浅谈数学教学中的数形结合思想

ｉ　ｊｉｊｌ０Ｉ・　；　—ａ—　－Ｅ！ｄ　ｕ　ｃ－：ａ—ｔ—ｉｏｎ．　。　。　。　ＨｅｒｓＩｄ　理伦前沿　浅谈数学教学中的数形结合思想①　李继超　（北京新桥外国语学校　北京　１　０００６９）　摘要：数形结合思想是最重要．最基本的数学思想之一，在数学教学中具有举足轻重的地位和作用。本文主要对数形结合思想的本质　内涵作出分析，并对其在数学教学中的应用作了探讨。　关键词：数学　教学　数形结合　中图分类号：Ｇ　６　４　２　文献标识码：Ａ　文章编号：１　６７３－－９７９５（２０１Ｏ）Ｏ６（ｂ）－－Ｏ１０４－０１　数学课程标准在实施建议部分指出　学学习和研究中是非常必要的。根据数与　（一１，Ｏ，一１）　０，－　，ＢＩＣ＿ＬＭＮ。　“教学中应强调对基本概念和基本思想的　形两者的信息互动转换关系可以将数形结　在本题的解决过程中，以向量为工具，　理解和掌握，对一些核心概念和基本思想　合分为以形助数和以数辅形两种情形。　采用向量的坐标计算的方式来分析图形相　（如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、　以形助数是根据代数问题所蕴含的几　关的几何性质，充分体现了以数辅形的特　摆脱　导数、统计、随机观念、算法等）要贯穿高中　何意义，将代数问题转化成几何问题加以　征，发挥了数形结合思想方法的优势，数学教学的始终，帮助学生逐步加深理　解决，使得代数问题几何化，借助于几何图　了运用传统方法所带来的复杂的几何论　解。”ｈｉ数形结合是一种基本的数学思想方　形直观地得到问题的结论，使得原本抽象　证，使问题的解决过程显得简洁明快。　法，在数学教学中应重视这种思想方法的　而复杂的问题变得形象化、简易化。　事实上，在数学教学中处处体现了数　渗透。　例：解不等式√　＞　一４　形结合思想，在不同的内容中均有体现，渗　数学是一门以现实世界中的空间形式　解法一：（常规方法）原不等式等价于不　透在数学知识的方方面面。例如：在进行有　和数量关系为研究对象的科学，也就是说，　理数教学时，可以结合数轴来讲解绝对值　　ｆ一　≥。　ｆ　一４＜０　“数”与“形”是数学学科所研究的基本对象　等式组ｘ－４＿的概念、比较有理数大小以及有理数的运　＞０　或１　一２　０，　算法则等；在函数的教学中，我们可以结合　和基本内容。“数”一般指实数、虚数和代数　ｌ　一２＞　－４）　式等，当然也包括函数、方程以及不等式　解第一个不等式组得４　＜６；解第二　函数的图象来研究函数的某些性质，比如　奇偶性和单调性等；在不等式的教学中，可　等；“形”一般指几何图形以及函数图象等。　个不等式组得２≤　＜４　而数与形的关系并不是彼此孤立的，而是　因此，原不等式的解集为：　以通过数轴来寻找一元一次不等式组的解　相互联系、相互依赖　相辅相成　密不可分　集，还可以根据二次函数与一元二次不等　｛　Ｊ２≤　＜４或４　＜６｝，即｛ｘ　Ｊ　２≤Ｘ＜６｝　的，而且在一定条件下是可以相互转化的。　解法二：（数形结合法）如图１，设　式的联系，通过函数的图象来直观地发现　而数形结合则恰好在数和形之间架起一座　Ｙ　＝　一２，Ｙ，：ｘ一４，在同一直角坐标系内　不等式的解集；在集合教学中，可以借助文　沟通的桥梁，可以将二者有机地结合起来，　画出Ｙｌ、Ｙ　的图象，显然　图象位于Ｙ２图象　氏图把集合间的关系直观地反映出来；在　上方的部分所对应的横坐标范围是：　讲解三角函数时，可以运用单位圆进行一　实现数和形的完美统一。　数形结合是指在数学问题解决过程　２　＜６。由此可得原不等式的解集为　系列的研究；在统计的教学中，可以利用折　中，结合问题中各要素间的本质联系，根据　ｘＩ２　＜６｝。比较本题的两种解法，数形　线统计图、扇形统计图以及条形统计图把　实际需要，将数量关系与几何图形相结合，　结合法运算量相对较小，思路新颖，形象直　数据的分布和变化情况形象直观地表现出　依据数与形的对应关系，通过数与形相互　观，简洁明了。　来；在概率的教学中，可以采用树状图来帮　转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思　以数辅形是指采取代数运算或数量分　助学生分析问题；在学习有关整式乘法的　想方法。其解决问题的策略具体表现为把　析的方式对图形的性质加以研究，将几何　内容时，对于一些公式，比如完全平方公　有关数量关系的问题转化成图形性质的问　问题转化为代数问题，也就是使几何问题　式、平方差公式均可以通过构造图形的方　题进行分析，或者恰好相反，将有关图形性　代数化。　式进行推导和验证；在学习解析几何时，可　质的问题转化成数量关系的问题加以探　例：如图２，在正方体ＡＢＣＤ—Ａ　Ｂ．Ｃ。Ｄ，中，　以通过几何问题与代数问题的相互转化来　讨，最终使问题得以解决，达到事半功倍的　Ｍ、Ｎ分别是ＢＤ、ＤＤ。的中点，求证：Ｂ．Ｃ上ＭＮ。　解决问题，等等。　效果。这种思想方法不仅对问题的代数含　证明：设已知正方体的棱长为１个单位　总之，数形结合思想有助干深化学生　　ｉ，　Ｊ，Ｄ日　ｋ　对数学知识的理解，为学生进行数学研究　义予以分析，而且还要对其几何意义加以　长度，揭示，把抽象的数算和直观的几何图　以；，，，　为坐标向量建立空间直角坐　提供了有效的方法和策略，拓宽了学生的　形紧密的联系起来。这种思想方法具备了　标系Ｄ—ｘｙ　Ｚ，则Ｂ　（１，ｌ，１）、Ｃ（０，ｌ，０）、　思路，使学生的抽象思维和形象思维得到　１　１　１　数的精确性和形的直观性的双重优势，以　共同发展，可以增强思维的灵活性，提高思　Ｍ（寺，寺＇ｏ）、Ｎ（０，０，　１，否　＝（一ｌ，０，～１），面　维品质。教学中要注重这种思想方法的渗　数精确地分析形，或以形直观地表示数，正　１　１、　透，对蕴涵在数学知识中的数形结合思想　如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，　（一　１　１１）　形少数时难入微”，可见数与形的结合在数　适时地予以揭示和提炼，使学生在获取数　学知识的同时，还能体会数学思想方法，使　学生更好地把握数学本质，提高学生分析　问题与解决问题的能力以及开拓创新的能　，　，　＝，　ｙ　力。　参考文献　ｏ　一　【ｌ】中华人民共和国教育部．普通高中数学　课程标准（实验）【Ｓ】．北京：人民教育出版　社，２００３．　／　图１　图２　①作者简介：李继超：获得北京师范大学教育硕士学位，研究方向：学科教学（数学）。　ｏ４　中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ