从一道题谈安培力做功与焦耳热之欧阳理创编

从一道题谈安培力做功与焦耳热

时间：2021.03.05 创作：欧阳理 在一次课堂教学中，遇到了如下的题：

【原题】相距L＝1.5 m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m1＝1 kg的金属棒ab和质量为m2＝0.27 kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上,如图(a)所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下,两处磁场磁感应强度大小相同。ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ＝0.75，两棒总电阻为1.8 Ω，导轨电阻不计。ab棒在方向竖直向上、大小按图(b)所示规律变化的外力F作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。 (1)指出在运动过程中ab棒中的电流方向和cd棒受到的安培力方向；

(2)求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；

(3)已知在2 s内外力F做功40 J，求这一

(a) (b) (c)

过程中，两金属棒产生的总焦耳热；

(4)判断cd棒将做怎样的运动，求出cd棒达到最大速度所需的时间t0，并在图(c)中定性画出cd棒所受摩擦力Ffcd随时间变化的图象。

【解析】

(1)在运动过程中ab棒中的电流方向向左(b→a)，cd棒受到的安培力方向垂直于纸面向里．

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

(2)经过时间t，金属棒ab的速率v＝at EBLv

此时，回路中的感应电流为I＝R＝R 对金属棒ab，由牛顿第二定律得 F－BIL－m1g＝m1a

B2L2

由以上各式整理得F＝m1a＋m1g＋Rat 在图线上取两点

t1＝0，F1＝11 N；t2＝2 s，F2＝14.6 N 代入上式得a＝1 m/s2B＝1.2 T

(3)在2 s末金属棒ab的速率vt＝at＝2 m/s 1

所由动能定理得WF－m1gx－W安＝2m1vt2 又Q＝W安

联立以上方程，解得

11

Q＝WF－mgx－2mvt2＝40 J－1×10×2 J－2×1×22J＝18 J (4)cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动． 当cd棒速度达到最大时，有m2g＝μFN 又FN＝F安，F安＝BIL EBLvm

I＝R＝R，vm＝at0

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

1

发生的位移x＝2at2＝2 m 整理解得

m2gR0.27×10×1.8t0＝μB2L2a＝0.75×1.22×1.52×1 s＝2 s Ffcd随时间变化的的图象如图所示．

课后有学生问了我一个问题：是不是克服安培力所做的功就是等于回路产生的焦耳热？当时，我脱口而出，应该是这样的。我补充说：“如果是多个导体棒，那么应该是所有导体棒克服安培力所做的功的代数和为整个回路产生的焦耳热。”我之所以下这样的结论，那是因为以前我曾经思考过这个问题。但那天回答完学生的问题后，我觉得还是有必要重新去思考一下。

电磁感应现象的实质是不同形式能量转化的过程，而在电磁感应中我们遇到的比较多的题目是安培力做负功，为此，我先从简单的题目开始分析。

我先设计如下的题目：

【题1】水平面有一导体框架，如图所示，左端接一电阻R，右端有一质量为m，电阻为r，长为L的导体棒，整个空间有竖直向下的均匀磁场，磁感应强度为B，F代表除安培力以外的所有其它外力。

选择某个过程，对导体棒根据动能定理可得：WFW安Ek 而对于整个装置而言，根据功能关系有：

WFEk1Ek2Q

A B ×××××××××××××× ×××××××××××××× ×××××××××××××× ×××××××××××××× ×××××××××××××× R ××××× ×××××F ××××× ××××× 显然存在：QW安，即：克服安培力所做的功就是等于回路产生的焦耳热。

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

对于两导体棒，我又设计了如下的题目上：

【题2】水平面内有相互平行的两根轨道，在它的上面有两根导体棒A、B，F1为A所受的除安培力以外的所有其它外力，F2为B所受的除安培力以外的所有其它外力。

选择某个过程，对A、B分别用动能定理可得，WF1W安1EKA 而对于整个装置而言，根据功能关系有WF1WF2EKA1EKB1EKA2EKB2Q 故存在：Q(W安1W安2)，即所有导体棒克服安培力所做的功的代数和为整个回路产生的焦耳热。

以上两个题目的共性是不存在电源，由于我设计的第三题中引入了电源

【题3】水平面内有如图所示的装置，左端为一个电源，其电动势为E，右端有一导体棒。设F为导体棒所受的除安培力以外的所有外力。

选择某个过程，对导体棒而言：WFW安Ek

而对于整个装置而言，根据功能关系有qEWFEk1Ek2Q

两式比较得：qEW安Q，显然安培力做功与回路产生的热量不再相等。 由此得出两个结论：

结论1：在没有电源的情况下，克服安培力所做的功就是等于回路产生的焦耳热。 结论2：不管有没有电源，总能量守恒总是适用的。

时间：2021.03.05 创作：欧阳理 ×××××××××××× ×××××××××××× ×××××××××××× ×××××××××××× ×××××××××××× 欧阳阳理创编 2021.03.04