基于低秩非局部稀疏表示的图像去噪模型

文章编号：1〇〇7-791X(2017)03-0272-06

燕山大学学报

Journal of Yanshan University

Vol. 41 No. 3

May 2017

基于低秩非局部稀疏表示的图像去噪模型

王宏宇陈冬梅、王慧

2

(1.辽宁行政学院信息中心，辽宁沈阳110161;2.沈阳农业大学信息与电气工程学院，辽宁沈阳110866):在去除加性高斯白噪声的过程中，为克服图像失真，提高图像视觉质量，使图像之间联系更加密切，本 文提出了一种基于低秩非局部稀疏表示的去噪算法模型。在该模型中，首先通过PCA方法线训练字典得到稀 疏字典集，然后用奇异值分解求解低秩问题，最后用欧拉-拉格朗日方法得到去噪图像的能量泛函，从而重构图

摘要

像。仿真实验结果表明，提出的新算法不仅能克服图像失真，改善图像视觉质量，还提高了峰值信噪比和图像 相似度。

关键词:非局部相似;稀疏表示;高斯噪声;低秩中图分类号：TP391

文献标识码：A

DQI:10.3969/j.issn.1007-791X.2017.03.011

在线字典很耗时。2015年,Xu等[3]提出基于块的

0引言

图像去噪的好坏直接影响图像处理的后续工

非局部图像去噪算法(PGPD)，该算法先用许多图 像在线训练字典集，在运用稀疏表示方法去噪时, 根据不同的图像特征匹配不同的稀疏字典，PGPD 算法缩短了算法的运行时间，为该算法应用到实 际生活中提供了依据和方法。

图像模型在图像去噪中占据着核心地位，基 于小波变换的模型[7]，刘平等人进行小波多尺度 分解提出自适应小波阈值去噪算法，该算法能够 不同程度地抑制高斯白噪声，改善图像的视觉质 量。为解决二阶偏微分的扩散方程产生的阶梯效 应问题，杨平先和陈明举[8]提出了基于图像结构 信息的去噪模型。此外，郭宝龙等p]利用全变差 模型重构图像，此方法能够有效地消除伪影和噪 声。2015年，司菁菁等人[10]提出基于图像二维离 散余弦变换系数的分布特性，根据非均勻采样，提 出变步长空间追踪的图像重构，该文在运行时间 上有明显的提高。随后，张海锋等人[11]提出一种 多尺度几何变换的稀疏表示的压缩感知去噪算 法。虽然上述去噪算法在一定程度上对噪声有抑 制作用，但在移除噪声的同时使去噪图像存在不 同程度的失真，而且图像块之间的信息也没有充

作，如何使图像在尽可能不失真的情况下去除噪 声是图像去噪的首要任务。图像在获取、转换与 传输等过程中，常受到成像设备自身因素与外界 环境条件影响，不可避免地受到各种噪声的污染， 图像去噪主要目的是从噪声图像中恢复去噪图 像。近年来，图像去噪取得了非常大的进步，现有 的图像去噪方法大致可以分为以下几类：基于稀 疏表示去噪方法，小波变换方法以及基于全变分 方法等等，其中以基于稀疏表示去噪方法[|—6]最为 热门。

Dong等[1]联系了图像局部与非局部的信息， 在学习字典的基础上提出非局部集中稀疏图像去 噪算法（NCSR)，NCSR算法为后续图像去噪算法 的研究奠定了基础。由于大部分去噪算法在抑制 噪声的同时移除图像的纹理，从而使图像失真，为 了解决这一问题,Zuo等[2]提出了梯度直方图估计 算法（SGHP)，该算法能够很好地保存去噪图像的 纹理、边缘等特征信息。虽然基于稀疏表示的在 线学习字典算法显示强大的去噪能力，但是训练

收稿日期:2017-01-09

责任编辑:孙峰

基金项目：国家自然科学基金资助项目（61673281)

作者简介：*王宏宇（1971-),男，辽宁沈阳人，硕士，副教授，主要研究方向为计算机应用技术、网络安全,Email:wanghongyu_2000@

sina.com

第3期王宏宇等基于低秩非局部稀疏表示的图像去噪模型273

分的利用。基于此,本文提出一种改进的高斯白 噪声去除算法，该算法在非局部稀疏表示的基础 上，引人低秩正则项。仿真实验表明，该算法在一 定程度上能克服图像失真，改善图像视觉质量，在 峰值信噪比和图像相似度也有明显的提高。

1相关工作

这部分简单地介绍非局部集中稀疏模型（NC- SR),它将为下一章节提出的新模型奠定基础。 沿用NCSR模型的记号和预处理方法，其中加性 噪声问题可以数学描述为

少

+ «,

(1)

其中,U

分别为去噪图像和给定含噪图像,《为

高斯白噪声。首先对图像分块，即

Rx,其中^

表示位于第Z'个位置的块“=1,2,…,仏^是块提 取算子,#为分块的大小。分块好以后再进行K 均值聚类，在传统的稀疏表示模型中，局部稀疏项 II a, || ,确保稀疏字典D表示的图像块尽可能的 少，即NCSR模型能够在训练字典的同时保证稀 疏编码的稀疏性，所以局部稀疏项|| a, ||,可以移 除。早期文献大部分只研究图像局部之间的信 息，而忽略了图像块与块之间的联系，为了解决这 一问题D«ng等人提出非局部集中稀疏模型（NC- SR),其去噪模型为

a=argmina |||x-Da |丨2 + A $i

lla,-^, 111 I , (2)

其中第一项为数据保真项,第二项是非局部正则 项,■〇为稀疏字典,a为稀疏编码并且a= [a, ,a2, …,aj,;8i(i= 1,2,…，W)为非局部因子，即 $ || a,-紇II,中;8,定义为 < 的权重均值，办，=$ «

,a?是第g个最相近的块到 '的稀疏编

码向量,W；? = _1exp〔-:||工l-工；M|2)(工，和•*1分别表示X,和 < 的最似估计），A是预先设定的常数， W是归一化因子。NCSR算法不仅探索图像的局 部与非局部的信息，使得去噪更彻底，而且还保留 了去噪图像的纹理特征。

2基于低秩非局部稀疏表示去噪新模型

由于NCSR算法利用在线训练稀疏字典的稀

疏表示去噪方法的优势，联系了图像局部与非局

部之间的信息，大量的实验证明NCSR的去噪算 法优于很多先进去除高斯白噪声算法。基于 NCSR算法上述的优点，本文在NCSR算法的基础 上引人低秩惩罚项,低秩惩罚项能够在一定程度 上克服图像失真，改进的去除高斯白噪声算法为

j x ,_D ,a | = argminx,D,a

丨 || x _ _Da ||2 +

A $ ! a, - 8, ! i +f^Rank(x) ) , (3)

其中第一项是数据保真项,使得去噪图像i尽可 能与Da接近，即x«Da,D为在线训练的稀疏字 典,a为稀疏编码。第二项是非局部正则项，第三 项是低秩正则项,A #都为已知正常数。

由于式(3)为非凸函数，解存在但不唯一，我 们用核范数代替低秩惩罚项[12]，即核范数为所有 奇异值的绝对值之和。提出的模型（3)变为

j x ,D ,a) = argx,D min,a

j | x _ Da | 2 +

A$i

lla, -8 lli +M\"x|U)。

（4)

通过变分和选择最优方法求解方程[1314](4), 为了简化求解过程，用变量《替代第三项中的i, 即,x = M,那么方程(4)重新定义为

j x ,D ,a) = argx,D min,a

j | x _ Da | 2 +

A$ lla, -8 11 1 +Mll«IU)

s.t. x = w。

（5)

为了得到式(5)的等价方程，减少x与M之间 的误差,与文献[9 ] 一样通过添加适当的非负正则 项参数P,得到上式等价的能量泛函式子

j x ,D ,a) = argx,D min,a

j || x _ Da ||2 +

A $

l|a, -8 II i +弘 II m || *+p ||x _ m || 2)。（6)对于目标函数(6)的求解，大部分文献采用选

择最优的方法，为了简化求解过程，分为下面3个 子问题求解。

1)初始化x和M,训练稀疏字典D以后，接着 最优化稀疏编码a。从式（6)中分离出含有稀疏 编码正则项，艮P

a = arg a

min j || x - Da | 2 +

A$l|a, -8 lli)。 （7)

这一步为训练字典和稀疏编码过程，用主成 性分析(PCA)的方法在线训练稀疏字典，对于非 局部因子A以及训练在线字典的方法与NCSR一致。

274燕山大学学报2017

2) 初始化X，稀疏编码a和稀疏字典D，然后

最优化心从式(6)中分离出含有低秩正则项，即

M = arg minima ||“ || * +p || X - M || 2[，（8)

U

3实验分析

在这一部分中，测试5幅大小为512x512的

这一步为求解低秩惩罚项，通过奇异值分解得到M 的解。

3)

自然图像，分别为 Barbara，Walkbridge，Peppers，

Lena和Lake，实验原图像如图1所示。在所有的 最后一^步重建去噪图像X，通过步骤（1)〜 实验中高斯噪声服从均值为0,方差为1的高斯分

布，测试中高斯噪声的标准差分别为10、20、50和 100,图2以Peppers为例展示不同标准差的噪 声图。

(2)，得到稀疏字典和稀疏编码以及低秩惩罚项的 解，最终去噪图像X的目标函数为

|x} = arg mini || X-Da || 2 +p || X-M || 2[， （9)

X

上式相应的欧拉-拉格朗日方程是

X =Da + p u

------1 +P

(10)

(c) Peppers(d) Lena(e) Lake

图1实验原图像

Fig.1 Original images

(a)噪声标准差为10 (b)噪声标准差为20 (c)噪声标准差为50 (d)噪声标准差为100

图2

不同标准差的噪声图

Fig.2 Images with different noise levels

3.1参数设置

在NCSR模型中，参数A =0.02,字典分块大小 为7x7。对于SGHP模型中参数T = 0.01，p = 0.01 和n=10。PGPD模型中参数中当噪声标准差为 10和20时，^ = 6;当噪声标准差为50时，p = 8;当噪声标准差为100时，p = 9。本文提出的算法有3 个非负正则化参数，分别为A、、a、P。A为非局部项 参数，本文设置为0.02，，a和P为低秩项参数，它们 的取值依赖于噪声标准差的和图像的大小，并且

随着噪声的增大而增加。在本文的实验中当噪声 标准差为10的时候，设置P = 0.02，P = 0.01;当噪 声标准差为20时，设置a = 0.03，p = 0.015;当噪声 标准差为50时，设置a = 0.06，p = 0.03;当噪声标 准差为100时，设置A = 0.09，p = 0.05。对于训练 在线字典，本文参数设置与NCSR—致。为了验 证提出算法的有效性，本文将提出算法与先进的 去除加性噪声的NCSR，SGHP和PGPD算法相比 较，且用峰值信噪比（PSNR)和图像相似度 (SSIM)来客观的评估算法之间的优劣。

第3期王宏宇等基于低秩非局部稀疏表示的图像去噪模型275

3.2实验结果分析

图3展示高斯白噪声的标准差为100的 Barbara不同算法的去噪图，相比Barbara原图像 (图1(a))，NCSR算法的去噪图（图3(a))存在噪 大量的噪声，人脸、额头以及裤子格子的纹理处理 的都很模糊，特别从局部放大图清楚的显示NCSR 算法掩盖了图像的纹理特征。对比图3(b)和原 图像（图1 ( a) )，SGHP算法去噪图虽然在一定程 度上优于NCSR算法，比如裤子上的纹理，但是增

加了不属于原图本身的纹理，例如地板、书桌区 域。当噪声为100时候，SGHP去噪使得图像看起 来更模糊。从图3(c)得知，PGPD算法有较好的 去噪效果，但是在人物额头细节特征上处理没有 图3(d)效果好，进一步从局部放大图可以看出， 不管在额头的细节还是人物脖子领巾的处理上， 图3(d)相比比较算法的去噪图都有很好的去噪 效果。由此可知，当噪声标准差比较大的时候，本 文算法能够较清晰保存图像的纹理和细节特征。

(a) NCSR (b) SGHP (c) PGPD (d) Proposed

图3噪声标准差为100的不同算法去噪图

Fig.3 Denoising images of different algorithm on noise level with 100

图4为高斯白噪声的标准差为50的Peppers 不同噪声的去噪图，随着噪声标准差的减少，相比 图1中Peppers的原图像，本文算法和比较算法都 有较好的去噪效果，改善了图像的视觉质量，但是 相比而言，图4(a)竖着的辣椒中，NCSR算法处理 的过度光滑，磨平辣椒边缘特征。在局部放大图 中的辣椒蒂上有重影。图4(b)中虽然没有NCSR

算法的光滑，但是存在一定的噪声。图4(c)说 明，PGPD算法的去噪图在一定程度上保存了图像 的边缘特征，但是相比较而言，图4(d)在细节的 处理上优于相比较算法。综上所述，本文算法能 够改善图像质量，保存图像边缘、纹理、细节等 特征。

(a) NCSR (b) SGHP (c) PGPD (d) Proposed

图4噪声标准差为50的不同算法去噪图

Fig.4 Denoising images of different algorithm on noise level with 50

从表1可以看出，本文的算法在不同程度的 噪声标准差下PSNR和SSIM值都要高于比较算 法。由此可得，本文算法不管在图像视觉质量上，

还有客观比较上都要优于比较算法。表2列出本 文算法和NCSR算法运行时间的比较，总体时间 分字典运行时间和算法时间，可以看出本文耗时

276燕山大学学报2017

长，但是在线训练字典消耗大部分时间，在以后的 工作和研究中，如果减少时间是关注的重点。

表1各种算法的比较

Tab. 1 Comparison of different algorithms

Images

AlgorithmNCSR

Barbara

SGHPPGPDProposedNCSR

Walkbridge

SGHPPGPDProposedNCSR

Peppers

SGHPPGPDProposedNCSR

Lena

SGHPPGPDProposedNCSR

Lake

SGHPPGPDProposed

表2

10 PSNR35.0034.3234.73

3511

20

SS1M0.94150.92850.9388

0.9501

50

SS1M0.90530.770.73

0.9100

100

SS1M0.78860.77270.7803

0.7909

PSNR31.7731.6331.39

31.84

PSNR26.9926.2926.80

27.05

PSNR23.2022.5723.48

23.56

SS1M0.63900.62480.6329

0.71

31.2031.2231.07

31.35

0.90590.90820.9009

0.9104

27.3227.3827.26

27.47

0.780.79980.7851

0.8011

23.5423.4923.57

23.63

0.56770.57010.5699

0.5797

21.3621.2121.41

21.50

0.41880.40750.4240

0.4309

35.0234.9034.82

35.11

0.88180.87750.8732

0.10

32.6632.6332.65

32.70

0.84300.83940.8403

0.8441

29.0629.0729.21

29.31

0.79080.78360.7822

0.7931

25.3825.0325.34

25.43

0.72630.67900.7018

0.7301

32.9132.8732.80

33 00

0.900.90140.87

0.9014

31.9832.0031.83

32.11

0.88100.87010.8795

0.8835

28.0228.1329.08

29.21

0.85140.85090.8600

0.8617

24.6224.6724.50

24.87

0.61930.61000.6179

0.6207

32.9732.9232.88

33.10

0.88790.88250.8798

0.02

29.8529.9029.91

30.02

0.82250.82180.8221

0.8237

25.4125.3825.30

25.53

0.60410.60370.6022

0.6100

23.3023.2523.28

23.41

0.49110.49030.4900

0.4953

各种算法时间的比较

Tab.2 Comparison time of different algorithms

AlgorithmNCSRP roposed

10238.4+3.2238.5+5.0

20245.1+6.7246.1+8.3

50279.3+8.5280.4+10.7

100301.3+10.6303.2+12.5

s

|2|

| 3 |

4结论

| 4 |

本文改进了一种去除加性高斯白噪声去噪算

法,该算法结合非局部稀疏模型和低秩惩罚项，在 线训练稀疏PCA字典，利用奇异值求解低秩惩罚 项，最后求得相应目标函数的欧拉-拉格朗日方 程,得到去噪图像。仿真实验表明，本文提出的算 法对高斯白噪声在一定程度上有抑制作用，并且 改善了图像的像的视觉质量。

参考文献

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| 6 |

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Image denoising model based on low rank and

nonlocal sparse representation

WANG Hongyu1, CHEN Dongmei1, WANG Hui2

(1.1nfor^nation Centre, Liaoning Academy of Governance, Shenyang, Liaoning 110161, China;

2.School of 1nfor^nation and Electronic Engineering, Shenyang Agricultural University, Shenyang, Liaoning 110866, China)

Abstract ： For removal additive white Gaussian noise, in order to overcome distortion of the image and improve the visual quality of

iamge, especially making close between the information of the image, a denoising algorithm based on low rank and sparse representation is proposed in this paper. 1n this model, first it is using PCA \"ways to train online dictionary that w，e can get sparse dictionary set, and then it is used to solve the low rank problem with singular value decomposition. Finally, it is using the Euler Lengrand way to the denoising image for energy function, so we can reconstruct denoised image. A lot of experiments show that the proposed algorithm can not only overcome the image distortion and improve quality of image, but also have a high peak signal to noise ratio and image similarity.

Keywords : non-local similarity; sparse representation; Gaussian noise; low rank