贵州省贵阳市普通中学2020-2021学年高二上学期期末监测考试数学(文)试题

贵阳市普通中学2020—2021学年度第一学期期末监测考试试卷

高二数学（文科）

本试卷满分100分，考试时间90分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷的相应位置上，） 1. 如下四个散点图中，正相关的是（ ）

A. B.

C. D.

A 分析】

根据散点图中点的分布情况，判断是否具有相关性和正负相关关系. 对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关； 对于B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关； 对于C、D，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系；故选：A. 方法点睛：该题考查是有关正负相关的判断问题，解题方法如下： （1）观察图中散点图是不是成带状区域； （2）判断其从左往右上升正相关，下降负相关.

2. 福利彩票“双色球”中红色球号码从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的号码为（ ）

【

1

A. 23 D

根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．

解：从随机数表第1行的第6列和第7列数字35开始按两位数连续向右 读编号小于等于33的号码依次为21 32 09 16 17 02， 故第3个红球的编号09，故选：D．

x2y23. “m4”是“椭圆1焦距为2”的（ ）

5mB. 17 C. 02 D. 09

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 A

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

根据椭圆的性质结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 当m4时，a25,b24,2c2542

x2y21焦距为2 即m4时，椭圆5m当m6时，a26,b25,2c652

x2y21焦距为2”的充分不必要条件故选：A 即“m4”是“椭圆5m本题主要考查了判断充分不必要条件，属于基础题.

4. 如果从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，那么选中的2人都是男同学的概率为（ ） A. 0.6 D

22从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C510种，其中全是男生的有C21B. 0.5 C. 0.4 D. 0.1

种，根据古典概型的概率公式计算即可，

2解：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C510种，其中全是男生的

2

2有C21种，故选中的2人都是男同学的概率P10.1，故选：D 105. x是x1,x2,（ ） A. 8 A

,x100的平均值，5为x1,x2,,x40的平均值，10为x41,x42,,x100的平均值，则xB. 9 C. 15 D.

15 2根据平均值的概念，列出方程，即可求得答案. 因为5为x1,x2,所以

,x40的平均值，

x1x2x405，即x1x2x40540200，

40,x100的平均值，

因为10为x41,x42,x41x42x10010，即x41x42x1001060600， 所以

60xxx1002006008，故选：A 所以x121001006. 甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则（ ）

A. 甲得分的均值高于乙得分的均值 C. 甲得分的方差高于乙得分的方差 C

B. 甲得分的均值低于乙得分的均值 D. 甲得分的方差低于乙得分的方差

根据茎叶图可分别计算出甲、乙的得分，根据茎叶图中的数据分布特点可判断甲、乙的方差情况.

9+17+23+24+26+30+3223

718+19+21+25+25+26+2723 乙得分均值为

7根据茎叶图有：甲得分均值为

所以甲得分的均值等于乙得分的均值，所以选项A,B不正确.

根据茎叶图中的数据分布，可得甲的得分比较分散，乙的分大部分集中在20多分上 所以乙的得分比甲得分集中,故甲得分的方差高于乙得分的方差.故选：C

3

本题考查根据茎叶图的判断均值的大小和方差的大小，属于基础题.

1x,x17. 如图所示是计算函数y0,1x2的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是

x2,x2（ ）

A y1x，y0，yx2 B. y1x，yx2，y0 C. y0，yx2，y1x D. y0，y1x，yx2 B

此题是一个计算函数的值的问题，由于函数是一个分段函数，故根据自变量的取值选取正确的解析式代入求值，由此对选择结构的空填数即可．

1x,x1y解：由题意0,1x2及框图，在①应填y1x；在②应填yx2；在③应填y0故x2,x2选：B．

8. 命题p:x0R，使sinx05，命题q:xR，都有x2x10.给出下列结论： 2.

①命题“pq”是真命题②命题“pq”是假命题

4

③命题“pq”真命题④命题“pq”是假命题 其中正确的是（ ） A. ①②③ C

首先判断各命题的真假，再根据复合命题的真假性判断选项的对错． 解：

xR，sinx155，所以p:x0R，使sinx0为假命题，对于命题22△b24ac30，所以xR，都有x2x10，q为真命题， 所以p为真命题，q为假命题，

所以pq为假命题，pq为假命题，pq为真命题，pq为真命题；故选：C． 9. 平面直角坐标系xOy中，动点Р到圆x1y21的圆心的距离与其到直线x1的距离相等，则Р点的轨迹方程是（ ） A. y24x A

B. x24y

2是B. ②①

C. ②③ C. y22x

2D. ③④

q：

D. x22y

设点P(x,y)，根据题意，根据两点间距离公式，列出方程，化简整理，即可得答案. 圆x1y21的圆心为（1,0），

设点P(x,y)，由题意得：(x1)2y2x(1)， 所以(x1)2y2x1，整理得：y24x.故选：A 10. 已知函数y3A. a

42121xalnx2x在,上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） 22B. a1

C. a1

D. 0a1

B 由函数y1211xalnx2x在,上单调递增，知y'0在,上恒成立，分离参数，222求最值得答案. 因为函数y121xalnx2x在,上单调递增， 225

1ax22xa所以y'x20在,上恒成立，

2xx122,ax2x(x1)1所以在上恒成立， 2所以a1，故选：B.

方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：

（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；

（3）分离参数，求最小值，得结果.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.）

11. 命题“如果xa2b2，那么x2ab”，请写出它的逆否命题____________. 如果x2ab，那么xa2b2.

根据逆否命题的概念，即可写出它的逆否命题 原命题的逆否命题为：如果x2ab，那么xa2b2.

12. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程y0.67x54.9. 零件数x（个） 10 20 30 75 40 80 50 90 ymin）加工时间（ 62 现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为___________.

68

根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回

ˆ0.67x54.9，代入样本中心点求出该数据的值． 归方程y解：设阴影部分的数据为M，由表中数据得：x1020304050M30730，y，

55ˆ0.67x54.9， 由于由最小二乘法求得回归方程y将x30，yM307，代入回归直线方程，得M68． 56

故答案为：68．

13. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．

 8分析：根据图形的对称性求出黑色图形的面积，即为圆的面积的一半，利用几何概型的概率公式进行计算即可.

详解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的边长为2，

12所以黑色部分的面积为S1，

22则所求的概率为故答案为

，

P2228. 8点睛：该题考查的是有关几何概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要分析得出黑色图形的面积等于圆的面积的一半，之后应用相关的公式求得结果. 14. 曲线yx3x在点1,2处的切线方程为____________.

4xy20 分析】

求出函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论．

解：因为函数yx3x的导数为y3x21，则函数在1,2处的切线的斜率ky|x14，故切线方程为y24x1，整理得4xy20 故答案为：4xy20

x2y215. 已知双曲线C:221a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，直线

ab7

y3xc与双曲线的一个交点P满足PF2F12PF1F2，则双曲线C的离心率e为3___________.

31

易知PF1F2为直线的倾斜角，再根据PF2F12PF1F2，分别求得PF2c,PF13c，再利用双曲线的定义求解. 因为直线y3xc与双曲线的一个交点P， 3所以PF1F230， 又因为PF2F12PF1F2， 所以PF2F160,F1PF290， 所以PF2c,PF13c，

由双曲线的定义得PF1PF22a， 即3cc2a， 解得e31， 故答案为：31

三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

216. 已知命题p：方程x2mx40无实数根：命题q：不等式xm3x10在xR上

恒成立.

（1）如果命题p是假命题，请求出实数m的取值范围；

（2）如果命题pq为真命题，且命题pq为假命题，请求出实数m的取值范围. （1）m≥4或m4；（2）4m1，或4m5.

（1）求出命题p为真命题时m的取值范围，可得p是假命题m的取值范围；

（2）求出命题q在xR上恒成立m的取值范围，如果命题pq为真命题，且命题pq为假命题，则p真q假，或者p假q真，可求得答案.

（1）命题p：方程x2mx40无实数根，则m2160，得4m4， 如果命题p是假命题，则m≥4或m4.

8

2（2）命题q：不等式xm3x10在xR上恒成立，

则m340，解得1m5，

如果命题pq为真命题，且命题pq为假命题，则p真q假，或者p假q真， 当p真q假时，当p假q真时，24m44m4或，即4m1，

m5m1m4m4或，即4m5，

1m51m5综上所述，实数m的取值范围为4m1，或4m5.

本题考查逻辑问题，涉及到的知识点有根据复合命题的真假判断求得参数的范围，利用补集的思想解决问题使其运算量减少，本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力.

17. 党的十九届五中全体会议通过了《关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议》，《建议》指出：我国要进一步完善科技创新机制.深入推进科技改革，完善国家科技治理体系，优化国家科技规划体系和运行机制，推动重点领域项目、基地、人才、资金一体化配置.改进科技项目组织管理方式.实行“揭榜挂帅”等制度.为响应国家要求，某科研管理部门拟了解下辖的甲、乙两个科研所对重点领域项目的推进情况以便后期工作实施，准备用分层抽样的方法从两个科研所中抽取5名科技工作者进行调研.已知两个科研所的人数分别为480人，320人. （1）应从甲、乙两个科研所中分别抽取多少人?

（2）设抽出的5个人分别用A，B，C，D，E表示，现从中随机抽取2名科研工作者就某一重大项目进行主题发言，求“抽取的2人来自不同科研所”的概率.

3（1）应从甲、乙两个科研所分别抽取3人和2人．（2）

5（1）利用分层抽样中各层的比例，直接求出样本容量．

（2）利用列举法得出所有可能的抽取结果及事件M包含的基本事件，利用古典概型求得事件M发生的概率P（M）．

（1）由已知，两个科研所的人数之比是3：2， 采用分层抽样的方法抽取5名科技工作者， ∴应从甲、乙两个科研所分别抽取3人和2人．

（2）抽出的5个人分别用A，B，C，D，E表示，记甲科研所的3人为A，B，C，乙科研所的2人为D，E，则从中随机抽取2名科研工作者共有10种，分别为：

9

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}， {C，D}，{C，E}，{D，E}．

设M为事件“抽取的2人来自不同科研所”， 则事件M包含的基本事件有6种，分别为：

{A，D}，{A，E}， {B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}． ∴事件M发生的概率P（M）63． 1053“2”所以抽取的人来自不同科研所的概率为.

518. 《国家体质健康标准》的测试项目分为：身体形态、身体机能、身体素质三大类，其中身体形态项目包括：身高、体重，在针对某校的学生体质健康抽查检测中，检测组对学校参与检测的女生的身高（单位：cm）进行了一次测量，将所得数据整理后列出了频率分布表如下： 组别 频数 2 10 20 14 a M 频率 0.04 0.2 0.4 0.28 b N 149.5,153.5 153.5,157.5 157.5,161.5 161.5,165.5 165.5,169.5 合计

（1）求出表中a，b，M，N所表示的值；

（2）在图中画出频率分布直方图.并根据频率分布直方图求出中位数.

（1）a4，b0.08，M50，N1；（2）频率分布直方图见解析，中位数为160.1； （1）频率、频数与样本容量的关系求出参数的值；

（2）根据样本的频率分布表计算出每组的纵坐标，画出频率分布直方图，计算出中位数； 解：（1）由149.5,153.5组内频数是2，频率是0.04， 计算样本容量为M250， 0.0410

各组频数之和等于M，所以a50(2102014)4，

b40.08， 50所有的频率之和为1，即N1

（2）根据样本的频率分布表，计算出每组的纵坐标为

149.5,153.5:153.5,157.5:157.5,161.5:161.5,165.5:165.5,169.5:0.040.01， 40.20.05， 40.400.10， 40.280.07， 40.080.02； 4频率分布直方图如下所示：

因为0.040.20.40.5，所以中位数位于157.5,161.5，设中位数为x，则

0.040.2x157.50.10.5，解得x160.1，故中位数为160.1 19. 已知函数fxalnx1a0. x（1）若a1时求函数yfx的极值；

（2）若fx0在x0,1上恒成立，求实数a的取值范围. （1）1；（2）,00,e.

（1）当a1时，求出导函数，令导函数大于零，求出增减区间，确定极值点，求出极值； （2）恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于a，即可求出a取

11

值范围.

（1）由已知，当a1时， fxlnx'∴fx1x0， x112， xx11x1'当fx20，20，则x1.

xxx11x1'当fx20，20，则0x1.

xxx所以fx在x0,1时，函数单调递减；fx在x1,时函数单调递增. ∴fx有极小值f11，没有极大值. （2）由题知alnx100x1则axlnx10， x因为x0,1所以lnx0， 则a1 xlnxlnx1'1hx令hx，则2 xlnxxlnx'h当xlnx1xlnxxlnx20时，则1x1.

e0时，则0x1.

e'当hxlnx1211x,1x0,. hx则的单调递增区间为，单调递减区间为ee11he ， 11所以hx的最小值为elnee因为fx0在x0,1时恒成立，则a所以ahxmin 所以ae.

则a,00,e 求极值的解题思路为： ①求导

1在x0,1时恒成立， xlnx12

②导函数大于0，求增区间；导函数小于0，求减区间 ③确定极值点，求极值.

“恒成立问题”，求参数范围的解题思路为： ①分离参数 ②构造函数求最值. ③得参数范围.

四、阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.）

20. 直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题，是解析几何重要内容之一，也是高考的一个热点问题.

引理 设Ax1,y1、Bx2,y2是二次曲线C:Ax2By2CxDyF0上两点，Px0,y0是弦

AB的中点，且弦AB的斜率存在，

22则Ax1By1Cx1Dy1F0……（1） 22Ax2By2Cx2Dy2F0……（2）

由（1）-（2）得

Ax1x2x1x2By1y2y1y2Cx1x2Dy1y20，

∵x0x1x2yy，y012，

22∴x1x22x0，y1y22y0

∴2Ax0x1x22By0y1y2Cx1x2Dy1y20， ∴2Ax0Cx1x22By0Dy1y2， ∴直线AB的斜率kAB2Ax0Cy1y22BD0,x1x2. x1x22By0D二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．

请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题：

x2已知椭圆y21.

211（1）求过点P,且被P点平分的弦所在直线的方程;

22（2）过点A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.

13

22（1）2x4y30；（2）x2y2x2y02x2.

x122

y112x2

Px0,y0是弦AB的中点，Bx2,y2是椭圆y21上两点，（1）设Ax1,y1、则2，

2x2y21

2

2

11两式相减，再根据点P,为弦的中点求得直线AB的斜率即可.

22x2（2）由题意知：割线的斜率存在，设Ax1,y1、Bx2,y2是椭圆y21上两点，Px,y是

2x12y1212弦AB的中点，则2，两式相减得：再根据点Px,y为弦的中点求得直线AB的斜

x2y2122率，再结合kABy1求解. x2x2（1）设Ax1,y1、Bx2,y2是椭圆y21上两点，Px0,y0是弦AB的中点，

2x122y112则2，两式相减得：

x2y2122x1x2x1x22y1y2y1y20，

∵

1x1x21yy，12，

2222∴x1+x21，y1y21 ∴x1x22y1y20，

1∴直线AB的斜率kAB.

2111直线AB的方程为y(x)，即2x4y30.

22211因为P,在椭圆内部，成立.

22x2（2）由题意知：割线的斜率存在，设Ax1,y1、Bx2,y2是椭圆y21上两点，Px,y是

2弦AB的中点，

14

x12y1212则2，两式相减得：

x2y2122x1x2x1x22y1y2y1y20，

∵xx1x2yy，y12， 22∴x1x22x，y1y22y ∴2xx1x24yy1y20， ∴直线AB的斜率kAB又kAB所以

y1， x2y1y2xx1x2 x1x22yy1x， x22y22化简得：x2y2x2y02x2，

22所以截得的弦的中点的轨迹方程为x2y2x2y02x2.

15