正交多项式在数学中的应用

正交多项式是数学中一个重要的概念。正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。

一、正交多项式的定义

正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。具体的定义可以表示为：

在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：

1.φn(x)是n次多项式；

2.φn(x)的首项系数为1；

3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：

∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）

4.对于任意n，有以下归一化公式：

∫a^b φn(x)^2 dx=1

这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。

另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。

二、正交多项式的性质

正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。

1.正交多项式是线性无关的。

对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为

P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)

其中，a0,a1,…,an都是常数。因此，正交多项式是线性无关的。

2.正交多项式是最佳近似多项式。

对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是

Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)

其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。

3.正交多项式满足递推关系。

对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：

φ0(x)=1

φ1(x)=x-b0

φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)

其中，bn和cn是常数。这些递推公式使得我们可以通过一些基本的初始值和常数，构造出所有的正交多项式。

三、正交多项式的应用

正交多项式在实际中的应用非常广泛，下面介绍其中的几个实际应用。

1.物理学

正交多项式在物理学中具有很多应用，如解决求解偏微分方程、描述量子力学中的谐振子和氢原子等等。

2.统计学

正交多项式在统计学中也有着重要的应用，如最小二乘估计、方差分析等等。

3.工程学

在振动、动力学、弹性力学等工程学问题中，正交多项式也有着广泛的应用。

4.经济学

正交多项式在经济学中的应用也非常重要，在计算金融期权定价、处理时间序列数据、消费者行为预测等方面都有着重要作用。

总之，正交多项式是数学中一个重要的概念，它具有许多的性质和应用。它们的广泛应用使得它们成为了数学领域中研究的热点问题。