2021中考数学 尖子生培优训练 圆综合
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 2019·泰安
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切
线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A．32°
2.
B．31° C．29° D．61°
如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于( ) A. ° B. 58° C. 72° D. 55°
3.
如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( )
A．20°
B．35°
C．40°
D．55°
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4. 如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是( )
A．60°
5.
B．70° C．72° D．144°
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是( ) 2242A. 23－3π B. 43－3π C. 23－3π D. 3π
6.
运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是( )
25
A.π 2
7. 2020·黄石模拟
B．10π C．24＋4π D．24＋5π
如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(8，2)，C(6，6)，
点P为△ABC的外接圆的圆心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标为( )
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A．(－2，3) C．(2，－3)
8.
B．(－3，2) D．(3，－2)
如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )
A．6π B．3 3π C．2 3π D．2π
9. 2019·武汉京山期中
在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截
面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升( )
A．1分米 C．3分米
10.
B．4分米
D．1分米或7分米
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如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为( )
A．2 3
B．3
C．4
D．4－3
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 如图，C，D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝________．
12. (2019•河池)如图，PA、PB是
的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠
P=__________．
13.
如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径为________．
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14. （2020·菏泽）如图，在菱形
OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为_______．
15.
如图所示，OB，OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点．若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠A＝________°.
16. (2019•娄底)如图，C、D两点在以
AB为直径的圆上，，，
则__________．
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在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10
m．拴住小狗的10
m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．
17.
(1)如图1，若BC＝4 m，则S＝________m2.
(2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变．则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
① ②
18.
如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝________°.
19. （2020·玉林）如图，在边长为
3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD/E/F/处，此时边AD/与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是 ．
20. 如图，定长弦
CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，
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M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是________．
三、解答题（本大题共6道小题）
21. 如图，BD是☉O
的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与☉O相切于点A，
交DB的延长线于点F，∠F=30°，∠BAC=120°，BC=8. (1)求∠ADB的度数; (2)求AC的长度.
22. 如图，已知
AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．
(1)如图①，求证：OP∥BC；
(2)如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．
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23.
如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.
(1)求证：AB＝CD； (2)求证：CD2＝BE·BC；
9
(3)当CG＝3，BE＝2，求CD的长．
24. (2019•襄阳)如图，点
是的内心，8 / 24
的延长线和的外接圆圆
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相交于点(1)求证：(2)若
，过是圆，
作直线的切线； ，求优弧
．
的长．
25.
在△ABC中，AB＝AC，O为AB上一动点，以点O为圆心，OB长为半径的圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)当O是AB的中点时，如图①，判断DE与⊙O的位置关系．(直接写出结论，不必证明) (2)当O不是AB的中点时，如图②，此时(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)若⊙O与AC相切于点F，如图③，且⊙O的半径为3，CE＝1，求AF的长．
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26. 已知
OA＝5，sin∠O＝，点D为线段OA上的动点，以A为圆心、AD为半
径作⊙A．
（1）如图1，若⊙A交∠O于B、C两点，设OD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′． ①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；
②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．
2021中考数学 尖子生培优训练 圆综合-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A
2.
【
答
案
】
B
【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2
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×32°＝°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和
11
为180°，可得∠OAC＝2(180°－∠AOC)＝2×(180°－°)＝58°.
3. 【答案】B
4. 【答案】C [解析] ∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
（5－2）×180°∴∠ABC＝∠C＝＝108°，CB＝CD，
5180°－108°
∴∠CBD＝∠CDB＝＝36°，
2∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°. 故选C.
A 【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,
BC
∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(23)2，解得x＝2，又∵sinA＝AB1160×π×22＝2， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝2×2×23－360
2
＝23－3π.
5.
【
答
案
】
6. 【答案】A [解析] 如图，连接OC，OD，OE，OF.
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∵AB∥CD，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴AB上方的阴影面积＝S扇形OCD. 同理，AB下方的阴影面积＝S扇形OEF. 延长EO交⊙O于点G，连接FG，则∠EFG＝90°. ∴FG＝EG2－EF2＝102－82＝6. ∵CD＝6，∴FG＝CD，
∴∠FOG＝∠COD，∴S扇形OCD＝S扇形OFG，
125
∴S阴影＝S扇形OCD＋S扇形OEF＝S扇形OFG＋S扇形OEF＝S半圆＝π×52＝π.故选A.
22
7. 【答案】A
8. 【答案】A
9. 【答案】D
10. 【答案】A [解析] 如图，设⊙O与AC的切点为E，
连接AO，OE.
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∵等边三角形ABC的边长为8， ∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°. ∵⊙O分别与边AB，AC相切，
∴∠OEC＝90°，∠BAO＝∠CAO＝12∠BAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，∴OC＝1
2AC＝4.
在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，∠C＝60°， ∴∠COE＝30°，∴CE＝12OC＝2，∴OE＝2 3，
∴⊙O的半径为2 3.
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 【答案】1 [解析] ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°. ∵∠B＝∠ACD＝30°， ∴AD＝112AB＝2×2＝1.
12. 【答案】76
【解析】∵是的切线，∴
∴
，∴
，
∴，故答案为：76．
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13.
【
答
案
】
6 [解析]
因为BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°.设⊙O的半径为x，则OB＝x，OC＝x＋4.在Rt△OBC中，由勾股定理，得x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6.∴⊙O的半径为6.
14. 【答案】2
－π
【解析】利用规则图形的面积和差求不规则图形的面积．在菱形OABC中，OA＝AB，又∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠A=60°．如图，连sin60°接OD，则OD⊥AB，OD=2·＝积为：
，
，∴S△AOB＝
×2×
＝
，扇形的面
∴阴影部分的面积为：2×(－)＝2－π．
15. 【答案】50 [解析] 连接OA，则OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠B，∠OAC＝∠C，
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∴∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝∠B＋∠C＝20°＋30°＝50°.
16. 【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴
．
故答案为：1．
，∵，∴
5
2 【解析】(1)因为AB＋BC＝10 m，BC＝4 m，则AB＝6
m，小狗活动的范围包括三个部分，第一部分是以点B为圆心，10为半径，圆心角为270°的扇面；第二部分是以C为圆心，6为半径，圆心角为90°的扇形，第三
270π·10290π·62
部分是以A为圆心，4为半径，圆心角为90°的扇形，则S＝＋
360360
90π·42
＋
360
＝88πm2；(2)当在右侧有一个等边三角形时，设BC＝x米，根据题意得S＝270π·10230π·（10－x）290π·x2π252505
＋＋＝x－πx＋π，所以当x＝－(－3603603603333
π55π)÷(2×)＝时，S最小，即此时BC的长为
322米．
17. 【答案】88π；
18.
【
答
案
】
125
【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分
11
线，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝
22
(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.
19. 【答案】3π
【解析】先观察图中阴影部分的面积应该等于哪几个规则图形面积的和或差，然后再根据公式进行计算. ∵六边形ABCDEF是正六边形
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∴每个内角的度数为180°－＝120°，且AB＝BC，∴∠FAB＝∠E＝∠B＝
120°，∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠ACB＝30°，∵任何正六边形都有一个外接圆，∴四边形ADEF是正六边形外接圆中的内接四边形且AD为直径，∴AD＝6，∠E＋∠FAD＝180°，∴∠FAD＝60°，∴∠DAC＝120°－∠FAD－∠CAB＝30°，由旋转的性质得：四边形AD/E/F/≌四边形ADEF，
则图中阴影部分的面积＝四边形ADEF的面积＋扇形ADD'的面积－四边形AD/E/F/的面积＝扇形ADD'的面积＝
20. 【答案】
＝3π；故答案为：3π．
34 [解析] 如图，当CD∥AB时，PM的长最大，连接OM，OC.
∵CD∥AB，CP⊥AB， ∴CP⊥CD.
∵M为CD的中点，OM过点O， ∴OM⊥CD，
∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°， ∴四边形CPOM是矩形， ∴PM＝OC.
∵⊙O的直径AB＝8， ∴半径OC＝4，∴PM＝4. 三、解答题（本大题共6道小题）
21. 【答案】
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解:(1)∵AF与☉O相切于点A，∴AF⊥OA， ∵BD是☉O的直径，∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=120°，∴∠DAC=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°， ∵∠F=30°，∴∠F=∠DBC，∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，∴∠BOA=90°-30°=60°， ∴∠ADB=∠AOB=30°.
(2)∵OA⊥BC，∴BE=CE=BC=4， ∴AB=AC，
∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∵∠OBE=30°，∴OE=OB，BE=OE=4， ∴OE=，∴AC=AB=OB=2OE=
.
22. 【答案】
解：(1)证明：如图①，连接PC. ∵AP︵＝PC︵
，∴∠AOP＝∠COP.
OP＝OP，
在△AOP和△COP中，∠AOP＝∠COP，
OA＝OC，
∴△AOP≌△COP，∴∠APO＝∠CPO. ∵OA＝OP，∴∠APO＝∠OAP. 又∵∠PCB＝∠OAP，
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AB=OB， word版 初中数学
∴∠CPO＝∠PCB， ∴OP∥BC.
(2)如图②，连接OP，AC.
︵︵
∵AP＝PC，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠PAO＝∠PCO.
当DO＝DC时，设∠DCO＝x， 则∠DOC＝x，∠PAO＝x， ∴∠OPC＝∠OCP＝x，∠PDO＝2x. ∵∠PAO＝x，∴∠POD＝2∠PAO＝2x.
在△POD中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°， 即∠PAO＝36°.
当CO＝CD时，设∠DCO＝x， 则∠OPC＝x，∠PAO＝x， ∴∠POD＝2x，
∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝2x＋x＝3x. ∵CD＝CO，
∴∠DOC＝∠ODC＝3x.
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在△POC中，x＋x＋5x＝180°，
180
解得x＝(7)错误!，即∠PAO＝(错误!)°,)． 当OC＝OD时，B，D重合，不符合题意，舍去． 180
综上所述，∠PAO的度数为36°或(7)°,)．
23. 【答案】
(1)证明：∵AC为直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴BC∥AD， ∴∠BCA＝∠CAD， 又∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)， ∴AB＝CD；
(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心， ∴OA⊥AE， 即CA⊥AE，
∴∠EAB＋∠BAC＝90°， 而∠BAC＋∠BCA＝90°， ∴∠EAB＝∠BCA， 而∠EBA＝∠ABC， ∴△EBA∽△ABC， EBBA∴AB＝BC，
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∴AB2＝BE·BC， 由(1)知AB＝CD， ∴CD2＝BE·BC；
(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC， 即CD2＝9
2BC①，
∵FG∥BC且点F为AC的三等分点，∴G为AB的三等分点， 即CD＝AB＝3BG，
在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2，即3＝(1
3CD)2＋BC2②， 将①代入②，消去CD得， BC2＋1
2BC－3＝0， 即2BC2＋BC－6＝0， 解得BC＝3
2或BC＝－2(舍)③， 将③代入①得，CD＝33
2.
24. 【答案】
(1)连接交于，如图，
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∵点是的内心， ∴平分
，即
， ∴，∴，
，
∵， ∴， ∴
是圆
的切线． (2)连接、
，如图， ∵点是
的内心， ∴， ∵，
∴∴，
∵
，
在中，∴， 而，
∴为等边三角形，
∴，，
∴
，
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，
，word版 初中数学
∴优弧
25. 【答案】
的长=．
解：(1)DE与⊙O相切． (2)成立．
证明：连接OD.∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD. 又∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切，即(1)中的结论仍成立． (3)连接OD，OF，则四边形ODEF是正方形． 设AF＝x，则AC＝x＋4，
AO＝AB－OB＝AC－OB＝(x＋4)－3＝x＋1. 在Rt△AOF中，
由勾股定理，得(x＋1)2－x2＝32， 解得x＝4. ∴AF＝4.
26. 【答案】
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（1）如图2，作AE⊥BC，垂足为E，那么E是BC的中点． 在Rt△OAE中，OA＝5，sin∠O＝，所以AE＝3． 在Rt△BAE中，AB＝AD＝5－x，AE＝3，BE＝由勾股定理，得整理，得
．
．定义域是0≤x＜2．
，
图2 图3
（2）①如图3，将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′，AA′＝2AE＝6． 作A′H⊥OA，垂足为H．
在Rt△A′AH中，AA′＝6，sin∠A′＝，所以AH＝若⊙A′与直线OA相切，那么半径等于A′H． 解方程
，得
．
，A′H＝
．
②如图4，在Rt△A′DH中，
对于⊙A′，R＝5－x；对于⊙D，r＝DO＝x；圆心距d＝A′D． 如果两圆外切，由d＝R＋r，得
．解得
．
（如图4）．
如果两圆内切，由d＝|R－r|，得．
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解得．所以两圆不可能内切．
图4 图5
考点伸展
当D为OA的中点时，⊙A′与以D为圆心、DA为半径的⊙D是什么位置关系？ ⊙A′和⊙D等圆，R＝，两圆不可能内切． 当D为OA的中点时，DH＝AH－AD＝
．
此时
时两圆是相交的（如图5）．
．因此两圆的半径和大于圆心距，此
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