中考数学总复习 (202)

方法归纳

注意线段、方程、坐标的相互转化，寻找“桥梁”－－几何.

典例分析

【例】(2020汉阳三寄)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－3，12)，B(3，0).

(1)求b，c的值；

(2)如图1，点D是直线AB下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交AB于点N，求DN的最大值；

(3)如图2.若P是y轴上一点，连PA，PB分别交抛物线于点E，F，探究EF与AB的位置关系，并说明理由.

yyANAEDOBBOxxPF

图1 图2

93b112b2解：【例】(1)将A(－3，12)，B(3，0)代入y＝x2＋bx＋1中，得，得.

c393bc0(2)∵A(－3，12)，B(3，0)，∴直线AB:y＝－2x＋6.设D(t，t2－2t－3)，∵DN∥y轴，∴N(t，－2t＋6)，∴

DN＝－t2＋9≤9，∴DN的最大值为9.

ymx3m12(3)设直线PA:y＝mx＋3m＋12，直线PB:y＝nx－3n，联立， 2yx2x3ynx3n得x2－(2＋m)x－3m－15＝0，∴xA·xE＝－3m－15.∵xA＝－3，∴xE＝m＋5，联立， 2yx2x3得x2－(2＋n)x＋3n－3＝0，∴xB·xF＝3n－3，xF＝n－1，

ykxb设直线EF:y＝k'x＋b'，联立，得x2－(2＋k')x－3－b'＝0，∴xE＋xF＝2＋k'， 2yx2x3∴m＋5＋n－1＝2＋k'，又3m＋12＝－3n，m＋n＝－4，∴k'＝2，∴AB∥EF.

习题精练

1.(2020武汉模拟)如图1，抛物线C:y＝ax2＋bx－1经过A(－1，0)，B(4，0)两点.

(1)求抛物线C的解析式；

(2)点P为x轴下方抛物线C上一动点，直线AP和直线BP分别交y轴于D，E两点，当OD·OE的值最大时，求△ABP的面积；

(3)如图2，将抛物线C平移，当顶点至原点时，得到抛物线C1，点M、N在抛物线C1上，点M在点N左边，点T是直线l:y＝－1上一点，两条直线MT、NT与该抛物线均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行，求证：直线MN经过某定点，并直接写出直线l上点S(2，－1)到直线MN的最大距离d.

yyNAODEPBxlMOTx

图1 图2 解：(1)y＝

123x－x－1. 44ykx1ymx42

(2)lAP：，x－(3＋4k)x－4－4k＝0，x·x＝4－4k，∴x＝4k＋4，l：，APPBP123123yxx1yxx14444x2－(3＋4m)x－4＋16m＝0，xB·xP＝－4＋16m，∴xp＝4m－1，4k＋4＝4m－1，4m＝4k＋5，∴BP:y＝mx－

5255(4k＋5)，D(0，k)，E(0，－4k－5)，OD·OE＝－k·(4k＋5)＝－4(k＋)2＋，∴当k＝－时，积最大，

8168535325125125∴xP＝4×(－)＋4＝，yP＝－(＋1)＝－，∴S△ABP＝×5×＝.

22882161632ykxb1211212

(3)MT：12 ，x－kx－b＝0，∴2m＝4k，∴k＝m，m＝－4b，∴b＝－m，∴MT:y＝mx

4242yx4m241121121121－m.同理NT:y＝nx－n，T(t，－1)代入得mt－m＝－1，∴t＝，nt－n2＝－1，∴t

2m4242424yk'xb'n24m24n241＝，∴＝，∴mn＝－4. 设MN: ，x2－k'x－b'＝0， 122m2n2n4yx4∴mn＝－4b'，∴－4b'＝－4，b'＝1，∴过定点(0，1)，d最大＝22.