限时训练(十九)
[圆（三）]
1.(10分)如图A3-1,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作☉O的切线交AB的延长线于点F,切点为G,连接AG交CD于K.
图A3-1
(1)求证:KE=GE;
(2)若KG2=KD·GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=2 ,求FG的长.
2.(10分)如图A3-2,以Rt△ABC的AC边为直径作☉O交斜边AB于点E,连接EO并延长,交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.
图A3-2
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长.
参
1
1.解:(1)证明:如图①,连接OG.
∵EG为切线,
∴∠KGE+∠OGA=90°, ∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°, 又∵OA=OG, ∴∠OGA=∠OAG, ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE, ∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由为:连接GD,如图②所示.∵KG2=KD·GE,即
= , ∴ =
,
又∵∠KGE=∠GKE, ∴△GKD∽△EGK, ∴∠E=∠AGD, 又∵∠C=∠AGD,
2
∴∠E=∠C, ∴AC∥EF.
(3)连接OG,OC,如图③所示,
∵sinE=sin∠ACH=,
∴设AH=3t,则AC=5t,CH=4t, ∵KE=GE,AC∥EF, ∴CK=AC=5t, ∴HK=CK-CH=t.
在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2, 即(3t)2+t2=(2 )2,解得t=
.
设☉O的半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t, 由勾股定理得:OH2+CH2=OC2, 即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r=∵EF为切线,
∴△OGF为直角三角形,
.
在Rt△OGF中,OG=r,tan∠OFG=tan∠CAH= = , ∴FG= ∠ =
=
.
2.解:(1)如图,连接FO,
3
∵F为BC的中点,AO=CO, ∴OF∥AB.
∵AC是☉O的直径,∴CE⊥AE. ∵OF∥AB,∴OF⊥CE, ∴OF所在直线垂直平分CE, ∴FC=FE,OE=OC,
∴∠FEC=∠FCE,∠OEC=∠OCE. ∵∠ACB=90°, 即∠OCE+∠FCE=90°, ∴∠OEC+∠FEC=90°, 即∠FEO=90°, ∴FE为☉O的切线. (2)∵☉O的半径为3, ∴AO=CO=EO=3. ∵∠EAC=60°,OA=OE, ∴△AEO为等边三角形. ∴∠EOA=60°,
∴∠COD=∠EOA=60°.
在Rt△OCD中,∠COD=60°,OC=3, ∴CD=3 .
4
在Rt△ACD中,∠ACD=90°, CD=3 ,AC=6, ∴AD=3 .
5