高三数学辅导：椭圆与双曲线的必背的经典结论

高三数学辅导：椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y221. 15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2x2y28. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2kOMkAB2，

ab2x0即KAB2。

ay0x2y21内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆

a2b2x0xy0yx02y02222. 2ababx2y221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com

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x2y2x0xy0y22. a2b2ab双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：

P在左支）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程

abxxyy是02021. abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切

abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意

ab2Sbcot一点F，则双曲线的焦点角形的面积为. PFF1PF2122x2y28. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB

abb2x0b2x0的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的

abx0xy0yx02y02方程是2222.

abab欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com

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x2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方

abx2y2x0xy0y程是2222.

abab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y21. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

abx2y2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

abb2x0线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

abPF1F2, PF2F1，则

actancot. ac22x2y24. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

ab任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsinax2y25. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

ab＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

ab则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7. 椭圆

a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

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x2y28. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

ab4a2b2111122

;（1）（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）SOPQ|OP|2|OQ|2a2b2ab2a2b2的最小值是2.

ab2x2y29. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

ab|PF|eMN的垂直平分线交x轴于P，则.

|MN|2x2y210. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

aba2b2a2b2x0线与x轴相交于点P(x0,0), 则. aax2y211. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

ab2b22Sbtan|PF||PF|记F，则(1).(2) . PFPF1F2121221cosx2y212. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

abPAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2a2b22ab2|cos|2cot. (1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2222baaccosx2y213. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F

ab的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

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e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

双曲线

x2y21. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴

abx2y2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互

abb2x0补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

abF 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

catancot（或ca22catancot）. ca22x2y24. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）

ab为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

PF1F2,F1F2P，则有

since.

(sinsin)ax2y25. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，

ab则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线

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P和内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y27. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条

ab22222件是AaBbC.

x2y28. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，

ab且OPOQ. 4a2b2111122

（1）（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）SOPQ;

ba2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2的最小值是2.

ba2x2y29. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于

ab|PF|eM,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

|MN|2x2y210. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的

aba2b2a2b2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0.

aax2y211. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2

ab2b2为其焦点记F，则(1)|PF1||PF2|.(2) 1PF21cosSPF1F2b2cot.

2x2y212. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的

ab一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距

2ab2|cos|离心率，则有(1)|PA|2. 22|accos|2a2b22cot. (2) tantan1e.(3) SPAB22bax2y213. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲

ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交

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点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连

线必与焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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