江门市第一职中对口升学数学一轮复习基础训练：倍角公式和半角公式02

江门市第一职中2014对口升学数学一轮复习基础训练：倍角公

式和半角公式02

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(2012·汉中模拟)已知函数f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a(x∈R). (1)若f(x)有最大值2，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间.

11.已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期和最大值；

π2

(2)若θ为锐角，且f(θ＋)＝，求tan2θ的值.

83

【探究创新】

(16分)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数， (1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正周期；

1＋sin2x

(2)若f(x)＝2f′(x)，求2的值.

cosx－sinxcosx

答案解析

10.【解析】(1)f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a＝1＋cos2x＋π

＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a，

6

3sin2x

1

当sin(2x＋π

6)＝1，f(x)有最大值为3＋a，

∴3＋a＝2，解得a＝－1； (2)令－πππ

2＋2kπ≤2x＋6≤2＋2kπ，

解得kπ－ππ

3≤x≤kπ＋6

(k∈Z)，

∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－ππ

3，kπ＋6](k∈Z).

11.【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x ＝sin2x＋cos2x ＝2(

22sin2x＋

22cos2x)

＝2sin(2x＋π

4

).

∴f(x)的最小正周期为2π

2＝π，最大值为2.

(2)∵f(θ＋π2

8)＝3，

∴

2sin(2θ＋π2)＝23

.

2

1

∴cos2θ＝.

3

π

∵θ为锐角，即0＜θ＜，∴0＜2θ＜π.

2∴sin2θ＝

1－cos22θ＝sin2θ

232.

∴tan2θ＝＝22.

cos2θ

【误区警示】在求解(2)时要注意θ的范围，从而确定sin2θ的正负，继而确定tan2θ的正负. 【探究创新】

【解题指南】(1)先求出f′(x)，代入F(x)进行三角恒等变换得到F(x)＝

Asin(ωx＋)＋B的形式，求其性质；(2)根据f(x)＝2f′(x)求出tanx的值，化简所求的式子后代入. 【解析】(1)∵f′(x)＝cosx－sinx， ∴F(x)＝f(x) f′(x)＋f2(x). ＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx ＝1＋sin2x＋cos2x ＝1＋

π

2sin(2x＋) 4

∴函数F(x)的值域为[1－2，1＋2]，

3

∴最小正周期为T＝2π

2

＝π.

(2)∵f(x)＝2f′(x) sinx＋cosx＝2cosx－2sinx， ∴cosx＝3sinxtanx＝1

3

，

∴1＋sin2x＝2sin2x＋cos2x

cos2x－sinxcosxcos2x－sinxcosx

11

＝2tan2x＋11－tanx＝92＝116

. 3

4