招破解三角形解的个数问题

学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢一解，二解还是无解《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即

在已知ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理求出sinB的值， ①若该值大于1，与sinB1矛盾，则无解；

②若该值小于或等于1，则要考虑a，b的大小关系及A为锐角还是钝角： 若A是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解； 若A是锐角，且ba，则有1解；

若ba，且该值小于1，则有2解；ba，且该值等于1，则有1解．

但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．

第一招：大角对大边

在已知ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B与角A的大小关系，然后求 出B的值，根据三角函数的有界性求解．

【例1】在ABC中，已知a3，b2，B45，求A、C及c．

asinB3sin453，∵B4590，ba，∴A60或120． b22bsinC2sin7562当A60时，C75，c； sinBsin452bsinC2sin1562当A120时，C15，c． sinBsin452点评：在三角形中，abABsinAsinB这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 第二招：二次方程的正根个数

一般地，在ABC中的边长a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元

222二次方程c2bccosAba0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数

解：由正弦定理，得sinA解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14， BDA60，BCD135，求BC的长．

解：在ABD中，设BDx，由余弦定理得14x10210xcos60，

整理得x10x960，解得x16． 由正弦定理，得BC2222D C

BDsinCDB16sin3082．

sinBCDsin135A B

点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，

利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．

第三招：画圆法

已知ABC中，A为已知角（90），先画出A，确定顶点A，再在A的一边上确定顶点C，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C为圆心，以CB边长为半径画圆，看该圆与A的另一边是否有交点，如果

没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个 交点，则说明该三角形的解的个数为2．

【例3】在ABC中，A60，a6，b3，则ABC解的情况（ ）

（A）无解 （B）有一解 （C）有两解 （D）不能确定 解：在A的一边上确定顶点C，使ACb3，作CAD60，

以顶点C为圆心，以CBa6为半径画圆，看该圆与AD没有交点， 则说明该三角形的解的个数为0，故选A．

C b a

A D