曲线的切线和法面、密切面

§1.2 曲线的切向量、切线和法面、

密切平面

假设r(t)(x(t),y(t),z(t))中的三

个分量具有我们所需要的各阶导数。

一、 切向量的定义及求法

对曲线进行研究，从曲线的割线及割线的极限入手。 （1） 定义 如图

给出曲线上一点P， 点Q是曲线上邻近P的x文案大全

zz

r(t)

r(tt)

y

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一点，经过P和Q的直线称为曲线的一条割线。

当Q点沿着曲线趋近于P点时，若割线PQ趋近于一定的位置，则我们把这个割线PQ的极限位置称为曲线在P点处的切线。而定点

P叫做切点。

直观上看，切线是通过P点的所有直线当中最贴近曲线的直线。

设曲线的参数方程是 rrrr(t)，t(,)。

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设r(t)是该曲线上的一点，记为P，

t(,)，

给t一个增量t，

考虑曲线上的另外一点r(tt)

rr记 Pr(t)，Qr(tt) ；

uuurrr则有PQr(tt)r(t)，

uuur在割线PQ上作向量PR，使得

rruuurr(tt)r(t)PR； t

当Qr如果t有着确定的极限，

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P（即t0）时，

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rruuurr(tt)r(t)PRlim则lim， tQPt0根据曲线的切线的定义，那么这个极限就是切线上的一向量，称它

r为曲线在点Pr(t)处的切向量。

也就是说，定义

为曲线的切向量，用r(t)来表示。

rr(tt)r(t)lim limttt0t0

（2）切向量的求法 因为

r(tt)r(t)1x(tt)x(t),y(tt)y(t),z(tt)z(t)tt

x(tt)x(t)y(tt)y(t)z(tt)z(t),,， ttt令t0得

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r(t)x(t),y(t),z(t),t(,)。

特别，对平面曲线，

①：r(t)(x(t),y(t))， 切向量r(t)x(t),y(t),

dyy(t)k为切线的斜率。 dxx(t)

②曲线yf(x),

rr(x)(x,f(x)),

r切向量r(x)(1,f(x)),

dyf(x)f(x)为切线的斜率。 dx1

平面曲线的切线方程和法线方程。

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例 1、求圆

rrrr()acos,asin,(0,2)的切向量。

r解：切向量是r()(asin,acos), rrr()r()acos(asin)asinacos0

所以，这表明r()与r()垂直。

二、切线方程

曲线rr(t)在点r(t0)处的切

线方程为

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rr(t0)r(t0),

rr(t0)r(t0),(,)，

xx(t0),yy(t0),zz(t0)(x(t0),y(t0),z(t0))，

xx(t0)x(t0)yy(t0)y(t0)， zz(t)z(t)00

xx(t0)yy(t0)zz(t0)x(t0)y(t0)z(t0)，

这称为切线方程的点向式。

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三、曲线的法平面

经过切点而垂直于切线的平面，称为曲线的法平面或法面。

下面导出曲线的法平面方程。

设曲线rr(t)上一点P，它所

对应的参数为t0，

rr(X,Y,Z)是法面上的任一点，

则由 rrrrr(t0)r(t0)， rrr得[rr(t0)]r(t0)0，

P点的向径是r(t0)，

r 若设r(t0)(x(t0),y(t0),z(t0))，

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rr(t0)(x(t0),y(t0),z(t0))，

则得法面方程为

[Xx(t0)]x(t0)[Yy(t0)]y(t0)[Zz(t0)]z(t0)0。

四、光滑曲线

 定义 8.2 设曲线rr(t)，

如果r(t0)0，则称r(t0)是曲线的

一个奇点。

如果r(t0)0,称为r(t0)是曲线的

一个正则点（或正常点）。

rr32例如 rr(t)(t,t)，

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r2r(t)(3t,2t)， rr(0)(0,0)， rr(0)(0,0)是曲线的一个奇

点，其它点为正则点。

由 xt3,yt2， 2得yf(x)x3，

f(x)在x0处不可导。

画出曲线图象。

22例 曲线x3y31，

xcos3t,ysin3t,0t2，文案大全

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rr33rr(t)(cost,sint)，

rr(t)(3cos2tsint,3sin2tcost)，

3当t0,2,,2r有r(t)(0,0)，

时，

rrrr3r(0),r(),r(),r()均为曲线

22的奇点，其它点为正则点

画出曲线图形。

rr33rr(t)(t,t)，(0,0)是注：

奇点，

rrrr(u)(u,u)，(0,0)不是奇点，

表示同一条曲线，原因是变换ut3不是正则的。

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定义 如果曲线rr(t)全由

正则点组成，则称这条曲线是一条正则曲线。

设曲线r(t)(x(t),y(t),z(t))，

t[,]，如果切向量r(t)的三个分

量都是,上的连续函数，并且

rr(t)0,t(,)，则称曲线

rr(t)(t[,])是一条光滑曲线。

设曲线（t(,)），

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r(t)(x(t),y(t),z(t))实用标准文档

如果r(t)在(,)上连续，

并且，则称曲线rr(t)(t(,))是一条光滑曲线。

如果曲线表示式

r(t)(x(t),y(t),z(t))（t(,)）

rr(t)0,t(,)中的函数是k阶连续可微的函数，则把这曲线称为Ck类曲线。

记号Ck[a,b]，Ck(a,b)，C(a,b)等的涵义。

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例如：圆柱螺线

racost,asint,bt,t(,),(a0,b0)kC是一条光滑曲线，且是类曲线（任

意正整数k）。（这种曲线，也称为无穷次光滑曲线。）

分段光滑的曲线概念。分段光滑的曲线的图例，出现被使用的场合。

23xt,yt,zt例1 . 求曲线在点

M(1,1,1)处的切线和法平面方程.

2x1,y2t,z3t,解 因

及点M(1,1,1)对应参数t1,

所以曲线在点M处的切向量

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为T(1,2,3).

于是所求的切线方程为

x1y1z1123；

法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0,

即 x2y3z60.

例2 、 求曲线

xt1,yt2t,zt32t

上平行于直线xyz的切线方程.

解 已知直线的方向向量

l(1,1,1).

2x(t)1,y(t)2t1,z(t)3t2,文案大全

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由于曲线的切向量

平行于向量l,

rr(t)(1,2t1,3t22)

12t13t22所以 111,

解得t1, 切点坐标为(2,0,1),

切向量为l,

所以切线方程为

x2yz1, 111即

x2yz1.

xx(t),yy(t),zz(t)

例3. 设曲线

在任一点的法平面都过原点,

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证明此曲线必在以原点为球心的某个球面上.

解 任取曲线上一点x(t),y(t),z(t),

曲线过该点的法平面方程为:

x(t)[Xx(t)]y(t)[Yy(t)]z(t)[Zz(t)]0,由于法平面过原点，得

x(t)[0x(t)]y(t)[0y(t)]z(t)[0z(t)]0,

[x2(t)y2(t)z2(t)]0,

于是 x(t)y(t)z(t)C， 即曲线在球面上. 例

4

.设参数曲线段

222rr(t)(x(t),y(t)),atb，它的分量x文案大全

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和

y在[a,b]上连续，在(a,b)可

导，并且对t(a,b)，有x(t)0，我们称由(x(a),y(a))与

(x(b),y(b))两点决定的直线

段为这条参数曲线段的弦. 求证：曲线上至少有一点使得曲线在这点上的切线与弦平行. 证: 由柯西中值定理, 存在(a,b),使得 弦的斜率为

y(b)y(a)y()x(b)x(a)x(),

y(b)y(a)x(b)x(a),

曲线上(x(),y())点处的切线斜率

y()为x(), 两者相等,

故弦线与(x(),y())点处的切线平

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行, 结果得证.

五、空间曲线的密切平面

经过上面的讨论， 我们知道，在C1类曲线的正常点处，总存在一条切线，它是最贴近曲线的直线。 下面我们将指出，对于一条C2类空间曲线而言，过曲线上一点有无数多个切平面，其中有一个最贴近曲线的切平面，它在讨论曲线的性质时起很重要的作用。

定义1 过空间曲线上P点的切线和P点邻近一点Q可作一平面Q，

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当Q点沿着曲线趋于P时，平面Q的极限位置称为曲线在P点的密切平面。

现在我们找出密切平面的方程。

2C 给出类的空间曲线

rr：rr(t)(x(t),y(t),z(t)) 。

设曲线上的P和Q点分别对应参数t0和t0t。 根据泰勒公式，有

uuurrrPQr(t0t)r(t0)

rr1r2 r(t0)t2(r(t0))(t)，

其中(1(t0,t),2(t0,t),3(t0,t))，

rrlim0。

t0ruuurr因为向量r(t0)和PQ都在平面Q文案大全

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上，所以它们的线性组合

rrrr2uuu[PQr(t0)t]r(t0) 2(t)也在平面Q上。

当Q点沿着曲线趋于P时，t0，

rrr这时r(t0)不动，但0，

r这个线性组合向量就趋于r(t0)，

所以平面Qr的极限位置是向量r(t0)r和r(t0)所确定的平面。

rr 也就是说，如果r(t0)和r(t0)不平

rrr行，即r(t0)r(t0)0，

这两个向量及P点就完全确定了曲线在P点的密切平面。

根据以上的讨论，曲线在

P(t0)点的密切平面的方程是

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rrr(r(t0),r(t0),r(t0))0，

ur其中(X,Y,Z)表示P(t0)点的密切平面上任意一点的向径。

上式也可以用行列式表示为

Xx(t0)Yy(t0)Zz(t0)x(t0)y(t0)z(t0)0 。

x(t0)y(t0)z(t0)ur 定义

2C2 给出类的空间曲线

rr：rr(t)(x(t),y(t),z(t)) 。

设曲线上的P和Q点分别对应参数t0和t0t。

rr过P点作由r(t0),r(t0t)成的切

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平面Q，

当Q点沿着曲线趋于P时，平面

Q的极限位置称为曲线在P点的

密切平面。

现在我们找出密切平面的方程。

Q的方程为

rrr(r(t0),r(t0),r(t0t))0，

rr其法方向为r(t0)r(t0t)，

rrrr(t0t)r(t0)r(t0)，

t当Q点沿着曲线趋于P时，t0，

rrrr(t0t)r(t0)rrr(t0)r(t0)r(t0)，

t平面Q的法向量的极限为

rrr(t0)r(t0)，就是的法方向，

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故曲线在P(t0)点的密切平面的方程是

rrr(r(t0),r(t0),r(t0))0， ur其中(X,Y,Z)表示P(t0)点的密切平面上任意一点的向径。

密切平面的几何意义：

设曲线上的P和Q点分别对应参数t0和t0t。 过P点作一平面P，

考查Q点到平面P的距离的接近情况，

r设n为平面P的单位法向量，

ur文案大全

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由Q作平面P的垂线，垂足为Q1，

uuuurrn，则QQ其中从平面到Q点有向1距离。

uuuuruuuruuuruuurrQ1PPQ，Q1Pn0， 由于QQ1uuurrrPQr(t0t)r(t0)

rr1r2r(t)t(r(t))(t)00 ， 2其中(1(t0,t),2(t0,t),3(t0,t))，

rrlim0。

t0r

所以有

uuuurruuuruuurrQQ1n(Q1PPQ)n

uuurrrrrPQnn[r(t0t)r(t0)]

rrr1rn[r(t0)t(r(t0))(t)2]，

2rr欲使o(t)，需要nr(t0)0，

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此时P可为任一过切线的平面；

2o((t))， 欲使

rrrr需要nr(t0)0，nr(t0)0，

也就是需要P的法方向为

rrr(t0)r(t0)，此时的平面P是一个切

平面，并且与曲线的接近程度较高， 所以称这种平面为曲线的密切平面。

例 求螺线

r(t)(cost,sint,t)上点(1,0,0)的密切

平面。

解 把点(1,0,0)代入所给曲线方程，

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得t0。

直接计算，得

r(t)(sint,cost,1)，

r(t)(cost,sint,0)，

把t0代入，得

r(0)(1,0,0)，

r(0)(0,1,1)，

r(0)(1,0,0)；

所求密切平面的方程为

X1Y0Z00110100，

即YZ0 。

曲线r(t)，

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r(t)，r(t)的物理意义。



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