1、我们知道，正方形的四条边相等，四个角也都等于90°．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=；下列结论： ①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②⑨④ ．正确结 2、如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=6，以点O为原点，OA、OC所在直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）若点A的坐标为（0，6），则B、C两点的坐标分别为______和______． （2）若在y轴上存在一点M，使△ACM的面积是长方形ABCO面积的，则点M的坐标为______． （3）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A）；P、Q两点同时出发，设移动时间为t秒，则： ①AQ=______，CP=______（用含t的式子表示）； ②在它们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 3、给出用线段长为2，4为边构成凸四边形以下4种． 问题1 问题2 问题3 问题4 AB=4，BC=2，CD=2，AB=4，BC=2，CD=2，AB=4，BC=4，CD=2，条件 AB=4，BC=2，CD=4，DA=2 DA=4 DA=2 DA=4 图形 （1）①当∠A=60°时，直接写出问题1，3中四边形ABCD的面积？ ②在问题2中，∠A能否等于60°？说明理由． ③在问题4中，当∠A=60°时，求四边形ABCD的面积？ （2）①在4个问题的条件中，分别写出他们4个数据的极差 ②在4个问题中，分别写出他们四个数据的方差？ （3）有2组数据：（Ⅰ）a? a? a? 3（Ⅱ）a? 3? 3? 3，请比较这2组数据的方差的大小？ 4、如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F． （1）试用含t的式子表示AE、AD的长； （2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由； （3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？ （4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形?AEA′D为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由． 5、一张等腰直角三角形纸片ABC，∠A=90°，AB=AC=2，另有一张等腰梯形纸片DEFG，DG∥EF，DE=GF．现将两张纸片叠放在一起（如图1），此时梯形的下底EF与BC边完全重合，梯形的两腰分别落在AB，AC上，且D，G恰好分别是AB，AC的中点． （1）求BC的长及等腰梯形DEFG的面积； （2）实验与探究（备用图供实验、探究使用） 如图2，固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1厘米的速度沿射线BC方向平行移动，宜到点E与点C重合时停止，设运动时间为x秒时，等腰梯形平移到D1EFG1的位置． ①当x为何值时，四边形DBED1是菱形，并说明理由． ②设△ABC与等腰梯形D1EFG1重叠部分的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式． 6、如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于点F，以CF为邻边作平行四边形ECFM． （1）求证：四边形ECFM为菱形； （2）如图2，当∠ABC=90°时，点G为EF中点，求∠BDG的度数； （3）如图3，当∠ABC=120°时，求∠BDM的度数． 8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=4cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿线段BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，沿线段AD的方向以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）求DQ的长（用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，△PQD面积等于12cm2？ （3）是否存在点P，使△PQD是直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 9、如果四边形一条对角线所在直线上有一点，它到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这个点为这个四边形的准等距点．? （1）正方形ABCD的对角线AC上有没有准等距点？请简单说明理由； （2）请回答长方形（正方形除外）、菱形、等腰梯形的准等距点的个数（不必证明）； （3）如图所示，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，证明点P是四边形ABCD的准等距点． 11、如图1，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图2，点P是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF． （1）求证：四边形ABCD为正方形； （2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，请说明理由； （3）求证：BE2+DF2=EF2． 12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 13、邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形． 探究：（1）两边分别是2和3的矩形是______阶矩形； （2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形． （3）操作、计算： ①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值； ②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形． 14、如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F． （1）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由； （2）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？ （3）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形?AEA′D为菱形？ 15、
如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，设运动时间为t（s）． （1）当0＜t＜6时，判断四边形BQDP的形状，并说明理由； （2）当0＜t＜6时，求四边形BQDP的面积S（cm2）与运动时间t（s）的函数关系； （3）四边形BQDP可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由． 16、
四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点． （1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点． （2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹不要求写作法）． 17、
如图，在矩形ABCD中，，AD=3，点M是边BC上的动点（点M不与点B，点C重合），过点M作直线MN∥BD，交CD边于点N，再把△CMN沿着动直线MN对折，点C的对应点是P点，设CM的长度为x． （1）求∠CMN的度数； （2）当x取何值时，点P落在矩形ABCD的对角线BD上？ （3）当x在什么范围内取值时，点P落在△ABD的内部？ （提示：对（2）、（3）两问在备用图中画出满足条件的图形，再解答） 19、
如图，平面直角坐标系中，直角梯形OABC的点O在坐标原点B（15，8），C（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，设运动时间为t秒． （1）在t=3时，M点坐标______，N点坐标______； （2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？ （3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说出理由． 20、
已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）． （1）求证：BM=DN； （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形； （3）在（2）的条件下，如图③，若AB=4cm，BC=8cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AMB和△CDN各边匀速运动一周．即点P自A→M→B→A停止，点Q自C→D→N→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 21、
如图，在矩形ABCD中，AD=AB，AE平分∠BAD，DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列结论： ①∠DEA=∠DEC；②BF=FH；③OE=OD；④BC-CH=2EF．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 24、如图，在某小区的休闲广场有一个正方形花园ABCD，为了便于观赏，要在AD、BC之间修一条小路，在AB、DC之间修另一条小路，使这两条小路等长．设计师给出了以下几种设计方案： ①如图1，E是AD上一点，过A作BE的垂线，交BE于点O，交CD于点H，则线段AH、BE为等长的小路； ②如图2，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB点G，交CD于点H，则线段GH、BE为等长的小路； ③如图3，过正方形ABCD内任意一点O作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路； 根据以上设计方案，解答下列问题： （1）你认为以上三种设计方案都符合要求吗？ （2）要根据图1完成证明，需要证明△______≌△______，进而得到线段______=______； （3）如图4，在正方形ABCD外面已经有一条夹在直线AD、BC之间长为EF的小路，想在直线AB、DC之间修一条和EF等长的小路，并且使这条小路的延长线过EF上的点O，请画草图（加以论述），并给出详细的证明． 25、已知：直线l1与直线l2平行，且它们之间的距离为2，A、B是直线l1上的两个定点，C、D是直线l2上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=5，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A1BC． （1）求四边形ABDC的面积． （2）当A1与D重合时，四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？ （3）当A1与D不重合时 ①连接A1、D，求证：A1D∥BC； ②若以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）2的值． 26、如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB=4． （1）求正方形ABCD的周长； （2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE=DG． （3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H，设BH与AD的交点为M． ①求证：BH⊥DG； ②当AE=时，求线段BH的长（精确到）． 27、如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，连ME；下列结论： ①∠BEC=60°；②MA+MD=ME；③若BD=，则EC=．其中正确的结论（ ） A．只有①②B．只有②③ C．只有①③ D．①②③ 29、如图，四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，连接AE，M是AE的中点，连接MD、MF．探究线段MD、MF的关系，并加以说明． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，你可以从下列（1）、（2）中选取一个补充已知条件，完成你的证明． 注意：选取（1）完成证明得10分；选取（2）完成证明得7分． ①如图2，正方形CGEF的对角线CE与正方形ABCD的边BC在同一条直线上； ②如图3，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，且CF=2AD． 30、 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图（1）连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状并说明理由，再求AF的长； （2）如图（2）动点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以每秒5cm的速度沿A→F→B→A运动，点Q以每秒→4cm沿E→C→D→E匀速运动一周，一点到达终点另一点也中止运动．若运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 31、如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S． （1）求S关于t的函数关系式； （2）t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形． 33、如图：矩形OABC的顶点O为原点，点E在BC上，把△ABE沿AE折叠，使点B落在OC边的点D处，点A、C的坐标分别为（8，0），（0，10） （1）直接写出B、D两点的坐标：B（______，）???D（______，） （2）在线段AE上存在一点P使P到B的距离等于点P到OC的距离，这个相等的距离是______，并说明理由． （3）如图2：动点M，N同时从点O出发，点M以每秒8个单位长度的速度沿折线OAD按O→A→D的路线运动，点N以每秒3个单位长度的速度沿折线ODA按O→D→A的路线运动，当M，N相遇时，它们都停止运动．设M、N同时出发t秒时，△MON的面积是S，写出S与t的函数关系式（不需要写自变量取值范围，直接写出答案） ． 34、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B． （1）求点B的坐标； （2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ=90°； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37、
如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是????． 38、
如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F． （1）当点G在线段BC上时，如图1，求证：DE-BF=EF； （2）当点G在线段CB的延长线上时，如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是______； （3）在（2）的条件下，连接AC，过F作FP∥GC，交AC于点P，连接DP，若∠ADE=30°，GB=求DP的长． ， 40、已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF． （1）当DG=2时，求证：∠EHG=90°；（2）求证：∠AEH=∠CGF；（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积． 45、
[阅读] 在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）． [运用] （1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______． （2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）、D（1，-1）四点，构成平行四边形的顶点．在该坐标系中，是否还存在一点与点A、B、C构成平行四边形的顶点？若不存在，请说明理由；若存在，请写出该点的坐标． 46、
如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（4，4），过点B作BA⊥x轴、BC⊥y轴，垂足分别为点A、C．点P为线段BC上的一点（不与点C、B重合），点D在OC上，点E在AB上，将四边形OAED以直线DE为对称轴翻叠，使点O落在P处，点A的对应点为点F，PF交AB于Q，连接OP． （1）求证：∠OPC=∠OPF； （2）设点P坐标为（m，4），△PBQ的周长为n，当点P在边CB上移动时，△PBQ的周长是否发生变化？若不变化，求出n的值；若变化，求出n与m的函数关系式． 47、
如图1，四边形ABCD中，AD⊥AB，AB∥CD，AB=15，AD=12，DC=10，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动；同时动点Q从点出发，以每秒2个单位的速度向终点B运动．连接PQ，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形CPQB为平行四边形？ （2）如图2所示，若M点是射线AB上的一个动点，且自B点出发，以每秒2个单位的速度向终点向右运动，若M与P、Q同时出发，连接PM，当t为何值时，△PQM为等腰三角形？（请直接写出结果） 49、
如图1，点G是正方形ABCD的边DC上任意一点（不与D、C两点重合），连接AC、AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E． （1）试判断线段DE、BF的长的大小关系，说明理由； （2）试探究线段EF与DE、BF的长有何等量关系，并给予证明； （3）如本题图2，若E′是点E关于直线AC的对称点，连接BE′，试探究DG、AG满足什么条件时，射线BE′是∠FBC的角平分线？为什么？ 50、
如图，四边形ABCD是任意四边形，过点A，C作BD的平行线，再过点B、D作AC的平行线，设四条直线的交点为P，Q，M，N． （1）按要求补全图形，并判断四边形PQMN的形状． （2）图中有多少个平行四边形？设四边形ABCD的面积为4，则四边形PQMN的面积为多少？ （3）如果AC⊥BD，则四边形PQMN是什么四边形？若AC=BD，则四边形PQMN是什么四边形？若四边形PQMN是正方形，则AC与BD应满足什么条件？ 51、
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm． （1）求AC的长； （2）设M为AC上一动点， ①当M运动至何处时，线段DM的长度最短，试在图1中画出符合要求的线段DM，并求此时DM的长； ②如图2，当点M运动至AC中点处时，另一动点N从点C出发，以每秒1cm的速度沿CB向点B运动，设点N的运动时间为t秒．求当t?为何值时，将矩形ABCD沿直线MN折叠，可使得点C恰与点A重合？ 53、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P，连接MP．过点P作PQ⊥AD交AD于点Q，且PQ=AN，AQ=PN．已知动点运动了x（0＜x≤2）秒，且PN的长为．在这个运动过程中，当动点运动了秒时，MP=MA，则△MPA为等腰三角形．请问是否存在其它的x值使△MPA为等腰三角形？如果存在请求出x的值；如果不存在，请说明理由． 57
如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，∠BOC=60°． （1）移动点A至如图1，四边形ABCD是平行四边形时（3）移动点A至如图2，四边形ABCD是梯形时，且AD∥BC，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，请证明你的结论； （4）移动点A至如图3，四边形ABCD中，AD与BC不平行时，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，不必说明理由． 如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，∠BOC=60°． （1）移动点A至如图1，四边形ABCD是平行四边形时，BC=5，试写出AC的长度； （2）在（1）的条件下，求证：AC=AD+BC； （3）移动点A至如图2，四边形ABCD是梯形时，且AD∥BC，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，请证明你的结论； （4）移动点A至如图3，四边形ABCD中，AD与BC不平行时，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，不必说明理由． 58
我们在小学学过：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，并且对边互相平行．将正方形ABCD的四个顶点分别放在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），如图． （1）求证：h1=h3； （2）设正方形ABCD的面积为S，小明写出了等式：S=（h3+h2）2+h12，请你判断是否正确，并说明理由； （3）若h1+h2=1，当h1变化时，正方形ABCD的面积S随h1的变化而变化．试求出S与h1之间的函数关系式，并写出自变量h1的取值范围． 60
如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起， 于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′． 【解决问题】请你通过计算求出图2中∠BPC的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2． （1）∠BPC的度数为______；? （2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为______ 61如图，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6，E为CD边中点，点E到BD的距离等于OC，点P从点A开始沿AC方向以每秒2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒，当点P在线段AO上运动时， ①请用含x的代数式表示OP的长度； ②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ③是否存在时刻x，四边形PBEQ的面积为13？若存在，求出满足条件的x的值；若不能，请说明理由． 62 如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G． （1）求证：BF=AE； （2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写结论） （3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF：AD=4：3，求S四边形MNPQ：S正方形ABCD． 63
如图，如图正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH⊥AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论： ①∠AFC=105°；②GH=2EF；③其中正确的有（ ） ；④ A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④ 65
如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，E在矩形ABCD的边AD上，点F在矩形ABCD的边BC上，且BF=5，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，BF的对应线段FB′交边AD于点G． （1）判断△EFG是何种特殊三角形，并证明你的结论． （2）在折叠过程中，不重叠部分（阴影图形）的周长之和p会发生变化吗？若不变化，请求出p的值；若变化，请说明理由． （3）当△EFG是锐角三角形时，求AE的取值范围． 66
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC-CB-BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0），则当t=????秒时，四边形BQDE为直角梯形． 67
在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中． （1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN． ①求证：DF=CN； ②连接AC．求DH：HE：EF的值； （2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点，假设点E从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，同时点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，运动时间为t（t＞0），连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由． 68
如图，在矩形ABCD中，点O是边AD上的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE=OF． （1）当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案） （2）若矩形ABCD的周长为20，四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在，请求出最大值；如果不存在，请说明理由． （3）若AB=m，BC=n，当m、n满足什么条件时，四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由） 69
如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OBCD的顶点B、D分别在x、y轴的正半轴上，点A在x负半轴上，若?OD=3AO，AC=10． （1）求点A的坐标； （2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向终点A运动，点P沿线段AB向终点B运动，Q点的速度为每秒5个单位长度，P点的速度为每秒4个单位长度，过P点作x轴的垂线交AC于点R，设线段QR的长为y，运动时间为t（t＞0）秒，求y与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当△PQR是以RQ为腰的等腰三角形时，求出t的值． 70
如图，四边形ABCD、A1B1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形A1B1C1D1可以绕中心O旋转，正方形ABCD静止不动． （1）如图1，当D、D1、B1、B四点共线时，四边形DCC1D1的面积为_______； （2）如图2，当D、D1、A1三点共线时，请直接写出=______； （3）在正方形A1B1C1D1绕中心O旋转的过程中，直线CC1与直线DD1的位置关系是______，请借助图3证明你的猜想． 71如图，在直角梯形ABCF中，AF∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，O是对角线AC的中点，OE⊥OF，过点E作EN⊥CF，垂足为N，EN交AC于点H，BO的延长线交CF于点M，则结论：①OE=OF；②OM=OH；③；④BC=2AF，其中正确结论的个数是（ ） A．1B．2C．3D．4 72
如图，矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运动，设点P运动的时间是t秒，以AP为边作等边△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧）． （1）当t为何值时，Q点在线段DC上？当t为何值时，C点在线段PQ上？ （2）设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在△BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （3）设△APQ与矩形ABCD重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式． 73
如图，已知，四边形ABCD为菱形，点E、F分别是线段DC和BC延长线的点，AE与BC交于点M，AF与CD交于点N，且∠BAD=2∠EAF． （1）当∠B=60°，如图1，求证：CE?CF=AB2； （2）当∠B=90°，如图2，则线段CE、CF、AB之间的数量关系是______； （3）在（1）的条件下，若CM：CF=1：6，S，求tan∠F的值． 74
线段AB、CD交于点O，∠ACE=∠AOD，连接ED、EB、CB、DB． （1）如图1，当∠ACE=∠AOD=90°，AC=CE，AB=CD时， ①求证：△ABC≌△CDE； ②顺次连接EC、EB、BD、CD的中点M、N、P、Q，得到四边形MNPQ，请判断四边形MNPQ的形状，并说明理由．（2）如图2，当∠ACE=∠AOD≠90°，但扔满足AC=CE，AB=CD时，重复（1）中②的操作，请你直接写出四边形MNPQ的形状． （3）如图3，当∠ACE=∠AOD=90°.形MNPQ的形状． =≠1时，重复（1）中②的操作，请你直接写出四边 75
如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线D-C-B方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动． （1）若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？ （2）动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN过此交点，请求出运动的时间；如果线段MN不过此交点，请说明理由． 76
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在边BC上运动，过点P作PE⊥AB于点E，点D为边AC上一动点，连接PD、DE，以PD、DE为边作平行四边形PDEF，设BP=m （1）用m的代数式表示PE的长； （2）当m=5时，问：是否存在点D，使顶点F落在边BC上？若存在，试求CD长；若不存在，请说明理由； （3）若四边形PDEF为菱形，且F落在边BC上，试求m的值． 78
已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发向D点运动． （1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BM⊥CM； （2）如图2，当a=，b=4时，点M在运动的过程中，是否存在BM⊥CM？若存在，试确定此时M点的位置；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当b＜2a时，点M在运动的过程中，是否存在BM⊥CM？若存在，试确定此时M点的位置；若不存在，请说明理由． 79
如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．若P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间． （1）当t=5时，△PAQ的面积=______cm2； （2）当t=______时，△PAQ是等腰直角三角形； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的△PAQ与△ABC相似？ 80
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，若BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，在线段AD上以每秒2个单位长度的速度向点A运动；动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．现点P，Q分别从点D，B同时出发，当点P运动到A点时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形； （2）当t为何值时，四边形ABQP是直角梯形； （3）是否存在以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④⑤．其中正确的是????． ；81
Rt△ABC中，AC=BC，P为直线AB上一点，以CP为边作正方形CPED，连CE． （1）如图1，当P为AB的中点，A、E重合时，BP2、AP2、CE2之间的关系是______． （2）如图2，当P在AB上运动时，探究BP，AP，CE之间的关系． （3）如图3，当P在AB的延长线上时，作出图形，并指出②中结论是否成立？（不要求证明） 82
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=4，BC=3．点M从点D出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动．同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P．连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒． （1）填空：AM=______；AP=______．（用含t的代数式表示） （2）t取何值时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的； （3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，请问是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？说明理由． 83
如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，连结BE． （1）求证：∠BAE=2∠CBE； （2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论； （3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长______ 84
如图1-3是由边长为1的小正方形组成的网格，点A、B、C、D都在网格的格点上，AC、BD相交于点O． （1）填空：如图1，当AB=2，连接AD．tan∠AOD=______；如图2，当AB=3，画AH⊥BD交BD的延长线于H点，则AH=______ 85
已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4）． （1）如图1，连接BO、BC、AB． ①填空：AC的长为______，AB的长为______ 86
如图，正方形ABCD的边长为6cm，P、Q分别是BC、AD边上的两个动点，点P从点B出发以3cm/s的速度向点C运动，点Q从点D出发以4cm/s的速度向点A运动．P、Q两点同时出发，当Q到达A点时，Q、P点同时停止运动．过Q作QF⊥BC于F，交AC于E，连接EP．设运动的时间为x（s），△EPC的面积为y（cm2） （1）求y（cm2）与x（s）的函数关系式； （2）当x为几秒时，△EPC的面积有最大值，最大值是多少cm2； （3）当x为几秒时，△EPC是等腰直角三角形． 87
探索发现： ??? 已知矩形ABCD的面积是10，P是AD边所在直线上一点 （1）如图1，当点P与点D重合时，S△PBC=______； （2）如图2，当点P是AD边上不与A、D两点重合的一点时，S△PBC=______； （3）如图3，当点P是AD（或DA）延长线上一点时，S△PBC=______． 联系拓展： ?? 如图4，矩形ANCD的面积是10，E、F分别是BC边和DC边延长线上的点，连接EA、ED、FA、FB，求图中阴影部分的面积，并简要说明理由． 解决问题： ?? 如图5，矩形ABCD中，EF与GH交于点O，EF与CH把矩形分成四个区域，其中SAEOG=700m2，SEBHO=600m2，SOHCF=500m2，求图中阴影部分的面积． 题88
如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点C运动，EM、CD的延长线相交于G，设运动时间t秒， （1）求△AEM的面积S1（cm）与时间t（秒）之间的函数关系式； （2）求△CGF的面积S2（cm）与时间t（秒）之间的函数关系式； （3）当t为何值时，GF⊥AD？ 22
在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A?B?C向终点C运动，连接DM交AC于点N． （1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：求证：△ABN≌△ADN； （2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形． 90如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F． （1）求证：点F为AC中点； （2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由； （3）若BC=3，AC=4，求四边形ADCE的面积； （4）若想四边形ADCE为正方形，△ABC应添加条件______． 91
如图1，正方形ABCD，△AMN是等腰Rt△，∠AMN=90°，当Rt△AMN绕点A旋转时，边AM、AN分别与BC（或延长线图3）、CD（或延长线图3）相交于点E、F，连接EF，小明与小红在研究图1时，发现有这么一个结论：EF=DF+BE；为了解决这个问题，小明与小红，经过讨论，采取了以下方案：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，得到图2，请你根据小明、小红的思路，结合图2，解决下列问题： （1）证明：①△ADF≌△ABG；??②EF=DF+BE； （2）根据图（3），①结论EF=DF+BE是否成立，如不成立，写出三线段EF、DF、BE的数量关系并证明．②若CE=6，DF=2，求正方形ABCD的边长． 92
如图1，在正方形ABCD中，∠ECF的两边分别交边AB、AD于点E、F，且∠ECF=45°． （1）①求证：BE+DF=EF； ②运用①的结论解决下面问题：如图2，在直角梯形ABCF中，AF∥BC（BC＞AF），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠FCE=45°，BE=，EF=，求梯形ABCF的面积； （2）在图1中，对角线AC、BD相交于点O，BD与CF分别交于点N，连接EN得到图3．当∠ECF绕点C旋转时，△ECN是什么特殊的三角形？请说明理由． 93
我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”： （1）如图（1），在四边形ABCD中，BD为其中一条对角线，请你用尺规作图的方法找出BD的中点O； （2）如图（2），在四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，连结OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由； （3）如图（3），AE为四边形ABCD一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）． 94
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=4cm，BC=2cm，AB=3cm．从初始时刻开始，动点P、Q?分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止．设运动时间为xs，△PAQ的面积为y?cm2．（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1）当x=2s时，y=______cm2；当x=s时，y=______cm2； （2）当动点P在线段BC上运动，即3≤x≤5时，求y与x之间的函数关系式，并求出y=时x的值； （3）当动点P在线段CE上运动，即5＜x≤8?时，求y与x之间的函数关系式； （4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值． 95
如图，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=14cm，AD=15cm，BC=24cm，点P?从A出发，沿AD边向D运动，速度为1cm/s，点Q从C出发，沿CB边向B运动，速度为2cm/s，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动．从运动开始， （1）经过多少时间，四边形PQCD是平行四边形？ （2）经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？ （3）在此过程中，四边形PQCD的面积是否有最大值？若存在，并求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 96
如图，已知有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度匀速向B、C、D、A移动． （1）求证：四边形PQEF是正方形． （2）PE是否总过某一点，并说明理由． （3）四边形PQEF的顶点在何处时，其面积有最小值和最大值，并求其最小值和最大值． 97
阅读并完成填空． 九年级数学兴趣小组展示了他们小组探究的过程和发现的结果，内容如下： （1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，当M、N改变位置且保持BM=AN时，∠NOC保持不变，请猜测∠NOC的度数：∠NOC=______度． （2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=DM，且∠DON=______度． （3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=EM，且∠EON=______度． （4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______． 98
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设两动点运动时间为t秒． （1）求出当t=1秒时点P的坐标； （2）当t为何值时，△MPA的面积为； （3）当△MPA为等腰三角形时，求出此时两动点运动的时间． 99
如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，DM⊥DC交AB于点M，DF平分∠MDC交BC于点F，交MC于点E，连AE，以下说法：①BC-AD=AM；②∠ADM+∠AEM=45°；③若AD=3AM，则BF=AD．其中正确的是（ ） A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③ 100 如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形ABCD的边长为1cm，FG=4cm，GH=3cm，设正方形移动的时间为x秒，且0≤x≤． （1）直接填空：DG=______cm（用含x的代数式表示）； （2）连结CG，过点A作AP∥CG交GH于点P，连结PD． ①若△DGP的面积记为S1，△CDG的面积记为S2，则S1-S2的值会发生变化吗？请说明理由； ②当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长． 101
如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=16，点E在AD边上，点F在BC边上，EF⊥AC，垂足点O是对角线AC的中点，连接AF、CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）点P在线段AC上，且2AE2=AP?AC，在图中画出点P的位置，说明画图方法，并求线段CP的长； （3）动点M、N分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点M自A→F→B→A停止，点N自C→D→E→C停止．在运动过程中，点M的速度为每秒5个单位长度，点N的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 102
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB=2CE=3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．?下列结论： ①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF=2∠PFE；④其中正确的结论（ ） ． A．只有①②③B．只有①②④C．只有③④D．①②③④ 103
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=，，点E是AB边上一点，BE=3，点P是BC边上的一动点，连接EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射线PF与AD边交于点F，与CD的延长线交于点G，设BP=x，DF=y． （1）求BC的长； （2）试求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）连接EF，如果△PEF是等腰三角形，试求BP的长． 104
如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中： ①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=其中正确的是（ ） ；④PE+PF=PC． A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③ 105
如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，如果△AEF是等腰三角形时．将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为????． 106如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD?的交点为点O，AC、EF的交点为点G．如果CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中，正确的序号是????． ①EF⊥AC；?②BD∥EF；③连接FO，则FO∥AB；④S四边形AECF=AC?EF；⑤EF=． 107
如图所示，E是边长为12的正方形ABCD中CD上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置，设DE=t （1）用含t的代数式表示：△ABF的面积为S1，△CEF的面积为S2和△AEF的面积为S； （2）求证：①S3＞S2?，②S3≥2S1； （3）若CE、DE的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+3m-1-=0的两个实数根，求AF的值． 108
如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BC=nBE，连接AE，过B点作BM⊥AE，交于AE于点M，交于点N，过E点作EF⊥BC交F，交BN于G． （1）如图①，当n=2时，求证：EG=FG； （2）如图②，当n=3时，求证：AN=3CN； （3）如图③，当n=______ 109
如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=6，AE=2，则下列结论中：①∠BGF=∠CFB；②DH=EH+FH；③结论正确的是（ ） ，其中 A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③ 110如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC． （1）求证：PG⊥PC，PG=PC； （2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，其他条件不变（如图②），（1）中的结论仍然成立，请你说明理由； （3）若图①中∠ABC=∠BEF=α（0＜α＜180°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，其他条件不变（如图③），判断PG与PC的位置关系和数量关系，并说明理由． 111
【图形变换的探究与猜想】 从特殊到一般，从全等到相似；求证线段的数量关系或位置关系．关键是第一问的全等的证明，发现全等的三角形，一般是利用ASA完成证明，从而得到需要证明的相似三角形（利用两边对应成比例且夹角相等）． 例：正方形ABCD，E为直线AB上任意一点，DF⊥DE交直线BC于点F，直线EF、AC交于点H，连接DH． （1）①如图1，当点E在边AB上时，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系； ②如图2，当点E在边AB的反向延长线上时，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系；写出你的结论并从①、②中任选一个证明； （2）如图3，若点E在AB边的延长线上，其它条件不变，完成图3，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系，直接写出你的结论，不需要证明； （3）如图4，若将图1中的正方形ABCD改为矩形ABCD为正方形，且AB=kAD，其它条件不变，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系，直接写出结论，不需要证明． 112
将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10． （1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标； （2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′； （3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围． 113
把边长为a的正方形ABCD和正方形AEFG按图①放置，点B、D分别在AE、AG上，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜45°）． （1）连接BE、DG，如图②所示，求证：BE=DG； （2）连接AF、BD，BC交AF于P，CD交AG于Q，连接PQ，如图③所示． ①当PQ∥BD时，求证：∠PAB=∠QAD； ②求证：旋转过程中△PCQ的周长等于定值2a． 114
【问题引入】 几个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小．他们该怎样排队才能使得总的排队时间最短？ 假设只有两个人时，设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟（显然T＞t），若拎着大桶者在拎着小桶者之前，则拎大桶者可直接接水，只需等候T分钟，拎小桶者一共等候了（T+t）分钟，两人一共等候了（2T+t）分钟；反之，若拎小桶者在拎大桶者前面，容易求出出两人接满水等候（T+2t）分钟．可见，要使总的排队时间最短，拎小桶者应排在拎大桶者前面．这样，我们可以猜测，几个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，要使总的排队时间最短，需将他们按水桶从小到大排队． 规律总结： 事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了______分钟，共节省了______分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 【方法探究】 一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法． 【实践应用1】 如图1在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？ 解析： （1）先假定N为定点，调整M到合适的位置使BM+MN有最小值（相对的），容易想到，在AC上作AN′=AN（即作点N关于AD的对称点N'），连接BN′交AD于M，则M点是使BM+MN有相对最小值的点．（如图2，M点是确定方法找到的） （2）在考虑点N的位置，使BM+MN最终达到最小值．可以理解，BM+MN=BM+MN′，所以要使BM+MN′有最小值，只需使______，此时BM+MN的最小值是______． 【实践应用2】 如图3，把边长是3的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的小正方形内（包括边界）分别取点P、R，于已知格点Q（每个小正方形的顶点叫做格点）构成三角形，则△PQR的最大面积是______，请在图4中画出面积最大时的△PQR的图形． 115
如图，已知正方形ABCD，E为对角线BD延长线上一动点，F为BC延长线上一点，AE⊥EF，BD=nDE，CD的延长线交AE于点K． （1）如图1，若n=2时，求证：BC=CF． （2）如图2，在（1）的条件下，求证：（3）若n=______ =； 116
如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，点B、C、D在一条直线上，点M是AE的中点，连接BM交AC于点P，连接DM交CE于点Q，直线PQ分别交AB、DE于F、G两点，下列结论： ①BM⊥DM；②四边形AFGE为平行四边形；③FP+GQ=PQ；④AF2=BF?DG． 正确的结论有（ ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 118
已知：在正方形ABCD中，点E是边AB上点，点G在边AD上，连接EG，EG=DG，作EF⊥EG，交边BC于点F（图1）． （1）求证：AE+CF=EF； （2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论； （3）在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK=8．△BEF的周长为24，求PK的长． 119
如图，把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE=BC=13，AB=24．三角板的一个45°角的顶点放在A处，且直角边AE在矩形内部绕点A旋转，在旋转过程中EM与CD交于点F． （1）如图1，试问线段DF与EF的有何数量关系？并说明理由； （2）如图1，是否存在△ECB为等腰三角形？若存在，求出DF的长；若不存在，说明理由．继续以下探索： （3）如图2，以AD为边在矩形内部作正方形ADHI，直角边EM所在的直线交HI于O，交AB于G．设DF=x，OH=y，写出y关于x的函数关系式． 如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点H在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是hM、hN，四边形MBNH的面积是S． （1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S=______，hM+hN=______ 120
已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．?①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值． 121
（1）自主阅读：如图1，AD∥BC，连接AB、AC、BD、CD，则S△ABC=S△BCD． 证明：分别过点A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC 由AD∥BC，可得AF=DE． 又因为S△ABC=×BC×AF，S△BCD=BC×DE 所以S△ABC=S△BCD 由此我们可以得到以下的结论：像图1这样，______． （2）结论证明：如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段），如，平行四变形的一条对角线就是平形四边形的一条面积等分线段． ①如图2，梯形ABCD中AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，则AP即为梯形ABCD的面积等分线段，请你写出这个结论成立的理由： ②如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否做出四边形ABCD的面积等分线（段）？若能，请画出面积等分线（用钢笔或圆珠笔画图，不用写作法），不要证明 122
如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论： ①BE⊥GD；②OH=BG；③∠AHD=45°；④GD=其中正确的结论个数有（ ） ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 123
如图，边长为2的等边△ABC，射线AB上有一点动P（P不与点A、点B重合），以PC为边作等边△PDC，点D与点A在BC同侧，E为AC中点，连接AD、PE、ED． （1）试探讨四边形ABCD的形状，并说明理由． （2）当点P在线段AB上运动，（不与点A、点B重合），若BP=x，四边形APED的面积是否为定值呢？请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，若BP=x，△PDE的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出△PDE的面积的最小值，及取得最小值时x的取值． 124
如图，已知四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=∠B=90°．E为AB上一点，且DE⊥DC，DF平分∠EDC交BC于F． （1）请用尺规作图作出DF，保留作图痕迹，不要求写作法； （2）连EF，若tan∠ADE=，求EF的长； （3）在（2）的条件下，作DG⊥BC于G，连接AG，交DE于M，则MA的长为______ 126
（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系； （2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD． 求证：①FG+BE≥BF； ②∠HGF=∠HDF． 127
如图1，在矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在边NP，PQ，QM，MN上，当∠1=∠2=∠3=∠4时，我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形． 已知：矩形ABCD的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题： （1）在图2中，点E，F分别在BC，CD边上，请作出矩形ABCD的反射四边形EFGH，并求出反射四边形EFGH的周长． （2）在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系． 128
如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F， ∠ABE?的平分线分别交AF、AD于点G、H． （1）若∠CBE=30°，AG=，求DH的长度； （2）证明：BE=AH+DF． 如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8． （1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH； （2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少； （3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少． 129
在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设=k． （1）证明：△BGF是等腰三角形； （2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？ （3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立． 利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围． 130
某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q． （1）求证：DP=DQ； （2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； （3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积． 131
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N． （1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长； （2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）连结AC，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段DN的长． 132
如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点E沿A→D方向在线段AD上运动，点F沿D→A方向在线段DA上运动，点E、F速度都是每秒2个长度单位，E、F两点同时出发，且当E点运动到D点时两点都停止运动，设运动时间是t（秒）．（1）当?0＜t＜2时，判断四边形BCFE的形状，并说明理由； （2）当0＜t＜2时，射线BF、CE相交于点O，设S△FEO=y，求y与t之间的函数关系式； （3）问射线BF与射线CE所成的锐角是否能等于60°？若有可能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 133已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）； 步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示） （1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ______QE（填“＞”、“=”、“＜”号）； （2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是（______，______）； ②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（______，______）； ③当PA=12厘米时，在图4中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标． 134
如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足为点E（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CD． （1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长； （2）如图2，设BC=x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当BC=16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k的值． 135
小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究： 问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积） 问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由． 实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到）（参考数据：sin66°≈，tan66°≈，≈） 拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（，）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值． 136
在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F． （1）如图1，求证：ME=MF； （2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长； （3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=______ 137
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立． （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF； （3）在（2）小题的条件下，AC与BG的交点为M，当AB=4，AD=时，求线段CM的长 139
我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）； （2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：=； （3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由） 140
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是______（填序号即可） ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． （2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程； （3）类比探究： （i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：______． （ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由． 141
已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点． （1）当BE=8时，四边形ABED是______梯形（填直角或等腰），此时梯形的面积是______． （2）当BE=______时，四边形ABED是矩形，此时矩形的面积是______． （3）①设BE=x，△BME的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 142
如图，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）试判断△PEF的形状，并请说明理由． （2）当0＜t＜时，设△PEQ的面积为y（cm2），求出y（cm2）与t（s）之间的函数关系式． 143
某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现： 在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是______（填序号即可） ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． ●数学思考： 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究： 在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：______． 144
正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE=EF，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC． （1）求证：△AEG是等腰直角三角形； （2）求证：AG+CG=； （3）若AB=2，P为AB的中点，求BF的长． 145
如图①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ． （1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）． （2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式． （3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值． 146
如图，正方形ABCD的边长为4，O是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EO并延长交射线CD于点F，过O作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG． （1）判断△GEF的形状，并说明理由； （2）设AE=x，△GEF的面积为y，求y关于x的函数关系式； （3）在点E运动的过程中，△GEF能否是等边三角形？请说明理由． 147
在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G． （1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由； （2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由； （3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度． 148定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理【解析】 如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 149
如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=，点P是边BC上的动点（点P不与点B、点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y． （1）求∠CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？ （3）求y与x之间的函数关系式． 150
如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°（0＜m＜180），得线段PQ． （1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°． ①探究m与n之间的数量关系； ②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围．（在备用图中探究） 151
如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD． （1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． （2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值． 152
如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF． （1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想． 153
一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形． （1）判断与操作： 如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由． （2）探究与计算： 已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值． （3）归纳与拓展： 已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）． 154
如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF． （1）如图?，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形； （2）如图?，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由； （3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由． 155
矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4． （1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由； （2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）． 156
阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积． 小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为______； （2）求正方形MNPQ的面积． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为______． 157、在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N． （1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN； （2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）； ①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由． ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由． 159
已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 160
在?ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°； （1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当△CPE≌△CPB时，?ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？ 161
若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形． （1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）． （2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示． ①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？ ②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比． 162
问题探究： （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由． 163
如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正五边形．它们分别是正五边形ABFKL、BCJIE、ACHGD，试探究： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（不需证明） （3）四边形ADEF一定存在吗？为什么？ 1
在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值； （3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值． 165
（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长． 166
我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识． 已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a． （1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明（见题答卡表格里的示例）；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个． 分割图形 ????? 分割或图形说明 示例： 示例： ①分割成两个菱形． ②两个菱形的边长都为a，锐角都为 60°． （2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长． 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形． （1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数． 167
如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1． （1）求证：∠APE=∠CFP； （2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，． ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值． 168
如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．动点P、Q同时以每秒1cm的速度分别从A、C出发，点P沿A→B→C的路线、点Q沿C→B→A的路线匀速运动，过点Q做QE⊥CD，交折线CDA于点E，设点P的运动时间为t，△PQE的面积为S． （1）求AB的长； （2）当t=3秒时，求S的值； （3）求S关于t的函数关系式； （4）直接写出△PQE为直角三角形时t的取值． 169
如图（1），四边形OABC是菱形，边长为4，∠AOC=60°，垂直于OC的直线l从O点出发，沿射线OC向右以每秒1个单位长度的速度平移，设直线l经过B点时停止运动，设运动时间为t（s），t＞0． （1）求出直线l经过A点时t的值； （2）△OMN的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围； （3）直线l开始运动的同时，如图（2），P点从B点出发，沿着BC-CO向O点以每秒2个单位长度的速度平移，则是否存在l的值，使△PMN为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 170
在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=，点P是AB上一动点，（点P不与点A、点B重合），过点P作PQ∥AD交BD于Q，连结CQ，设AP的长为x，四边形QPBC的面积为y． （1）计算平行四边形ABCD的面积； （2）写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围； （3）是否存在实数x，使得S△BPQ=S△BCQ？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由． 172
如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x． （1）当PQ∥AD时，x的值等于______； （2）如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式； （3）在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？ 173
如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线． （1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？ （2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？ （3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由． 174
如图，若正方形ABCD的四个顶点恰好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，设这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）． （1）求证：h1=h3； （2）现在平面直角坐标系内有四条直线l1、l2、l3、x轴，且l1∥l2∥l3∥x轴，若相邻两直线间的距离为1，2，1，点A（4，4）在l1，能否在l2、l3、x轴上各找一点B、C、D，使以这四个点为顶点的四边形为正方形？若能，请直接写出B、C、D的坐标；若不能，请说明理由． 175
已知：如图1，在DE上取一点A，以AD、AE为正方形的一边在同一侧作正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG、BE，则线段DG、BE之间满足DG=BE且DG⊥BE； 根据所给图形完成以下问题的探索、证明和计算： （1）如图2，将正方形AEFG绕A点顺时针旋转α度，即∠BAG=α?（0°＜α＜180°），那么（1）中的结论是否仍成立？若不成立请说明理由，若成立请给出证明． （2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，S是否有最大值？若有，求出S的最大值及相应的α值． 如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，点A、C分别在x轴、y轴上，点B（8，4），点P是BC的中点，点Q（x，0） （0＜x＜8）是x轴上一动点，QM⊥OP，QN⊥AP，M、N为垂足，连接MN． （1）四边形PMQN能否为正方形？若能，求出此时动点Q的坐标；若不能，说明理由； （2）设三角形△MQN的面积为S1，求S1与x的函数关系式，并确定S1的取值范围； （3）如图（2），设点P关于x轴的对称为点D，△MDN的面积为S2，求S2与x的函数关系式，并确定S2的取值范围． 176
阅读并解答下列问题： 问题一．如图1，在?ABCD中，AD=20，AB=30，∠A=60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP=______时，PB最小值为______ 178
如图，已知OABC是矩形，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OC=6cm，OA=8cm．点P从点A开始沿边AO向点O以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，C同时出发． （1）①若连接OQ、PB，试判断四边形OPBQ的形状，并说明理由； ②若连接PQ、OB，经过几秒？使得QP⊥OB； （2）点K在x轴上，经过几秒时？△PQK是等边三角形，并求点K的坐标． （3）点E为OC边上的一动点，试说明PE+QE的最小值是一个定值，并求出这个值． 179
如图，矩形ABCD中，AB=6m，AD=4m． （1）如图（1），矩形AEFN的顶点E，N分别在边AB和AD上，点F在矩形ABCD的内部，以点A为位似中心，作矩形AEFN的位似矩形AMPQ，且使得矩形的顶点P恰好落在对角线BD上；（不要求写作法） （2）若AM=4m，求矩形AMPQ的面积； （3）如图（2），在一个矩形空地ABCD上，王师傅准备修建一个矩形的花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为Sm2，求当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 180
在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）． （1）如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及并证明你的结论； 的值，（2）如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论． 181
正方形ABCD的边长为8，正方形EFGH的边长为3，正方形EFGH可在线段AD上滑动．EC交AD于点M．设AF=x，FM=y，△ECG的面积为s． （1）求y与x之间的关系； （2）求s与x之间的关系； （3）求s的最大值和最小值； （4）若放宽条件，使线段FG可在射线AD上滑动，直接写出s与x之间的关系． 182
已知：在四边形ABCD中，AB=4cm，点E、F、G、H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同时出发，以1cm/秒的速度匀速运动，在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S?cm2，运动时间为t秒（0≤t≤4）． （1）当四边形ABCD为正方形时，如图1所示， ①求证：四边形EFGH是正方形； ②在某一时刻，把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图所示的正方形A1B1C1D1，且它的面积为10cm．求中间正方形E1F1G1H1的面积． （2）当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，如图3所示．在运动过程中，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 2 184
如图，在矩形ABCD中，点M是AD的中点，AD=，CD=，直角∠PME绕点M进行旋转，其两边分别和BC、CD交于点P和点E，连接PE交MC于点Q． （1）判断线段MP、ME的数量关系，并进行证明； （2）动点P、E分别在线段BC和CD上运动时，设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式； （3）在（2）中，当y取最小值时，判断PE与BM的位置关系，并说明理由． 如图．己知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm． （1）求证：四边形ABCD是矩形： （2）若点E在对角线AC上，CE=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了x秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点E、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请写出所有可能的结果． 185
在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），点M在AB边上，且BM=5AM，连接OM，作MD⊥OM交BC于点D． （1）求证：OM=DM； （2）求直线MD的函数关系式； （3）若点M在线段AB上运动（不与点A，B重合）且始终保持MD⊥OM（点D在BC上）， ①设点D的横坐标为a，求a的最小值及此时点M的坐标； ②点N也是线段AB上的一个动点，点N与点M不重合，连接ON、DN时，也有DN⊥ON．设BN=n，BM=m，直接写出n与m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围． 187
如图，在矩形ABCD中，BD=10，AD＞AB，设∠ABD=α，∠DBC=β，已知sinα、sinβ是方程25x2-kx+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=4，设BE=x，△AEF的面积等于y． （1）求AB?AD的值； （2）求出y与x之间的函数关系式，并求y的最小值． 188
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F． （1）求证：△AEF≌△BEC； （2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由； （3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求tan∠ACH的值． 1
如图，已知正方形ABCD的边长为28，动点P从A开始在线段AD上以每秒3个单位长度的速度向点D运动（点P到达点D时终止运动），动直线EF从AD开始以每秒1个单位长度的速度向下平行移动（即EF∥AD），并且分别与DC、AC交于E、F两点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t?秒． （1）t为何值时，梯形DPFE的面积最大？最大面积是多少？ （2）当梯形DPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长． （3）△DPF能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的t的值；若不能，请说明理由． 190
193
如果一个三角形和一个矩形满足下列条件：三角形的一边与矩形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在矩形与三角形重合的边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．?如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．我们发现：当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个． （1）仿照以上叙述，请你说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； （2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”； （3）若△ABC是锐角三角形，且AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最大的矩形并说明理由．
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