九年级（上）期末数学试卷
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
2
1. 方程x=1的解是（ ）
A. B. C.
D.
2. 两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（ ）
A. 4：9 B. ： C. 2：5 D. 2：3 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA的
值是（ ）
A.
B. C. D.
4. 一组数据-1，-2，0，1，2，则这组数据的方差为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 10
2
5. 关于x的一元二次方程x-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
A.
B.
C.
D.
2
6. 二次函数y=x+2x-3的图象的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，
赛程计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A. B. C.
的C是 8. 如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，
BC，则图中阴影部分面积是（ ） 中点，连接AC、
D.
A. B. C. D.
2
9. 二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二
次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数有最小值
B. 对称轴是直线
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C. 当 ，y随x的增大而减小 D. 当 时，
10. 如图，A（8，0）、B（0，6）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O
且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交与点P、Q，则线段PQ长度的最小值是
（ ）
A. B. 5 C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 满足tanα= 的锐角α的度数是______．
P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，12. 如图，⊙O的半径为3，则PA=______．
13. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则
∠BAD=______． 14. 下列说法：①必然事件的概率为1；②数据1、2、2、3的平均数是2；③数据5，2、-3、0的极差是8；④如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10
次必有4次中奖．其中正确的有______个．
15. 一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为______． 16. 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正
西方向，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏西30°的方向，则船C离海岸线的距离是______．
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17. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°．CE
平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，若△ADE的面积是5，则△CDB的面积是______．
8. 某数学兴趣小组研究二次函数y=x2-mx+m的图象时发现：无论m如何变化，该图1
象总经过一个定点，这个定点的坐标是______． 三、解答题（本大题共10小题，共76.0分）
0
19. 计算： +（1- ）-2sin45°
20. 解方程：
2
（1）x-1=3x；
22
（2）9x-（x-1）=0．
21. 如图，D是△ABC的边AB上的点，DB=3AD，过D
作DE∥BC交AC于E．BE、CD相交于F． （1）若AE=2，则EC=______；
（2）求： 的值．
22. 为了解本学期初三期中调研测试数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取了
一个水平相当的初三年级进行分析研究，随机抽取部分学生成绩（得分为整数，满分为130分）分为5组：第一组55～70，第二组70～85，第三组85～100，第四组100～115，第五组115～130；统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：
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（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；
70～100分评为“C”，（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于70分评为“D”，
100～115分评为“B”，115～130分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？
23. 小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1-4的四个球（除
编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
24. 某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
（参考数据： =1.1， =1.2， =1.3， =1.4）
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25. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD= ∠AOC，
AD⊥CD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线：
（2）若AB=10，AD=2，求cos∠OAC的值．
的长．26. 问题1如图①点A、B、C在⊙O上，且∠ABC=120°，⊙O的半径是3．求
，B、C、D在⊙O上，E是AB的延长线上的BE= AB，问题2如图②点A、且 EF= CE．
（1）设BD=n•BF，则n=______；
（2）如图③若G是线段BD上的一个点，且 ．试探究，在⊙O上是否存在点P（B除外）使PG=PF？为什么？
27. 如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A
方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，y与x的函数图
象如图②所示．
（1）矩形ABCD的面积为______；
（2）如图③，若点P沿AB边向点B以每秒1个单位的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2个单位的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： ①当运动开始 秒时，试判断△DPQ的形状；
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②在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以Q为圆心，PQ的长为半径的圆与矩形ABCD的对角线AC相切，若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
2
28. 已知二次函数y=x+bx+c的图象与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于
点C，若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（-2，0）．
（1）原抛物线的函数解析式是______．
（2）如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
1． 解：开方得，x=±故选：B．
此问题相当于求1的平方根．
本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，
2222
基本形式有：x=a（a≥0）；ax=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）=b（b≥0）；a（x+b）=c
（a，c同号且a≠0）． 2.【答案】D
【解析】
解：∵两个相似多边形的相似比是2：3， ∴这两个多边形的周长为2：3． 故选：D．
利用相似多边形的性质即可解决问题．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3.【答案】C
【解析】
解：在△ABC中，∵AC=2，BC=1， ∴AB=∴sinA=故选：C．
首先利用勾股定理求得斜边AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义进行解答．
本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比．也考查了勾股定理． 4.【答案】C
【解析】
==
=
，
=，
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5=0， 解：这组数据的平均数是：（-1-2+0+1+2）÷
则这组数据的方差为：[（-1-0）2+（-2-0）2+（0-0）2+（1-0）2+（2-0）2]=2； 故选：C．
先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 5.【答案】A
【解析】
2
解：∵关于x的一元二次方程x-3x+m=0有两个不相等的实数根， 22
1×m＞0， ∴△=b-4ac=（-3）-4×
∴m＜． 故选：A．
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 6.【答案】B
【解析】
22
解：∵y=x+2x-3=（x+1）-4，
∴二次函数图象的对称轴是直线x=-1． 故选：B．
把二次函数携程顶点式，然后解题即可．
本题考查了二次函数的对称轴，把二次函数写成顶点式是解题的关键． 7.【答案】A
【解析】
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解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 依题意，得：x（x-1）=28． 故选：A．
设比赛组织者应邀请x个队参赛，由每个队之间都要赛一场且一共比赛28场7），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． （4×
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】A
【解析】
解：连接OC，过O作OM⊥AC于M，
，C为弧AB中点， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=∠BOC=60°∵OA=OC=OB=2，
∴△AOC、△BOC是等边三角形， ∴AC=BC=OA=2，AM=1， ∴△AOC的边AC上的高是△BOC边BC上的高为∴阴影部分的面积是故选：A．
连接OC，分别求出△AOC、△BOC、扇形AOC，扇形BOC的面积，即可求出答案．
本题考查了扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中．
， -×2×
+
-×2×
=π-2
，
=
，
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9.【答案】D
【解析】
解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当-1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意． 故选：D．
根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A； 根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；
根据图象，当-1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D． 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题． 10.【答案】C
【解析】
解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB．
∵A（8，0）、B（0，6）， ∴AO=8，BO=6， ∴AB=10，
，FO+FD=PQ， ∴∠AOB=90°
∴FO+FD≥OD，
当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ=OD， ∴OD=BC•AC÷AB=4.8． 故选：C．
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接OF，OD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FO+FD≥OD；只有当点F、O、D共线时，FO+FD=PQ有最小
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值，最小值为OD的长，即当点F在直角三角形ABO的斜边AB的高OD上时，PQ=OD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时OD=BC•AC÷AB=4.8．
本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．
11.【答案】30°【解析】
解：∵tanα=∴∠α=30°，
，
故答案为：30°．
根据特殊锐角的三角函数值求解可得．
本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 12.【答案】4
【解析】
解：∵PA切⊙O于A点，
∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP=5，OA=3， ∴PA=故答案为：4．
先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
13.【答案】72°
【解析】
=4．
180°=540°解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5-2）×， 540°=108° ，∠BAE=108°∴∠E=×又∵EA=ED，
-108°（180°）=36°， ∴∠EAD=×
， ∴∠BAD=∠BAE-∠EAD=72°
故答案是：72°．
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利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．
本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键． 14.【答案】3
【解析】
解：①必然事件的概率为1，正确； ②数据1、2、2、3的平均数是2，正确； ③数据5，2、-3、0的极差是8，正确；
④如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次可能有4次中奖，此结论错误； 故答案为：3．
①根据必然事件和概率的意义判断即可； ②根据平均数的秋乏判断即可； ③求出极差判断即可； ④根据概率的意义判断即可．
本题主要考查了概率的意义、求算术平均数以及极差的方法，比较简单． 15.【答案】3
【解析】
解：设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得2πr=解得r=3． 故答案为3．
设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式进行计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 16.【答案】（3- ）km
【解析】
，
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解：过点C作CD⊥AB于点D， 由题意可得：∠ACD=45°，∠CBD=60°， 设DC=x， 则AD=x，BD=故x+
x=2，
． ）km． x，
解得：x=3-故答案为：（3-
直接利用方向角的定义表示出各边长进而利用AD+BD=2，求出答案． 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出各方向角的度数是解题关键． 17.【答案】
【解析】
解：连接BE， 设AC=a，
∵AB是⊙O的直径，
， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=30°
∴AB=2AC=2a， 由勾股定理得，BC=∵CE平分∠ACB， ∴
=
，
=
a，
∴AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形， ∴AE=
AB=
a，
∵∠AEC=∠ABC，∠ADE=∠CDB， ∴△ADE∽△CDB， ∴
=（
），即，
2
=，
解得，S△CDB=故答案为：
．
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连接BE，设AC=a，根据直角三角形的性质、勾股定理用a表示出AE、BC，证明△ADE∽△CDB，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、直角三角形的性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18.【答案】（1，1）
【解析】
2
解：在y=x-mx+m中，当x=1时，y=1，
∴无论m如何变化，图象总经过定点（1，1）， 故答案为：（1，1）．
当x=1时，代入可求得y=1，则可求得答案．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2 +1-2×
=2 +1- = +1． 【解析】
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】解：（1）x2-3x-1=0，
2
△=（-3）-4×（-1）=13，
x= ，
所以x1=
，x2=
；
（2）（3x+x-1）（3x-x+1）=0， 3x+x-1=0或3x-x+1=0， 所以x1= ，x2=- ． 【解析】
（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；
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（2）利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解方程． 21.【答案】6
【解析】
解：（1）∵DB=3AD， ∴
=．
∵DE∥BC，AE=2， ∴
=
=，即
=．
∴EC=6．
故答案是：6．
（2）由（1）知，∵DE∥BC，
∴△EFD∽△BFC． ∴
=
=．即
．
=
=，则
=
=．
（1）根据平行线分线段成比例解答；
（2）由已知条件判定△EFD∽△BFC，根据该相似三角形的对应边成比例得到答案．
考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题时，充分利用了“平行线截线段成比例”和“相似三角形的对应边成比例”来求得相关线段的长度．
40%=50（名），50-4-8-20-14=4， 22.【答案】解：（1）20÷画图如下：
50×1500=540（名） （2）（4+14）÷
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答：考试成绩评为“B”的学生大约有540名． 【解析】
（1）根据第三组的数据，用人数除以百分数得出结论即可；根据抽取的总人数减去前4组的人数，即可得到第五组的频数，并画图；
（2）用样本中考试成绩评为“B”级及其以上的学生数占抽取的总人数的百分比，乘上全区该年级1500名考生数，即可得出结论．
本题主要考查了统计数据的处理．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 23.【答案】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种， 故小颖获胜的概率为： = ，则小丽获胜的概率为： ， ∵ ＜ ，
∴这个游戏对双方不公平． 【解析】
列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于5的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24.【答案】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2900（1+x）万元，2016年为
2900（1+x）2万元．
2
则2900（1+x）=3509，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
2
（2）2018年该地区投入的教育经费是3509×（1+10%）=4245.（万元）． 4245.＜4250，
答：按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250
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万元． 【解析】
（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2900（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2018年该地区将投入教育经费． 本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）
年数=
增长后的量．
25.【答案】解：（1）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°， ∴∠AOC+2∠OCA=180°， ∴ ∠AOC+∠OCA=90°， ∵∠ACD= ∠AOC，
∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°， 又∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC， ∴∠B= ∠AOC， ∵∠ACD= ∠AOC， ∴∠B=∠ACD， ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠D， ∴△ACD∽△ABC， ∴ = ，
∵AB=10，AD=2，
2
∴AC=AB•AD=20， ∴AC=2 ，
∴cos∠OAC= = ．
【解析】
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（1）由半径OA=OC，根据等边对等角得到∠OCA=∠OAC，又根据三角形的内角和定理得到三角形AOC三个内角和等于180°，等量代换得
，在等式两边同时2，把∠ACD=∠AOC代入得到∠ACD∠AOC+2∠OCA=180°
与∠OCA相加为90°，可得∠DCO为90°，又OC为半径，根据切线的性质可得CD为圆O的切线；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠B=∠AOC，求得∠B=∠ACD，得到∠ACB=∠D，根据相似三角形的性质得到AC，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及切线的判定与性质，利用了转化的思想，证明切线的方法有两种：有点连接圆心与此点，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于圆的半径． 26.【答案】3
【解析】
解：问题1：如图①中，在优弧AC上取一点D，连接AD，DC， ，∠B=120°， ∵∠D+∠B=180°
， ∴∠D=60°
∴∠AOC=2
， ∠D=120°∴
=
=2π
问题2：（1）如图②中，连接AC． ∵∴
==
， ，
∴BD=AC，
∵EB：EA=1：3，EF：EC=1：3， ∴
=
，
∴BF∥AC，
∴△BFE∽△ACE， ∴
=
=，
∴AC=3BF，
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∴BD=3BF， ∴n=3， 故答案为3．
（2）过点B作AE的垂线，与圆的交点即是点P． 理由：连接FG，CD，PG，PF． ∵BG：GD=EF：FG=1：2， ∴CD∥FG， ∵
=
，
∴∠ABD=∠CDB， ∴CD∥AB， ∴FG∥AE，
∵BG=BD，FB=BD， ∴BG=BF，
∴BP垂直平分线段FG， ∴PG=PF．
问题1：利用弧长公式计算即可．
问题2：（1）如图②中，连接AC．首先证明BD=AC，再证明△BFE∽△ACE，可得
=
=．
（2）过点B作AE的垂线，与圆的交点即是点P．证明BP是线段FG的垂直平分线即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，弧长公式，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27.【答案】72
【解析】
解：（1）从图①可看出，当点P在AB上运动时，△PAB面积为0，对应图②中的路程x为0至6；点P在BC上运动时，△PAB面积逐渐增大，对应图②中的路程x为6至18；点P在CD上运动时，△PAB面积不变，对应图②中的路程x为18至24；当点P在DA上运动时，△PAB面积逐渐减小至0，对应图②中
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的路程x为24至36；由此可知矩形的宽和长分别为6和12， 12=72； ∴S矩形ABCD=6×
（2）设运动时间为t， ①当t=时，
AP=，BP=6-=，BQ=3，CQ=12-3=9， ∵AD=12，DC=6，
∴在Rt△ADP中， DP2=AD2+AP2=在Rt△PBQ中， PQ2=PB2+BQ2=在Rt△PQC中， DQ2=DC2+CQ2=117， 在△DPQ中，
222∵DQ+PQ=DP，
，
，
∴△DPQ是直角三角形；
（3）不存在， 理由如下：
假设存在，如图④，连接AC，过点Q作QM垂直于AC，垂足为点M， 则QM=PQ， 在Rt△ABC中， AC=
=6
，
，∠QMC=∠ABC， ∵∠QMC=∠ABC=90°
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∴△QMC∽△ABC， ∴即∴QM=
在Rt△BPQ中，
PQ2=BP2+BQ2=（6-t）2+（2t）2，
2
又∵QM=（22
∴（6-t）+（2t）=（2
整理，得7t-4t+12=0， 2
∵△=b-4ac=-320＜0，
2），
2），
， ， ，
∴此方程无解，
∴不存在这样的时刻，使以Q为圆心，PQ的长为半径的圆与矩形ABCD的对角线AC相切，
（1）由数形结合的思想，从图①，图②分别可以看出，点P在运动过程中，△PAB面积为y所对应的路程x的值，由此可知矩形的宽和长分别为6和12，即可求出矩形ABCD的面积；
（2）分别求出AP，PB，BQ，QC等线段的长度，在Rt△APB，Rt△QPB，Rt△DQC中分别通过勾股定理求出PD，PQ，DQ的长度，通过勾股定理的逆定理即可证出△DPQ是直角三角形；
（3）用反证法，假设存在这样的时刻，那么过切点的半径QM与半径PQ相等，通过相似求出QM的长度，再通过勾股定理构造等式，结果无解，故不存在这样的时刻．
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本题考查了数形结合的思想，勾股定理及其逆定理的运用，反证法的运用等，解题关键是要掌握反证法的解题方法． 28.【答案】y=x2-6x+5
【解析】
2
解：（1）∵将二次函数y=x+bx+c的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5
个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（-2，0），
2
∴二次函数y=x+bx+c的顶点坐标为（3，-4）， 22
∴二次函数解析式为：y=（x-3）-4=x-6x+5， 2
故答案为：y=x-6x+5；
（2）如图，过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，
2
∵二次函数y=x-6x++5的图象与x轴交于A，B两点，交y轴与点C， 2
∴当x=0时，y=5，当y=0时，x-6x+5=0，
解得：x1=5，x2=1，
∴点C坐标为（0，5），点A坐标（1，0），点B坐标（5，0）， ∴直线BC解析式为：y=-x+5，
设点P（a，a2-6a+5），则点M（a，-a+5），
2
5=-（a-）2+∴S△PBC=（-a+5-a+6a-5）×
，
∴当a=时，△PBC面积的最大值为∴点P（，-）；
，
（3）存在，理由：
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①如图，△CMQ为等腰直角三角形、△BMQ为直角三角形，
设点M的坐标为（m，5-m），Q的坐标为（n，0）， MQ2=（m-n）2+（5-m）2，CM2=m2+m2，CQ2=n2+25，
222
由MQ=CM=CQ，解得：m=，
故点M的坐标为（，）；
②如图，△CMQ为等腰三角形、△BMQ为直角三角形，
同理可得：点M坐标为坐标：（故：点M的坐标：
或（
-5，10--5，10-
）， ）．
2
（1）将函数y=x+bx+c的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长2
度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，0），则函数y=x+bx+c的顶点坐标为（3，
-4），即可求解；
PM×OB，即可求解； （2）由S△PBC=×
（3）分①如图，△CMQ为等腰直角三角形、△BMQ为直角三角形；②如图，△CMQ为等腰三角形、△BMQ为直角三角形两种情况，分别求解即可． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培
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养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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