【知识点与竞赛要求】
主题 知识点 参考系 坐标系 直角坐标系 平面极坐标 自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程 速度 加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 质点的运动 运动的合成与分解 抛体运动 圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径 角速度 角加速度 相对速度 伽里略速度变换 刚体的运动 刚体的平动 刚体的定轴转动 竞赛要求 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅱ 说明：表格中竞赛要求栏中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的含义如下 Ⅰ 该知识点从预赛到决赛均可能涉及； Ⅱ 该知识点只在复赛与决赛中可能涉及； Ⅲ 该知识点只在决赛中可能涉及。 以后各章的“竞赛要求”均以此为标准。
【竞赛考查特点】
运动学的知识与相应的研究方法是物理学的基础内容，物体的运动贯穿整个物理学的知识内容，是中学生研究得最多的问题之一。但从整个竞赛内容来讲，在历年的竞赛中，预赛阶段不回避以运动学为考查核心内容的试题，但在复赛与决赛中，以单纯的运动学内容构成试题的时候并不是很多，几次不多的、的运动学试题，基本上都是以抛体运动为背景来考查学生。更多的时候是将运动问题嵌入复杂的模型与背景中，以综合考查学生的能力，而此时的运动分析或运动关联往往成为学生正确答题的瓶颈。
在运动分析类的问题中，几何关系又是一个不可回避与不容忽视的问题，对于多过程的问题，物体运动过程中所表现出的几何关系，往往会冲击考生分析问题的耐心与规范表述的心理极限。
第Ⅰ单元 运动学的基础内容
1．质点、坐标系、参照系
具有质量的几何点被称作质点。物体都是有一定的大小的，在所研究的问题中，当物体的形状、大小可以忽略时，把它们简化为质点来研究，可以使的讨论变得简洁、方便。
任何运动都是相对的，考查物体运动时所选定的认为是不动的物体被称作参照物， 原点固定于参照物上的坐标系被称为参照系。质点位置的描述一般是与参照系联系起来的，如
1
果是直线运动，则只需用数轴(x轴)来描述，如果质点的运动是平面运动，则需用直角坐标系(xoy)、用坐标(x,y)描述。如果质点作空间运动，则相应地用空间坐标来描述。此外，还有极坐标系、柱面坐标系、球坐标系以及依据质点运动轨迹而建立的自然坐标系等。为了描述运动可以采用不同的参照系，并且运动学中它们是等价的。大多数情况下应该选择这样的参照系，它是合乎自然规律且使问题的解答最为简捷。
解决有些较复杂的问题需要从一个参考系过渡到另一个参照系。在不同参照系中描述运动，物体运动的轨迹、位移、速度和加速度可能不同。但是在不同参考系之间给定关系情况下，对某一运动的描述总是相互关联的。
2．描述运动的基本物理量
描述运动的物理量很多，如时间与时刻、位矢、位移与路程、速率与速度(包括平均速度与瞬时速度)、速度的京华与加速度等，它们大多数在中学物理常规教学中都有较为明确而详细的叙述，由于位矢、位移、速度、加速度等都为矢量，因此，在描述它们时，应同时关注它们的大小与方向。
3．标量与矢量
在物理学中，我们常常会遇到两种不同性质的物理量：标量和矢量。仅用数值便可充分描述的的量叫做标量；在这里，“数值”的含义包含正、负在内，路程、质量、时间、电量、能量……等物理量都是标量。具有一定大小和方向，且加法遵循平行四边形法则的物理量叫做矢量；力、速度、加速度、电场强度、磁感强度……等均为矢量。实际上，数学中的矢量正是为了研究物理问题的需要而产生的。
在一般的情况下，矢量的印刷体是用黑体字表示，如矢量a，而在书写中常用a，一般用同一字母的常规写法表示该矢量的大小，如用a表示a的大小。矢量的大小在数学上又被称着矢量的模。它是一个正实数，记为｜a｜。模等于“1”的矢量称着单位矢量。在直角坐标系O-xyz中沿x、y、z轴的单位矢量分别记着 i、j、k。 (1)矢量的加法
矢量a与矢量b相加遵循平行四边形法则，如图所示，记作 a + b = c ，其中c为和矢量。
和矢量大小：c =a2+b2+2abcosα ，其中α为a和b的夹角。
bsinα
和矢量方向：c在a、b之间，和a夹角β= arcsin22 a+b+2abcosα
(2)矢量的减法
若矢量间有：a = c-b ，则被减数矢量c、减数矢量b、差矢量a之间满足三角形法则。如图所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。 差矢量大小：a =b2+c2+2bccosθ ，其中θ为c和b的夹角。
差矢量的方向可以用正弦定理或余弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 (3)矢量的乘法
矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，它们和代数的乘法有着质的不同。 点乘：表达式为a·b = c，其中c称为矢量的点积，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcosα，其中α为a和b的夹角。物理中的功的定义就是力与位移两矢量的点积。
2
叉乘：表达式为a×b =c，其中c称为矢量的叉积，它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absinα，其中α为a和b的夹角。叉积的方向：垂直a和b确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图所示。显然，a×b≠b×a，但有：a×b = -b×a。 有关矢量的运算贯穿整个物理学。
4．运动分析的基本内容 (1)运动的合成与分解
一个物体的实际运动往往同时产生几个运动效果，如过河船只的沿河运动和垂直河岸的运动。我们可以看成物体同时参与了几个运动，并把这几个运动叫做实际运动的分运动，而把这个实际运动叫做这几个分运动的合运动。
已知分运动的情况求合运动叫运动的合成。已知合运动的情况求分运动叫运动的分解.求解的内容就是运动学的一些量，如位移、速度、加速度、时间等。
合成和分解的内容是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。处理合运动和分运动关系时要灵活采用方法，或用作图法、或用解析法，依情况而定，可以借鉴力的合成和分解的知识，具体问题具体分析。 (2)相对运动
我们首先以运动中的速度合成来说明质点相对运动之间的关系。设有两个相对运动的参考系S系和S′系。既然运动和静止是相对的，设定S系为不动的，而S′系为运动的。质点P相对S系的运动称为绝对运动，而相对S′系的运动称为相对运动。相应地P点相对S系的速度称为绝对速度，而相对S′系的速度称为相对速度。再引入牵连速度概念，它是运动参考系S′系相对不动参考系S系的速度。质点P在不同参考系的位矢关系如图所示。由图中的位矢关系，我们容易得到，在任何时刻绝对速度v绝对为相对速度v相对与牵连速度v牵连之矢量和满足
v绝对=v相对+v牵连
这就是速度合成原则，即S′系相对于S系运动时，质点相对于S系的速度是质点相对于S′系的速度与S′系相对于S系的速度的叠加。
由速度之间的关联，我们也很快可以得到加速度之间的关联： a绝对=a相对+a牵连 两点说明：
①只有在S′系平动（不转动）情况下参考系所有点相对S系的速度（牵连速度）才是唯一的；
②这三个速度(位矢、加速度)之间的关系为运动学关系，与S系和S′系是否是惯性的还是非惯性的参考系无关。 (3)运动的性原理
运动的性原理又称运动的叠加性原理，是指一个物体同时参与几种运动，各分运动都可看成进行的，互不影响，物体的合运动则视为几个相互分运动叠加的结果。分运动和合运动之间具有：性、等时性、矢量性、同体性。它的下位概念是振动的叠加原理、波的叠加原理、电场强度的叠加原理。
叠加分矢量叠加和标量叠加两种，前者遵循矢量的合成，即平行四边形法则；后者遵循代数运算。因此在阐述矢量时，不仅强调既有大小，又有方向，同时要指出，只有严格遵循平行四边形法则的物理量才为矢量。
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(4)运动关联
中学物理试题中有涉及物体之间速度、加速度关系的问题，常见有四种情况： ①受杆或绳约束的物体速度。所研究的杆或线等都具有刚体的力学性质，杆不可伸长或缩短，线不可伸长。受杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：它们在同一时刻沿杆或沿绳方向必具有相同的分速度。
②接触物体接触点速度的特征。由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变违反接触或刚体的。至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度。因此，接触物体接触点速度的相关特征是：沿接触面的法向分速度必定相同，沿接触面的切向分速度在无滑动时相同。 ③相交物系交叉点速度的特征。线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和。
④运动物体上不同质点的速度。该物体可视为刚体，物体运动中其上任意两点之间距离不变。若物体沿一个平面运动，则各点速度为同一平面内，但是互相不平行，各点运动可以看作是绕垂直该平面某一轴（瞬时转动轴）的转动以及该轴平行此平面以某一速度平动之合运动。
⑤在没有转动和动滑轮的前提下，在绳上沿绳的方向上，各点的加速度相等(杆亦有类似的性质)。
5．直线运动 (1)匀速直线运动
物体在任何相等的时间内位移都相同的运动称为匀速直线运动。在运动过程中，位移x、速度v、时间t之间满足：
x
v= 或x=vt t
(2)匀变速直线运动
在任何相等的时间内，速度的变化相等的直线运动，叫做匀变化直线运动。其特点是加速度为恒定值，加速度的方向与速度增量的方向一致。
1
适用公式：vt=v0+at, x=v0t+at2 (+x0) .
2
自由落体运动和竖直上抛运动是加速度a=g的匀变速直线运动。
匀速直线运动与匀变速直线运动在常规教学中研究得比较透彻，此处不再说明。
〖典题精析〗
【例1】在Oxy坐标平面上有一个正三角形和一个正方形，正三角形和正方形的每条边长相同，它们的方位如图所示. 现在建立一个活动的O′x′y′坐标平面，它的坐标原点开始时位于正三角形的上顶点，而后O′点沿着正三角形的三条边绕行一周. 绕行时，x′轴始终与x轴平行，y′轴始终与y轴平行。试在图中清楚、准确地画出正四边形相对O′x′y′坐标平面运动而形成的区域的边界线.
4
11
【例2】已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在T内和在T内的平均
42加速度大小。
【例3】A、B两船在海上航行，A船航向东北，船速为u；B船航向正北，船速v=2u。设正午时，A船在B船正北距离l处，如图所示，问此后何时两船相距最近？距离多少？
【例4】如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆上的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升.当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2多大?
【例5】如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且线端A点速度为v，方向水平。以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r和R。试确定木板的角速度ω与角α的关系。
5
【例6】(1)如图所示，直角三角板的AB边紧靠墙壁，已知AC=b，BC=a，且a>b，现今A点沿墙壁向O点运动，B点沿地面远离O点运动，直至AB与地面重合，求C点经过的路程SC．
(2)现将三角板换成量角器，量角器半径为R，开始时量角器的直径紧贴竖直墙壁，其运动方式与三角板的运动方式类同，最后它的直径与水平面相贴，求量角器倒下时扫过的面积．
【例7】一只蟑螂和两只甲壳虫在一个水平大桌面上爬行，每只甲壳虫的速度都能达到1cm/s，开始时，这些虫子恰好位于一个等边三角形的三个顶点上。问蟑螂应具备什么样的速度才能在两只甲壳虫任意移动的情况下仍能保持三者分别位于一等边三角形的三个顶点上？
【例8】已知A、B两小球质量相同，A、B、地面之间的碰撞均为弹性碰撞，初始位置如图所示，HA、HB均为已知，求A、B所构成的系统形成周期性运动的条件？要求不出现三体碰撞。
【例9】在一个很大的湖岸边(可视湖岸为直线)A处停放着一只小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，以2.5m/s的速度匀速向湖中行驶，其方向与湖岸成角α=15°角。另有一人在缆绳断开时从自A点出发，他先沿湖岸走一段后再入水中游泳去追船，已知人在岸上走的速度v1=4m/s，在水中游泳的速度为v2=2m/s，问此人能否追上小船? 小船能被人追上的最大速度为多少？
6
【例10】如图所示，竖直平面上有一条光滑的四分之一圆弧轨道AB、它的圆心O与A点等高，A到B又有一条光滑的直线轨道，小球从A点自静止出发沿AB轨道到达B点所需的时间记为t1，沿直线轨道到达B点所需的时间记为t2，试比较t1和t2的大小。 若圆环轨道不足四分之一圆弧，但最低点的切线仍水平，且直线轨道仍连接圆弧两端，再讨论之。
第Ⅱ单元 抛体运动
1．抛体运动
质点在地面附近不大的范围内，以一定的初速度抛出，抛出后只在重力作用下的运动称为抛体运动。初速度水平时为平抛运动，初速度斜向上时为斜上抛运动，初速度斜向下时为斜下抛运动；但不论哪种运动，其研究方法都相同的。下面我们以抛射角为θ的斜上抛运动为例不讨论问题。
(1)抛体运动的规律
由于抛体运动只受重力作用，由此产生的加速度恒为g，方向竖直向下。根据运动的性原理，可以将抛体运动分解为两个直线运动的合成。
①将斜抛运动分解为初速度v0方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动的合成。其运动如图所示。
②将斜抛运动分解为水平方向上的匀速运动与方向上的抛体运动。如图所示，以抛射点为原点，在抛射面内建立直角坐标系，取水平方向为x轴，取竖直方向为y轴，将各矢量沿这两个方向进行分解。这样，抛体运动在水平方向的分运动是速度为vx的匀速直线运动，竖直方向上是初速度为vy的竖直上抛运动，这样，质点在任一时刻的速度与位置坐标分别是：
vx= v0cosθ；vy= v0sinθ-gt 1x= v0tcosθ；y=v0sinθ·t-gt2 2根据任一时刻的位置公式消去时间t可以得到斜抛的轨迹方程 g
y=xtanθ-22x2
2v0cosθ
这个轨迹是一条抛物线．应用数学知识可以确定抛体运动的范围，寻找射中目标所必须满足的条件等等。
(2)射高和射程
在斜抛运动中，轨迹最高点的高度叫做射高Y，物体被抛出的地点到落地点的水平距离叫做射程X，做斜抛运动的物体从被抛出到落地所用的时间T，叫做飞行时间。
设斜抛物体的初速度为v0，抛射角为θ。
7
2v0sinθ
利用竖直上抛运动的知识就可以求出飞行时间T: T= gv02sin2θ
求出竖直上抛分运动的最大高度就得到射高Y: Y= 2gv02sin2θ
已知飞行时间T，代入公式x= v0tcosθ中就求出射程X:X=
g
利用射程的表达式可以看出，当θ= 45°时，sin 2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小，如果两个抛射角θ1和θ2互为余角，即θ1+θ2=90°，二者的射程就相同，
(3)抛体运动的研究应注意以下两点：
(a)水平方向的运动与竖直方向的运动具有等时性
(b)从轨道的最高点将抛体运动分为前后两个运动阶段，其运动特点具备对称性
2．类抛体运动 只要物体在某一方向上作匀速运动，且在其垂直的方向上做匀变速运动，那么，它的运动性质就与抛体运动类似，我们称其为类抛体运动。类抛体运动是最基本的运动形式之一。
事实上，类抛体运动的处理与抛体运动的处理在方法与思路上完全是一致的，只要正确理解运动的性，抓住匀速运动与匀变速运动间的等时性，用好类比的思想，这类问题都能得到较完美的处理。
有时候，物体运动的轨迹是抛物线，但它并不一定是类抛体运动，这时候，我们可以通过构造抛体运动的方式得到相应的抛物线轨迹，从而求解与抛物线性质相关的问题。
〖典题精析〗
【例1】在水平地面上有A、B两点，从A、B两点以同样大小的初速度v0=20 m/s同时抛出两块石子，A石块沿较高曲线飞行，B石块沿较低曲线飞行，两块石子都恰好落在对方的抛出点（图示）。已知A石子的抛射角为75°，问：抛出后经过多少时间两块石子之间距离最近？这距离等于多少？并在图上标出此刻两石子的大约位置。
【例2】如图所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点。问小球以怎样的角度抛出，才能使v0最小？
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【例3】如图所示为给一草地浇水的玫瑰(喷嘴)，它位于草坪的平面上，其顶为球形，且α0=45°，在球形顶上有一些完全相同的喷水孔，通过这些孔，水以相同的速率v0向不同的方向喷出。
(1)若玫瑰上的小孔分布均匀，喷头形成的水“钟”的形状是怎样的?
(2)若这些孔均匀分布，水将不能均匀地洒在草地上。规为了使水均匀地洒在草地上，则玖瑰上单位面
积上小孔的数目n与角α的关系。(计算中可不计喷嘴的大小)
第Ⅲ单元 圆周运动
1．匀速圆周运动
作圆周运动的质点在任意时刻与圆心间的距离R(半径)恒定，它在任意位置的速度方向总量沿圆周的切线方向，对圆周运动的定量描述一般是用R(半径)、v(线速度)或ω(角速度)来描述的。v或ω不变的圆周运动称为匀速圆周运动，这里的匀速是匀速率的意思，同时，我们应领会匀速圆周运动并不是一种匀速运动，因为速度的方向时时在变；同时,它也不是一种匀变速运动，因为加速度的方向也时时在变。速度大小变化的圆周运动被称为变速圆周运动。不论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，均存在着一个向心加速度，
v22
an==ωR=ωv R
2．正交分解法在匀速圆周运动中的应用
与抛体运动类似，圆周运动也可以分解为两个互相垂直方向上的分运动。如图所示，一质点A在t=0时刻从x轴正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，则质点的位移、速度、加速度均可在x方向与y方向上进行分解。
在x轴方向上：x=Rcosωt，vx=-ωRsinωt，ax=-ω2Rcosωt 在y轴方向上：y=Rsinωt，vy=ωRcosωt，ay=-ω2Rsinωt 后面我们将会看到，圆周运动的上述的分解表明，质点在x方向与y方向上的运动均为简谐运动，这正是后面我们用圆运动来研究简谐运动的依据。
3．变速圆周运动
9
v2
对于变速圆周运动，除了有向心加速度(法向加速度)an(=)，外，还存在着切向加速度
Rdv
aτ, 如图所示。切向加速度aτ(=，这里的v为速率)沿圆周
dt
切线方向，描述速度大小变化的快慢；法向加速度an垂直切线，即垂直速度方向，描述速度方向变化的快慢。所变速运动的合加速度为
a=an+aτ
由此可以看出，我们对圆周运动的研究可以从径向(半径方向)与切向两个方向对物体的运动进行研究。 物体作非匀速圆周运动时，物体所受合外力一般不指向圆心，合外力沿曲线法向方向的分力为向心力，产生向心加速度；沿曲线切线方向的分力产生切向加速度。
4．曲率半径
一般物体的曲线运动，我们亦可以用研究圆周运动的方法对运动过程中的某一点进行研究，当我们把曲线运动分成一段一段的、很短的部分组成的时候，那么每一段都可以看着是——段很短的圆弧，只要将曲线分得足够短，那么这种近似就足够地好。
所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧线，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径，此圆通常称为曲率圆，它是所有在该点与圆弧相切的圆中最大的圆。如图中，曲线在A点的曲率半径为RA，在B点的曲率半径为RB。我们不难理解，较平坦的曲线的曲率半径较大，较弯曲的曲线的曲率半径较小。在曲线上的任意一点都存在这一特性。
质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度an ，可以
v2
证明，an =，v为质点在该点的速度大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”。
R
在中学阶段，确定曲线上某点的曲率半径的方法有两种：一是数学方法，通过某种方法△s
找到曲率圆上某段圆弧△s所对应的圆心角△θ，然后利用圆的半径的定义式R=，即可得
△θ该处的曲率半径；二是利用物理方法，通过力学手段求出质点以某一速度v沿曲线运动至该v2
点处时的法向加速度an，再利用an =，即可求出该处的曲率半径。
R
5．平面的曲线运动
对于平面的曲线运动，除了常用的、在直角坐标下正交分解的研究方式外，还通常选择自然坐标与极坐标进行研究。
(1)自然坐标下的切向与法向加速度
有了曲率圆的概念后，在自然坐标下，则任何平面曲线运动都可通过引入曲率圆来研究其在曲线上的运动，因为它在任意一小段圆弧上的运动都可视为圆周运动的一部分，此时速度只有切向分量而无法向分量，加速度仍然有：
dv
切向加速度aτ=，反映速度大小的变化；
dt
10
v2
法向加速度an =，反映速度方向的变化。
R
(2)极坐标下的径向与横向加速度 如图所示，在极坐标下沿径向与横向分解元位移△r，易得： drdrdθ
ˆ+rˆ v==rdtdtdt
ˆ、ˆ分别为径向与横向的单位矢量。值得注意的是，式中rˆdθˆdˆdθdrˆˆ、都是变量，且有=，=-rˆ。 rdtdtdtdt
drdθ即有径向速度：vr=；横向速度：vθ= r。
dtdt进而可推得质点的加速度为： dvd2rdθ2d2θdrdθˆˆ+(r2+2a==[2-r ()]r)dtdtdtdtdtdt
d2rdθ2d2θdrdθ即有径向加速度：ar=2-r ()；横向加速度：aθ= r2+2。
dtdtdtdtdt
〖典题精析〗
【例1】若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示。月球变化的周期为29.5天(图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置示意图)。
求：月球绕地球一周所用时间T(因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球自转周期)。
【例2】狐狸以不变速度vF沿着直线AB奔跑，猎犬以不变的速率vD追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图所示，试求：
(1)此时猎犬运动加速度的大小； (2)猎犬追上狐狸的时间。
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【例3】某细杆可绕水平天花板上一个固定轴O旋转，细杆的另一端连接小球P，小球P又与一根细绳相连，细绳跨过天花板上的一个小滑轮A，可以被人用手拉动。已知OA间的距离为L，细杆、绳与天花板的夹角分别记为α、β，如图π
所示。设某时刻α+β≤，绳被拉动的速率为v，
2试求此时小球P的运动速率u及加速度a。
【例4】在半径分别为R和2R的两同轴薄壁圆筒A、B的两筒壁间，夹有一半径恰为小圆筒．当A、B两筒分别以ω1和ω2的角速度沿相反方向匀速转动时，小圆筒也跟着转动，小圆筒转动时，与A、B两筒的接触点间无相对滑动．如图所示．试求：
(1)小圆筒相对地面和相对B筒运动一周所需的时间各为多少？
(2)小圆筒上与B筒的接触点C此时相对地面和相对A筒的加速度各为多大？
1R 的2第Ⅳ单元 刚体的平动与定轴转动
1．刚体
物体内任意两点间的距离始终保持不变，从而使其大小和形状永远保持不变的物体。刚体是一种理想模型。
对于刚体的运动，我们主要研究其平面平行运动，这种运动的特征是刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任
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意平行于固定平面的截面作为研究对象。
2．平动
一个物体位置移动时，物体上任意两点的连线始终平行的运动。其中任意两点的运动情况（包括速度、加速度及运动轨道的形状等）完全相同，因而其上任何一点的运动均可代表整个物体的运动。
3．转动
一般指刚体的转动，包括定轴（绕一固定直线的转动）和定点转动（绕一固定点的转动）两类。
刚体的一般运动比较复杂，我们所研究的转动是指刚体绕着某一固定轴的转动，它的特点是刚体上各点均在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点作圆周运动的半径虽不相同，但在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。因而对刚体的整体研究可以代替对刚体上各点的研究。
对转动的描述有如下的物理量：
角位移(φ)：点对转轴转过的角度，单位：rad。
△φ
角速度(ω)：单位时间内的角位移，即ω=，单位rad/s。
△t△ω
角加速度(β)：单位时间内的角速度的变化，即β=，单位rad/s2。
△t 上述单位rad(弧度)为物理中的辅助单位，无量纲。
当角加速度β为常量时，刚体的转动为匀变速转动，其各量之间的关系类似于匀变速直线运动，有
1
ω=ω0+βt，φ=ω0t+βt2，ω2=ω02+2βφ (t0=0时，φ0=0)
2
由刚体的整体运动可推出刚体上各点的运动情况，设该点到转轴的距离为R，该点作圆周运动的线速度为v，切向加速度为aτ，法向加速度为an，刚体的角速度为ω，角加速度为β，因而
v2
v=ωR，aτ=βR，an=ωR= R
2
由上可知，只要知道了刚体的运动规律，便可求得刚体上各点的运动规律。 4．瞬心
在刚体作平面转动时，该平面上总能找到一点，其速度为零，该点即为刚体瞬时转动中心(简称瞬心)，这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。
确定瞬心的方法有两种：如图(a)所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图(b)所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速
vA度vA，则在与速度垂直的直线上，与A点距离为的点即为瞬心。
ω
注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。
〖典题精析〗
【例1】一只钟，分针长度是时针长度的两倍，求午夜过后几点钟时分针的未端点和时针的未端点沿两端点的连线方向的分离速度最大？
13
【例2】如图所示，细杆ABC靠在固定的半圆环上，两者处于同一竖直平面内，杆上B恰好落在圆环上，圆环的半径为R。已知A端沿半圆直径方向移动的速度大小为vA，求当杆与水平线的交角为θ时：
(1)杆的角速度ω；
(2)杆上与半圆相切点B的速度和杆与圆柱接触点B′的速度大小。
【例3】半径为r的圆柱沿水平面作无滑动的滚动，若已知角速度ω和角加速度β，且均不为零，如图所示。
①圆柱上速度方向和加速度方向一致的点的集合； ②圆柱上速度方向和加速度方向互相垂直的点的集合；
③证明圆柱的速度瞬心、加速度瞬心和圆柱中心的连线为一直角三角形。
第Ⅴ单元 规律·方法点筋
【例1】已知质点的位置坐标r如下，计算其加速度和速度。位置坐标：
r=16ti+25t2j
【例2】如图所示是盒式磁带录音机的磁带，某同学在听录7
音时发现：经过5min带轴上带卷的半径变为原来的，则85
再经过多长时间带轴上带卷的半径变为原来的？
8
A．5min B．7min C．8min D．10min
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【例3】两个线圈位于水平面上，其中间部分缠有不可伸长的轻线(图示)。这条线A点与两线圈轴等距离，A点开始竖直向上移动。这时线圈开始作无滑动地滚动，其轴不改变自己的方向，线也不沿线圈滑动，不在线圈上线段位于垂直线轴的竖直平面内。求当A点速度等于v，2α=120°时，两线圈靠近的速率u。线圈中间部分半径为线圈侧板半径的n=l/2。
【例4】两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别为β1=30°，β2=15°。冰雹竖直下落，打到玻璃上，两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖直向上运动，求两车速度之比。
【例5】三列蒸汽火车沿铁路直线轨道匀速行驶，对从火车上吹来的三股汽圈进行拍照，所得照片如图(a)所示(俯视)。第一列火车速度v1=50km/h，第二列火车速度v2=70km/h，它们行驶方向如图上箭头所示，求第三列火车的速度。
【例6】一质点沿直线运动，其速度随时间变化的关系图像恰好是与1
坐标轴相切的圆弧，如图所示。则质点在这20 s内的位移s为多少？
4质点在10 s时的加速度a为多大？
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【例7】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。
【例8】如图所示，半长轴和半短轴分别为a和b的一个椭圆，假定长轴是竖直方向。有一质量为m的质点沿椭圆的“直径”下滑，问此质点沿此椭圆的哪一“直径”下滑至原点所需的时间最短？
【例9】图中的AC、BD两细杆以匀角速度ω分别绕相距为l的两固定轴在同一竖直平面上转动，转动方向已在图中示出。小环M套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求M未落地前的运动速度大小和加速度大小。
【例10】直角三角板的边长BC=a，AC=b，开始时AB边靠在y轴上，B与坐标原点O重合，今使A点单调地沿y轴负方向朝O点移动，B点沿x轴正方向移动，如图所示的情况时，A点速度的大小为vA，试求此时C点的速度vC和加速度aC。
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【例11】如图所示，在高为h的山顶上向平地放炮，若炮弹出口速度大小为v0，问：v0与水平方向的夹角α为多大时，炮弹落点最远?
【例12】最大与地面成什么角度抛出石头，才能使石头在运动过程中始终远离抛掷石头的人?
【例13】通信战士为了检修位于河的固定通信设施，乘动力小船赴目的地。河的宽度为d，小船以相对河水恒定的速度u在河中航行。河水的流速与河岸的距离成正比，河岸处的河水流速为0，河处的河水流速为v。为了用最短的时间到达目的地，小船从河岸处船头垂直指向正对岸出发，求：
(1)小船经多少时间到达目的地（设小船的长度远小于河的宽度）； (2)小船出发点距目的地上游的距离是多少。
【例14】由光滑钢丝弯成竖直平面里一条曲线，质点穿在此钢丝上，可沿着它滑动(图示)。已知其切向加速度为-gsinθ，θ是曲线切向与水平方向的夹角。试求质点在各处的速率。
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【例15】如图所示，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R1，外环半径为R2，在两环之间分布的小球半径为r，外环以线速度vl顺时针方向转动，内环也以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心绕圆环中心转动的线速度v和球自转的角速度ω，设小球与圆环之间无滑动发生．
【例16】一余弦函数为y=Acosx，求其在峰值y=A处的曲率半径。
【例17】如图所示，一人作射靶游戏，为使每次弹都击中在靶面的同一条水平线上，则每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上，试加以证明(已知水平线离地面高度为h，与靶相距为d，子弹发射速率为v0)．
【例18】如图所示，有两个等质量的小球，在一光滑的水平直滑槽AB内运动，滑槽两端有固定的壁．两球之间及小球与壁之间的碰撞都是完全弹性的(即两球经过碰撞交换速度)．开始时，1、2两球分别位于将滑槽三等分的两个分点处，两球不等速但同方向． (1)若两球之间的第二次碰撞是在滑槽中点迎面相碰，求两球初速的比值；
(2)若两球之间的第5次碰撞是在滑槽中点迎面相撞，求两球初速的比值，能满足要求的解有几种?
[提示]可以先求出满足要求的一种解(即初速比值)，再求出满足要求的所有的可能解．
18
【例19】迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山，迫击炮到山顶的水平距离为a,目标到山的距离为b。试求为击毁目标，炮弹必须具有的最小初速度以及发射角。
【例20】湖湾成顶角为α的楔形，岸上住有一个渔夫，他的住房A到湖湾一边的距离为h，到湖湾顶点的距离为l。渔夫有一个好友住在湖对面的B处，A、B两点的位置关于湖对称(图示)。渔夫有一只小船，他可以以速度可在岸上行走，也可以以速度v/2在湖中划行。求他从A到B的最短时间。
过关练习
1．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，已知出发后第k秒通过的距离是S1，第l秒通过的距离是S2，第m秒通过的距离是S3，求证：
S1(l-m)+S2(m-k)+S3(k-l)=0
2．在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、L2和L3，L2与L1相距80m，L3与L1相距120 rn.每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间间隔都是40s．L1与L3同时显示绿色，L2则在L1显示红色经历了10s时开始显示绿色，规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s.若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率为 m/s．若一辆匀速向前行驶的自行车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是 m/s.
3．飞机以350km/h的速度飞行，在北纬 的飞机上的人可以看见太阳不动地停在空中。 A．约78°由东向西飞行 B．约12°由东向西飞行
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C．约78°由西向东飞行 D．约12°由西向东飞行
4．一木板竖直地立在车上，车在雨中匀速前进一段给定的路程，木板板面与车前进的方向垂直，其厚度可以忽略，设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速竖直下落，下列诸因素中与落在木板上雨点数量有关的因素是( )． A．雨点下落的速度 B．单位体积中的雨点数 C．车行进的速度 D．木板的面积
5．质点做直线运动，0≤t≤T时段内瞬时速度为v=v0为
v0πv02v0
A．v0 B． C． D． 24π
6．固定的正方形框架如图所示，AC、BD分别为框架对角线，
O为对角线交点，现有弹性小球1、2分别位于OB、OC中点处，试问：若使小球2经过CD、AD的两次反弹最终与小球1相碰，需要多长时间？(设框架边长为l，球运动的速度大小为v。)
7．木排停在河面上固定不动，到岸距离L=60m，河水的流速与离岸的距离成正比，在岸边时，河水流速为v0=0，在木排处河水
流速为vL=2m/s。小汽船离岸驶向木排，船对水的速度为v=2m/s，起航前应使船指向何方，才能使以后无需校正船速就能靠上与起航处正对面的木排，靠上时船航行了多少时间?
8．如图所示，一串相同汽车以等速v沿宽度为c的直公路行驶，每车宽为b，头尾间距为a，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少？
9．如图所示，在xy平面上有两个半径均为R的圆，左圆圆心固定在坐标原点O，右圆圆心O沿x轴以速度v0作匀速直线运动，t=0时刻两圆心重合。试求两圆交点之一P点的速率v及向心加速度an与时间t的关系。
10．4只蜗牛在一个非常大的平台上各自做匀速
直线运动，其运动路径的方向是随机的，(但是没有平行的，也就是说任何两只蜗牛都有可4×3
能相遇)，但是没有任何两只以上的蜗牛的路径会相交于一点。如果4只蜗牛可能相遇的
2=6次中的5次已经发生，我们是否可以预言第六次相遇能否发生?
11．一位足球运动员想在球门正前方50m处将球踢进球门，踢出的足球具有的初速率为25m/s，为防止守门员将球接住，他选择进球位置在正前方球门水平横梁下方80cm之内区域。若横梁高度为3.44m，试问他应在什么倾角范围内将球踢出?
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t1-()2，则这段时间内的平均速度T
12．各边长为a的正五边形的五个顶点各有一个质点，分别为A1、A2、A3、A4和A5，如图所示。今使质点A1始终对准质点A3运动，A3始终对准A5运动，A5始终对准A2运动，A2始终对准A4运动，A4始终对准A1运动，运动速率均为相同的u。试问经多长时间t，五个质点相聚?
13．4根长度同为l的细杆，用铰链首尾相连，组成一个菱形ABCD，放在水平面上，如图所示，设A端固定，C端沿着A、C连线方向运动，当∠A恰为90°时，C端的速度为v，加速度为a，试求此时B端的速度vB与加速度aB的大小。
14．雷达观测员正在监视一个越来越近的抛射体，某一时刻测到如下信息： (1)抛射体达到最大高度且以速度v沿水平方向运动。 (2)观测员到抛射体的直线距离为L。
(3)观测员观察抛射体的视线与水平方向成θ角。
假设地球表面为平面且观测员位于抛射体轨道所在的竖直平面内，试问若抛射休不能击中观测者v应满足什么条件？
15．如图，一盛水容器从静止开始向右做加速度为a0的匀加速直线运动，运动开始时(t=0)容器下部同时向下漏水，单位时间内向外漏出的水量为m0，且初速度为0。试计算： (1)任意t0(>0)时刻，漏水迹线的迹线方程。
(2)任意t0(>0)时刻，漏水迹线中的质量线密度λ随y坐标的变化关系。
16．如图所示，轻绳的一端固定在A点，另一端系一小球。当小球沿圆周逆时针方向运动到P点，绳子恰好松弛，此时轻绳与水平方向的夹角α满足关系：0°<α<90°。求小球从P点运动至最高点所需的时间t1与绳子保持松弛的时间t2的比值。
17．如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接．物体A在下面的轨道上以匀速率v运动．在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离，设绳长BO远大于滑轮直径，求：
(1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；
(2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间．
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18．长度为l=10cm的棒AB在光滑水平面上转动，同时以速度v=10cm/s滑动，离棒的中心距离L=50cm处有一竖直墙。要使棒平看与墙相撞(如图所示)，试问棒的角速度应为多少？
设以此时AB为x轴，并设A为x轴的起点O，求碰前瞬间棒上离A点距离为x的任意点速度vx的函数表示式。
19．如图所示，圆锥直立在水平面上，薄园盘靠着它在水平
面上无滑动地滚动，底端所在的直径在圆锥的母线上，圆锥的顶角为2α，底面半径等于圆盘的半径，如果圆盘圆心的速度为v，请求出水平直径端点的速度。
20．在如图所示的机构中，OA=OB=a，滑块B的速度v等于常数，OA⊥OB，v的方向垂直AB，求力求位置AB和OA的角速度ω和角加速度β。
21．有两把齿距不同的梳子，其中一把每厘米有4个齿，另一把每厘
米有5个齿。今将其重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替出现。如果把其中的一把梳子以1cm/s的速度移动，问亮的部位将以多大的速度移动?
22．一半径为R的半圆柱面在水平面上向右作加速度为a的匀加速运动，在柱面上有一系在水平绳子端的小球P，绳子的另一端研究下面墙上。如图所示，当小球相对于半圆柱面的角位置为θ时，半圆柱面的速度为v，求此时小球的速度大小和加速度的大小。
23．一只老鼠在圆形湖边玩耍时碰上一只猫，它想回洞已来不及，只好跳入湖中力图逃走。已知猫在岸上跑的速率是老鼠在湖中游的
速率的4倍，沿湖边周围有很多鼠洞，那么老鼠能否逃脱猫的捕抓呢？如不能请说明理由，如可能，请设计最佳路线。（猫不会游泳，老鼠也不能长时间地待在水中）
24．如图所示，半径为R的大环固定，半径为r的小环贴着大环的内壁作纯滚动，小环的边缘某点滚出的曲线叫做内滚轮线，求内滚轮线的最大曲率半径ρ，已知R=4r。
25．图示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB杆和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分
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别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动(类似铰链)。当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度ac的大小和方向(用与CD杆之间的夹角表示。)
26．如图所示，倾角为α的一个光滑斜面，由斜
面上一点O通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速度为v，抛出方向与斜面交β角，α+β<
。 2 (1)若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求α、β、n满足的关系式。 (2)若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后的值是碰前值的e倍，0 en-2er+1=0 27．河岸边有人A，他可以在岸上以速度v奔跑，也可以在水中以速度u（相对水）游泳，水流速为ω，如图所示。离岸d处有浮筒B（用锚链固定在河底上），开始AB' =l。问此人应在何处下水，才能使它到达B的时间最短。 28．长L的均匀弹性绳AB自由伸直地放在光滑水平桌面上，绳的A端固定．t=0时，一小虫开始从A端出发以相对其足下绳段的匀速度u在绳上朝B端爬去，同时绳的B端以相对桌面的匀速度v沿绳长方向运动，试求小虫爬到B端的时刻te． 附注：B端运动使绳各部分之间有相对运动，绳的整体不可作为小虫运动的参考物，严格而言，不宜说“小虫开始从A端出发以相对绳的匀速度u在绳上朝B端爬去”．但是可以说“……以相对其足下绳段的匀速度u在绳上朝B端爬去”，因为小虫已按习惯模型化为质点，“其足下的绳段”当为无穷短绳段，无穷短时间内此绳段各部分间相对运动可略，故可取为该时刻附近小虫爬行运动的“瞬时”参考系． 29．一湖南、北两岸各有一码头A和B，有甲、乙两船分别于A、B间往返穿梭匀速航行，且船每到一码头立即返航。某时刻，甲和乙刚好同时分别自A和B出发，此后，两船的第一次相遇点距A码头300m，第二次相遇点距B码头200m。求湖宽是多少？自第一次相遇后，甲船至少还要航行多少航程，这两船才会在第一次相遇的位置同样地相遇？ 30．火炮从掩蔽所下向外发射炮弹，掩蔽所与水平成α 23 角，炮位O 与掩蔽所顶点P相距l，如图所示，炮弹发射的初速度为v0，试求炮弹的最远射程。 参： 12 1．证明略。 2．m/s。 1313l6． 2v3．A。 4．B、D． 5．C 7．34.6s c(a2+b2)8． vab 10．略。 0.4a12． v Rv0Rv02 9．v= ；an= 4R2-v02t2 4R2-v02t211．29.7°<α<31.2°或62.9°<α<63.2° 2l2a2v42lav213．vB=2vBx=v；aB= 22l14．v＞Lgcotθcosθ 或v＜2Lgcotθcosθ 2 15． (1) 直线x=16．1：4 17． (1)vP = ga1α0t02- y。 (2)λ(y)= 2g2y113v，与BO的夹角α=tan-1(3/6) ； (2)t=(v216ghv)。 4g12πl2πl 18．(1)当ω= ard/s时，vx=v-ω+ωx=6.86+0.63x(cm/s)；(2) 当ω= ard/s时，vx=v+ω 52523πl -ωx=16.28-1.26x(cm/s)；(3)当ω= ard/s时，vx=v-ω+ωx=0.58+1.88x(cm/s)； 5219．V端= cosα2 ( )+1+1 v=1-sinα 3-sinα v 1-sinα vv2 20．ωAB=，ωOA=0，βAB=0，βOB=2 aa 21．当白色梳子不动v1=5cm/s，此时亮段移动速度方向是向右的，即亮段移动速度方向与移 动的梳子(黑梳子)的移动速度方向是相同的。 当黑色梳子不动v2=4cm/s，此时亮段移动速度方向是向左的，即亮段移动速度方向与移动的梳子(白梳子)的移动速度方向是相反的。 22．aP= v22 a (cosθ-1)+(asinθ-) R 2 2 23．略 24．ρmax=6r= 3R 2 25．aC= 742 ωl，aC的方向与杆CD间的夹角80.54° 8 L 28．(ev/u-1) v 26．(1)cotαcotβ=n， (2)(1-e) cotαcotβ=1-en，(3)略 ωd(v+ω)u 27．A的上游l+处下水。 22-du(v+ω)-u(v+ω)2-u224 29．(1)s1=2400m两船又和第一次“同样地”相遇． (2)s2=3×2×700=4200m两船又和第一次“同样地”相遇． (3)两船不可能有和第一次“同样地”相遇的情况发生。 π 30．(1)若v0 最大射程Lmax= g (2)若v0≥gl sin2α ，由v02 sin2 (θ-α)= gl sin2α可知，炮弹发射角θ取以下值时，其轨道与掩蔽所相切．θ=α+arcsin 所以 π (i)若上式表示的θ≥ ，即v0≤ 4v02 Lmax= gπ (ii)若θ< ，即v0> 4 gl sin2αgl sin2α ，则炮弹的发射角θ取θ=α+arcsin 1- sin2αv0 gl sin2απ ，则只要取θ= ，炮弹就可获最大射程 1- sin2α4 gl sin2α v0 v02gl sin2α 炮弹就可获最大射程Lmax= sin2(α+arcsin ) gv0 25
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