唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学参
一、选择题：
A卷：AABCB B卷：CBDAC 二、填空题：
CDDCB BACBA （14）
CB DB
（15）4
（16）
（13）(lg2，＋∞)
1 3－ 6
三、解答题： （17）解：
1 3 2
（Ⅰ）＝(3－1)＝3，
a18当n≥2时，
n－1n12n12
∵＝＋＋…＋－＋＋…＋ana1a2ana1a2an－1
3 3
＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1， 88
n
当n＝1，＝32n－1也成立，
ann
所以an＝2n－1．
3
an（Ⅱ）bn＝log3＝－(2n－1)，
n
11 1 11
＝＝－， bnbn＋1(2n－1)(2n＋1)22n－12n＋1
111 1 1 1 1 11∴＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－ b1b2b2b3bnbn＋123352n－12n＋1 1 1n＝1－＝． 22n＋12n＋1
（18）解：
1
（Ⅰ）-x甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，
8 1
-x乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
8 1 2s甲＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
8 1 222222222
s乙＝[(－8)＋(－7)＋(－5)＋0＋2＋4＋6＋8]＝32.25．
8
甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．
…1分
()() …5分
…6分 …7分
()[()()()]…10分
()…12分
…4分
（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝1 3
，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝， 216
k2－k
313k3
依题意，X～B2，，P(X＝k)＝C2，k＝0，1，2，
161616
X的分布列为
X 0 1 2 1697 P 2562562563 3
X的均值E(X)＝2×＝．
168
（19）解：
＝
3
，p28
()()() …7分 …10分
…12分
（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． （Ⅱ）如图，以C为原点，→DA、→CD、→CP分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)． 设P(0，0，a)（a＞0），
1 1 a
则E，－，， …6分
222
z P …4分
()E x B
C →CA＝(1，1，0)，→CP＝(0，0，a)，
1 1 a →CE＝(，－，)，
222取m＝(1，－1，0)，则
A y D →→m·CA＝m·CP＝0，m为面PAC的法向量．
→→设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA＝n·CE＝0，
即
x＋y＝0，x－y＋az＝0，
取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，
…10分
|m·n|a6依题意，|cosm，n|＝＝＝，则a＝2．
2|m||n|a＋23于是n＝(2，－2，－2)，→PA＝(1，1，－2)．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
→|PA·n|__________2→则sinθ＝|cosPA，n|＝→＝， |PA||n|
3
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为（20）解：
（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．
由→CP＝2→PD，得(x－m，y)＝2(－x，n－y)， x－m＝－2x，m＝(2＋1)x，∴得 2＋1y＝2(n－y)，n＝y，2由|→CD|＝2＋1，得m2＋n2＝(2＋1)2，
2
(2＋1)222
∴(2＋1)x＋y＝(2＋1)2，
2
2y2
整理，得曲线E的方程为x＋＝1．
2
2． 3
…12分
…2分
…5分
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由→OM＝→OA＋→OB，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)． 设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
2k1
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2． …7分
k＋2k＋2
4
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝2，
k＋2
2
(y1＋y2)2
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)＋＝1，
2
4k82
即22＋22＝1，解得k＝2． (k＋2)(k＋2)
2
…9分
3
这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－，
4
222222222 (x1＋y1)(x2＋y2)＝(2－x1)(2－x2)＝4－2(x1＋x2)＋(x1x2)
33
＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，
16
x1x2＋y1y233→→cosOA，OB＝＝－． …12分 222211(x＋y)(x＋y)
1122
（21）解：
a2(x＋a)(x－a)
（Ⅰ）f(x)＝x－＝．
xx
当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．
…1分
1
当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna．
2
（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则 当0＜t＜a时，
a2a22at2
g(t)＝f(a＋t)＋f(a－t)＝a＋t－＋a－t－＝＜0，
a＋ta－tt2－a2所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0， 故f(a＋t)＜f(a－t)． （ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 不失一般性，设0＜x1＜a＜x2， 因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得
f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)， 又2a－x1，x2∈(a，＋∞)， 故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a．
（22）解：
（Ⅰ）连结OA、AD．
∵AC是圆O的切线，OA＝OB，
∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， 又AD是Rt△OAC斜边上的中线， ∴AD＝OD＝DC＝OA， E ∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60， A F 1
故∠ABC＝∠AOD＝30． …5分
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
B O 在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60，
1 1 33
∴EA＝AB＝×BD＝BD，
2224333 3
EB＝AB＝×BD＝BD， …7分
2224
2
由切割线定理，得EA＝EF×EB， 3 3
∴BD2＝EF×BD， 1∴BD＝4EF．
（23）解：
（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则
1 1
ρ＝ρ0＝·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，
22
点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)，
…4分
…6分 …8分
…11分 …12分
…2分
D C …10分
…3分
两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，
C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2． （Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得
(tcosφ＋1)2＋(tsinφ－1)2＝2，即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0，
t1＝0，t2＝sinφ－cosφ，
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0，
因为0≤φ＜，所以φ＝
4
．
24）解：
（Ⅰ）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝2－3x，x＜0，
2－x，0≤x≤1，
3x－2，x＞1．当x＜0时，由2－3x≤4，得－ 2
3
≤x＜0；
当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；
当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2．
综上，不等式f(x)≤4的解集为[－ 2
3
，2]．
2a－3x，（Ⅱ）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝
x＜0，2a－x，0≤x≤a，
3x－2a，x＞a．
可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增． 当x＝a时，f(x)取最小值a．
所以，a取值范围为[4，＋∞)． …5分 …7分
…10分
…2分
…5分 …7分
…10分
（