精选高中模拟试卷
松原市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（ ） A．
B．20
C．21
D．31
2． 半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A．
πR3
B．
πR3
C．
πR3
D．
πR3
3． 设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f（x）的性质叙述正确的是（ ）
A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间 C．m=±1
D．最小值为﹣3
=（ ）
4． 已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则
A．﹣1
A．﹣i B．i C．1 A．8
B．1
B．2 D．﹣1
D．﹣1
C．﹣5 D．﹣3
5． 已知复数z满足：zi=1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（ ） 6． 已知函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，则a的值等于（ ）
C．5
7． 已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 2 D． ﹣2
8． 设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ） A．a2+b2 B．2ab C．a
D．
9． 设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a42(a2a3)，则 A．
S7（ ） a4714 B． C．7 D．14 45【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，意在考查运算求解能力.
10．已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ ）
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A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
11．已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等于（ ）
A．2017 B．﹣8 C．
D．
12．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ． 14．设函数
则
______；若
，
，则
的大小
关系是______．
15．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）． 16．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是 ．
17．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为
，
），（3，
），则O点到直线AB
13，则|a2b| ． 318．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 ．（用区间表示）
三、解答题
19．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；
（t为参数）．
（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．
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20．=ax在“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）（0，+∞）上单调递减”，命题q：对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
21．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α
22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求证：C是劣弧（Ⅱ）求证：BF=FG．
的中点；
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23．已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为﹣1和1，求实数b，c的值； 1）内，求实数b的取值范围．
24．已知m≥0，函数f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3． （Ⅰ）求实数m的值；
222
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a+b+c的最小值．
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，
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松原市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由an+1=an+2n，得an+1﹣an=2n，又a1=1， ∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1 =2（4+3+2+1）+1=21． 故选：C．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．
2． 【答案】A
【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=故选A
3． 【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数， 则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f（x）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B， 故选：B
，所以V=
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
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4． 【答案】C
【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值， 即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，
32
∵f（x）=ax+bx+cx+d， 2
∴f′（x）=3ax+2bx+c， 2
由f′（x）=3ax+2bx+c=0，
=﹣5，
得2+（﹣1）=﹣1×2=
=﹣2，
=1，
即c=﹣6a，2b=﹣3a，
22
即f′（x）=3ax+2bx+c=3ax﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），
则故选：C
=
=
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．
5． 【答案】D
【解析】解：由zi=1+i，得∴z的虚部为﹣1． 故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
6． 【答案】B
【解析】解：∵函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，令3x+2=2，解得x=0， ∴a=2×0+1=1． 故选：B．
7． 【答案】D
【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D． 8． 【答案】A
，
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【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1 ∴∴2b＞1
∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a
222
又a+b﹣2ab=（a﹣b）＞0 22
∴a+b＞2ab
22
∴最大的一个数为a+b
故选A
9． 【答案】C.
)化简得a1d，∴【解析】根据等差数列的性质，a42(a2a3)a13d2(a，1da12dS7a47a176d14d27，故选C.
a13d2d10．【答案】C
2222
【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，
求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=故直线和圆C相交， 故选：C．
＜=2，
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即f（x+4）=f（x）， 即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）， ∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x， ∴f（1）=f（﹣1）=， ∴a2017=f（1）=， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
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12．【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
．
二、填空题
13．【答案】 ﹣2 ．
n+1*
【解析】解：∵曲线y=x（n∈N），
n
∴y′=（n+1）x，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x
n+1
*
（n∈N）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为xn=∵an=lgxn，
∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99
，
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．
14．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】
，因为，所以
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又若所以：
，结合图像知：。
故答案为：， 15．【答案】 180
【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cna
2
可知r=2，所以系数为C10×4=180，
rn﹣rr
b可设含
x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
16．【答案】
【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣
），
，故直线AB的方程为 y﹣
=
，
=﹣
（x﹣3），即x+3
y﹣12=0，
，
），（3，
），可得A、B的直角坐标分别是（3，
．
所以O点到直线AB的距离是故答案为：
．
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
17．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|2，ab1， 3(a2b)2|a|24ab4|b|22．
18．【答案】 （1，+∞）
2
【解析】解：∵命题p：∃x∈R，x+2x+a≤0，
当命题p是假命题时，
2
命题￢p：∀x∈R，x+2x+a＞0是真命题；
即△=4﹣4a＜0， ∴a＞1；
∴实数a的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．
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【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 简曲线C2的参数方程为普通方程； 股定理，即可得到最小值．
22
可化为直角坐标方程x+y﹣2x+4y+4=0， 22
即圆（x﹣1）+（y+2）=1；
【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化
（t为参数），
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾
2
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，
曲线C2的参数方程为
可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小． 则由点到直线的距离公式可得d=则切线长为
=
．
．
=4，
故这条切线长的最小值为
【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题． 20．【答案】
【解析】解：若p为真，则0＜a＜1； 若q为真，则△=4a﹣1≤0，得
2
，
又a＞0，a≠1，∴．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假． ①当p为真，q为假时，由
；
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②当p为假，q为真时，综上，a的取值范围是
．
无解．
【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的． 21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）令
，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0． 故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减． 故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x． 所以
，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）． （Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）． 又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．
22．【答案】
【解析】解：（I）∵CF=FG ∴∠CGF=∠FCG ∴AB圆O的直径 ∴∵CE⊥AB ∴∵
∴∠CBA=∠ACE ∵∠CGF=∠DGA ∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点
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（II）∵
∴∠GBC=∠FCB ∴CF=FB
同理可证：CF=GF ∴BF=FG
【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
，解得b=0，c=﹣1．
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
∴，即．解得＜b＜，
即实数b的取值范围为（，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题． 24．【答案】
∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
2222222
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a+b+c）[1+（﹣2）+1]≥（a﹣2b+c），
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2|
∵a﹣2b+c=m=1，∴当
，即
，
222
时取等号，∴a+b+c的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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