=1 ssr 二 ； ： \\n1(S) E(s) _ N^sp s仃2S 1) K s(T|S 1)(T2s 1) -(TiS + 1) sb 1s 1)(T2s 1) K 4(t) =1(t)时, essm =sim)sGen,(S)N1(S)nism^S① 1 en,(S)$ 1 5(S)严 2(s) 1 仃 2S 1) . K -- -sb 甘1) sb 1s 1)(T2s 1) K s(T1s 1)(T2s 1) ^(t) -1(t)时， 扰因引起的稳态误差。 ess% =lSmpS ① en’(s) N2(S)= 1 ① e%(S)； = 0 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节， 可以同时减小由输入和干 3-20 系统方块图如图 T3.11所示。 J(0. ls + l)(0 2s+1) 图T3.11 习题3-20图 (1) 为确保系统稳定，如何取 K值？ (2) 为使系统特征根全部位于 S平面S = -1的左侧，K应取何值？ (3) 若r(t) =2t 2时，要求系统稳态误差 ess乞0.25, K应取何值? 50K s(s 10)( s 5) 解 G(s)二 (1) D(s) =s s3 2 3 15s 50s 50K 1 15 50 50K 2 s Routh: 50(15-K) 15 50K 0 s s 0 - K :: 15 1 , K :15 > K 0 系统稳定范围: (2)在D(s)中做平移变换：S二S -1 D(s) =(s 一1)3 15(s 一1)2 50(s -1) 50K =s 3 12s 2 23s (50K -36) 厂 s 1 23 ’ 312 … s， 12 50K-36 —■ K 6.24 Routh :* sI 312-50K 50 36 Q 12 > K 0.72 k s 50K -36 50 满足要求的范围是： 0.72 ：：： K :：: 6.24 (3) 由静态误差系数法 2 当 r(t) =2t 2 时，令 ess = 2 乞 0.25 K 得 K _8。 综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 8岂K ：：： 15 3-21宇航员机动控制系统方块图如图 T3.12所示。其中控制器可以用增益 宇航员及其装备的总转动惯量 I = 25 kg m2 。 (1) 当输入为斜坡信号r(t) =t m时，试确定K3的取值，使系统稳态误差( (2) 采用(1)中的K3值，试确定K1, K2的取值，使系统超调量 匚%在 解 (1)系统开环传递函数为 G(s)二 C(s) K1K2 E(s) s(I s KK1K2K3 1K2K3) s(s I r(t)二t 时，令 ess 丄=K3 乞 0.01， 可取 K3=0.01。 K 3 (2)系统闭环传递函数为 K1K2 K2来表示; s = 1cm； 10%以内。 K1K2 G(s) C(s) R(s) K1K2 I 由二°。…< 10oo，可解出 _ 0.592。取.=0.6进行设计。 将I = 25 , K3 = 0.01代入匚=3譽2 = 0.6表达式，可得 20 K1K2 - 360000 3-22 大型天线伺服系统结构图如图 T3.13所示，其中 =0.707 , n=15 , . =0.15s。 0.01。试确定 (1) 当干扰n(t) =10 1(t)，输入r(t) =0时，为保证系统的稳态误差小于 Ka的取值； (2) 当系统开环工作(Ka=0)，且输入r(t)=0时，确定由干扰n( t) = 10 1(t)引起的系 统响应稳态值。 图T3.13 习题3-22图 解 (1)干扰作用下系统的误差传递函数为 -就(％+1) s( s 1)(s2 2 nS ■：) Ka ■； n(t) =10 1(t)时，令 T 得: 10 10 lim s N(s) ©en(s) = lim s， T S ^en (S)= 兰0.01 Ka Ka -1000 (2)此时有 E(s) = -C(s)= N(s) = 22 S(S 2 -ns -C： n) s (s 亠 2A n S亠心 2) 2 -10 e ss sE(s) =—oO 3-23 控制系统结构图如图 T3.14所示。其中 & , K2 ■ 0, 亠0。试分析: (1) 一：值变化(增大)对系统稳定性的影响； (2) 一：值变化(增大)对动态性能(c%，ts )的影响； (3) 一：值变化(增大)对r(t) =at作用下稳态误差的影响。 解系统开环传递函数为 G(s)二心 K2 s ：K2 &K2 S(S ：K2) 'n = K K = \\ = 1 1 K 2 2 , K1 ((s) 一 s 2 2 K1K2 ：K2S K1K2 E - % _ 3 [K! 2、K1K2 D(s)二 s *2s K1K2 (1)由D(s)表达式可知，当 2 -0时系统不稳定，一：・0时系统总是稳定的。 (2)由 :可知, 7 (0 ：： ：：： 1) e a ss K1 3-24系统方块图如图T3.15所示 (1) 写出闭环传递函数：•:“S)表达式； (2) 要使系统满足条件：• =0.707, , =2, 试确定相应的参数K和一：； (3) 求此时系统的动态性能指标(匚0, ts)； (4) r(t)=2t时，求系统的稳态误差 0 ess ； (5) 确定Gn (s)，使干扰n(t)对系统输出c(t)无影响 图T3.15 习题3-24 图 (1)闭环传递函数G(s)=C© K 匚 K R(s) “空 s2 K ： s K s s 2 ns ■ 22 (2) 对应系数相等得2丘 K = 2 =22 =4 K =4 筛=0.707 -4.32 00 (3) ；「0 =e一二 0 箜=3.5 =2.475 s n 2 G(s (4) )r=s(^ s KK v =1 仔 2\" 14 (5) 令：\"\"(S佥 O 1 1 Gn (s) r(s) s 3-25复合控制系统方块图如图 T3.16所示，图中 心,K2,「, T2均为大于零的常 数。 (1) 确定当闭环系统稳定时，参数 K,，K?，T,，T2应满足的条件； (2) 当输入r(t) =V0t时，选择校正装置 GC(s)，使得系统无稳态误差。 图T3.16 习题3-25图 解 (1)系统误差传递函数 1 -―— Gc (s) (s) _ E(S)_ s(T?s 1) _ S(T1S 1)(T?s 1)- K?Gc(s)(T!S 1) 'e(S)_ R(s) - r K1K2 - s(T1S 1)(T?s 1) K1K2 s(T1^1)(T2^1) D(s) =T31T2s (T1 T2)s2 s K1K2 列劳斯表 s 3 T1T2 1 2 s T1 T2 K1K2 1 T1 T2 -T1T2K1K2 c s 0 「+T2 s 0 K1K2 因K1、K2、T1、T2均大于零，所以只要 T1 T2 T1T2 K1 K2即可满足稳定条件。 (2 )令 ess =ljmos① e(s) 'R(s)=凹 s = Vo s(T1S 1)(T2S 1)-K2Gc(s)(「s 1) s s(T1s + 1)(T2s + 1) + K1K2 Vo 1 - K 2 K1K2 可得 Matlab 习题 342所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的 3-26设控制系统的方框图如图 暂态性能指标tp、ts 和 % 25 C(s) R(s) . c . s( s +6) —j L 图T3.17 习题3-26图 【解】：求出系统的闭环传递函数为：| .l 1，斗 | i i I 251 1 1 r ::①(S) : 2「” ':: ：s 6s: 25 r i li ■ ■■ 1 i l! 1 2 ------- --- ---- f --------- 卓•-；:——乙J ------- 且 ----------- ― 2 ----------------- 1 -T-1 ：网n =5(S ), r 因此=53.l °=g=0.6,CO.93(id ad=©~jn 1 —・[=4(S ) 有: 牛=一：=3.14- 0・ ・ 0 I -2 .93 =0.55(S) 可t o?d : 4 06 r: tp 二 = 3.14「二 峰值时 间 0.785(s) 1 - — = — - T — — ~ ~ ~ » - ~ — ~ — ~ — I- - —> <—j- >=■ = — - 1 Bd 4 0.4 ■- ! 超调量 ■ 1广2 02 ；「％4 =e 「 4 100% =0.095 100% =9.5% tsH33(S)3 2 调节时间 n=0.6』5\"%) o Matlabi程序：chpthree2.m Time G 旳 n=[1,6,25]; % 系统的闭环传递函数 sys=tf[ nu m,de % 建立系统数学模型 n]; t=0:0.02:4; figure step(sys,t);g% 系统单位阶跃响应 rid 0.5 2.5 3 num=[25];de G(s)二 25 s(s 5) 试用MATLAB判断系统的稳定性，并求各静态误差系数和 r(t) =^1 2t 0.5t2时的稳态误 解 (1) G(sr 25 s(s 5) 25 Kp 二 lim G(s)二 lim s Q s s(s ■ 5) 25 s 5 25s Kv =lim sG(s) = l^m s )0 2 Ka 二 lim sG(s) = lim J茉 ^^0 s十5 0 1 沁八⑹时， A 2 「2(°=盘时，ess2 Kv 5 A 1 0.4 — 心斶时，％
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