2021年上海市奉贤区高考数学二模卷 详解版

高三数学（2021.4）

（完卷时间120分钟，满分150分）

一．填空题(本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分, 7-12题每个空格填对得5分) 1、 经过点2,4的抛物线yax2焦点坐标是__________．

2、把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是__________厘米． 3、 已知z1i2（i是虚数单位）是方程xax10aR的一个根，则1iza__________．

24、 已知各项为正的等差数列an的前n项和为Sn，若a5a7a60，则S11=_______．

5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元． 家庭年收入 （以万元为单位） 频率f 4,5 0.2 5,6 0.2 6,7 0.2 7,8 0.26 8,9 0.07 9,10 0.07

6、某参考辅导书上有这样的一个题：

你对这个题目的评价是________________________________________．（用简短语句回答） 7、用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件A码中至少有两个1的概率是__________．

8、设Sn为正数列an的前n项和，Sn1qSnS1，q1,对任意的n1，nN均有

Sn+14an，则q的取值为__________．

9、函数y3xa在0,内单调递增，则实数a的取值范围是__________． x31nn11310、假如x的二项展开式中x项的系数是84，则x二项展开式中系数最小

xx的项是__________．

11、函数fxcos2x(xZ)的值域有6个实数组成， n则非零整数n的值是_________． 12、如图，已知P是半径为2圆心角为

的一段圆弧AB上的一点， 312题图若AB2BC，则PCPA的值域是__________．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．

13、如图，PA面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）

A．PC与BD B．PB与DA C．PD与AB D．PA与CD 14、下列选项中，y可表示为x的函数是（ ）

A．3x0 B．xy

2C．sinarcsinxsiny D．lnyx

y22313题图15、已知x1、x2、y1、y2都是非零实数，x1x2y1y2x12y12要条件是（ ）

2x22y22成立的充

1A．x20x11y21001y11B．y1

0x1y2100x2

001C．y10x1x2110x11y11001y2

000 D．x2y2016、设点A的坐标为a,b，O是坐标原点，向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，则

A的坐标为（ ）

A．acosbsin，asinbcos B．acosbsin，bcosasin C．asinbcos，acosbsin D．bcosasin，bsinacos

三．解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分） 17、已知M、N是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点 异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos10 10 （1）、求证：M、N、B、D在同一平面上； （2）、求二面角 CMNC1的大小．

18、设函数fxlg1cos2xcosx，0, （1）、讨论函数yfx的奇偶性，并说明理由； （2）、设0，解关于x的不等式f

19、假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为170,200,0．上午10时07分测得飞行机器人T在

2

x43fx0． 4P150,80,120处,并对飞行机器人T发出指令:以速度v113米/秒沿单位向量4312，10秒后到达Q点，再发出指令让机d1，，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物）

131313器人在Q点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，

121再沿单位向量d2，，当飞行机器人T最22，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物）2终落在平面xOy内发出指令让它停止运动．机器人T近似看成一个点． （1）、求从P点开始出发20秒后飞行机器人T的位置； （2）、求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米）．

z O x

PyA19题图x2y2x2y220、曲线1与曲线1a0在第一象限的交点为A．曲线C是

49a1ax2y2x2y21（1xxA）和1（xxA）组成的封闭图形．曲线C与x轴的左交

49a1a点为M、右交点为N．

x2y2x2y2（1）、设曲线求线段AF的1与曲线1a0具有相同的一个焦点F，

49a1a方程；

（2）、在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由． （3）、设过原点O的直线l与以Dt,0t0为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为

T．直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q．当

成立，求t的值．

1 OP2+1OQ2=OT对任意直线l恒

2

anksinananan121、设数列an满足，an1，an1an，设a1a，a2b． ankcosananan15（1）、设b=，k，若数列的前四项a1、a2、a3、a4满足a1a4a2a3，求a；

6（2）、已知k0，n4，nN，当a0，，b0，，ab时，判断数列an是

22否能成等差数列，请说明理由；

7（3）、设a4，b=7，k1，求证：对一切的n1，nN，均有an．

2

2020学年奉贤区学科教学质量调研

高三数学（2021.4）

（完卷时间120分钟，满分150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分. 1、经过点(2,4)的抛物线yax2焦点坐标是 【答案】(0,)

【解析】因为yax2过(2,4)，所以a1，即yx2焦点坐标是(0,)

2、把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设 没有任何损耗），则圆锥的高是 厘米 【答案】8

2【解析】由已知得，S球4R16，即R2

1414因为圆锥的底面半径与球的半径一样，所以rR2 因为V球V圆锥，所以R3r2h，解得h8 3、已知z【答案】1 【解析】由z43131i（i是虚数单位）是方程x2ax10(aR) 的一个根，则za 1i1i得，zi，所以zi， 1i根据题意，由韦达定理可知a0，所以za1

24、已知各项均为正的等差数列an的前项和为Sn，若a5a7a60，则S11

【答案】22

【解析】因为an为各项均为正的等差数列

220得，2a6a60即a62或a60（舍去） 所以由a5a7a6所以S1111a622

5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入 为 万元

家庭年收入 （以万元为单位） 频率f

【答案】6.51

【解析】本题考察频率的计算，平均收入=区间范围中点频率 由表可知，区间范围中点分别为4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5 所以该社区内家庭的平均年收入为：

4,5 0.2 5,6 6,7 0.2 0.2 7,8 0.26 8,9 0.07 9,10 0.07 4.50.25.50.26.50.27.50.268.50.079.50.076.51（万元）

6、某参考辅导书上有这样一个题：

ABC中，tanA与tanB是方程x23x10的两个根，则tanC的值为（ ）

A.3311 B. C. D. 2222你对这个题目的评价是 （用简短语句回答） 【答案】无正确选项，条件自相矛盾，是错題，无解（意思对即可）

【解析】由已知得，tanCtanABtanAtanB

1tanAtanB由韦达定理易得，tanAtanB3和tanAtanB1，即tanC所以C为钝角

又因为tanAtanB10，所以A或B为钝角，有矛盾. 故该题目是个错题，不构成三角形

3 2

7、用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一 码，则事件A{码中至少有两个1}的概率是 【答案】

11 1【解析】所有的码长为4的二进制数有216个，其中1的个数为0的有1个，1的个数 为1的有4个，所以所求概率为P

8、设Sn为正数列an的前n项和，Sn1qSnS1,q1，对任意的n1,nN均有

161411 1616Sn14an ，则q的取值为

【答案】2

【解析】由Sn1qSnS1,q1—①得，

n2时，SnqSn1S1—②，由①-②得，an1qann2

因为当n1时，S2qS1S1，即a2qa1，满足上式， 所以{an}为首项为a1，公比为qq1的等比数列. 因为对任意的n1,nN均有Sn14an， 所以

a11qn11q4a1qn1，即qn1q21

2若q2，则q

n1q22矛盾，故q2

9、函数y3xa在(0,)内单调递增，则实数a的取值范围是 3x1【答案】(,4]

【解析】【法1】令t3x1,t2,+ ①当a0时，yta1t2为单调递增函数， t故由同增异减法则知原函数单调递增；

，所以原函数若为单调递增， ②当a0时，因为31值域为2，x则a应满足a2，即a(0,4] 综上，a(,4]

【法2】定义法：“任取，作差，定号”转化为恒成立问题易得a(,4]

1110、假如x的二项展开式中x3项的系数84，则x二项展开式中系数最小的

xx项是 【答案】nn126 xrrnr1【解析】由已知得，Tr1Cnx84x3，

x

r则1Cn84,n2r3，从而有C2rr384，

r可以证明C2r3随着r增大而增大，又r3时满足，故n9.

r1112654此时x展开式中系数最小的项为C9 xxxx9511、函数f(x)cos2x,xZ的值域有6个实数组成，则非零整数n的值是 n【答案】n10或11 【解析】如图所示，画单位圆

cos22x在单位圆上，圆心角为x的点的横坐标， nn当n为偶数时，圆上共有10个点，所以n10 当n为奇数时，圆上共有11个点，所以n11 所以n10或11

12、如图，已知P是半径为2，圆心角为

的一段圆弧AB上的一点，若AB2BC，则 3PCPA的值域是

【答案】[5213,0]

【解析】如图建立坐标系，取AC中点M，

1

则M为,0，圆心Q为(0,3)

2

2 M2PAPC(PMMA)(PMMC)PMMA2PM其中|PM|min2|MQ|29 413 2|PM|maxAM3 2所以值域为[5213,0]

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的

相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13、如图，PA面ABCD，ABCD为矩形，连接AC,BD,PB,PC,PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ） A. PC与BD B. PB与DA

C. PD与AB D. PA与CD 【答案】A

【解析】因为ABCD为矩形，所以AC与BD不一定垂直，故A不一定成立 14、下列选项中，y可表示为x的函数是（ ） A. 3x0 B. xy C. sin(arcsinx)siny D. lnyx 【答案】D

【解析】A.当x3时，y2；B.当x1时，y1 C.当x0时，ykkZ；D.y可唯一表示为yex

2|y|2232故选D

15、已知x1、x2、y1、y2都是非零实数，x1x2y1y2x12y12是（ ）

2x222y2成立的充要条件

1A.x200x11y20x1x21001y1100y21B.y100x1y2100x2

1C.y101D.x200x11y11001y2【答案】C

2222【解析】由条件展开化简2x1x2y1y2x1y2x2y1，即x1y2x2y1，

分别展开四个选项验证知C成立

16、设点A的坐标为(a,b)，O是坐标原点，向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，则

A的坐标为（ ）

A. (acosbsin,asinbcos) B. (acosbsin,bcosasin) C. (asinbcos,acosbsin) D. (bcosasin,bsinacos) 【答案】B

【解析】【法1】引入：【复数逆时针旋转公式：zcosisin； 顺时针旋转公式：zcosisin】 因为向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，

设A对应的复数为zabia,bR，A对应的复数为z， 则zzcosisinabicosisin

acosbsinasinbcosi

所以A为(acosbsin,bcosasin) 故选B

【法2】记|OA|R，终边为OA的角（之一）记为，则根据三角比的定义可知：

aRcos,bRsin.经过旋转后，终边为OA'的角可表示为，故再根据三角比定义

'知A坐标为Rcos,Rsin=acosbsin,bcosasin，故选B

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17． 已知M、N是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱B1C1、异面直线MN与AB1C1D1的中点，所成角的大小为arccos10. 10（1）求证：M、N、B、D在同一平面上； （2）求二面角CMNC1的大小. 【答案】（1）证明略；（2）arccos33. 33【解析】画出图 连接MN、DB、D1B1

因为M是棱B1C1的中点. N是棱的C1D1的中点,

MN平行D1B1

DB平行D1B1

所以MN平行DBM、N 、B 、D确定一个平面 即M、N 、B 、D在同一平面上

（2）由（1）可知AB1D1（或其补角）是异面直线MN与AB1所成的角 设底面ABCD的边长为a, 正四棱柱高h

AB1a2h2,AD1a2h2,B1D12a

cosAB1D1a2h22a2a2h22a2h22a10, 解得h2a 10取MN的中点O, 因为CMCN,C1MC1N,

则COMN,C,OMN,COC1是二面角CMNC1的平面角

C1OCC12a2a,RtCOC1中, tanCOC142 4OC12a4二面角CMNC1的大小为arctan42

18． 设函数f(x)lg(1cos2x)cos(x)，[0,).

2（1）讨论函数yf(x)的奇偶性，并说明理由； （2）设0，解关于x的不等式f(4x)f(3x)0. 4【答案】（1）当0时，f(x)为偶函数；当(0,)时，f(x)为非奇非偶函数；

2（2）x(32k,2k)(2k,2k)，kZ. 22【解析】（1）根据对数有意义，得1cos2x0,cos2x1

xkkZ定义域关于原点对称，….…2分

当函数是偶函数，那么有fxfx,

lg[1cos2x]cosxlog1cos2xcosx

cosxcosx

展开整理得2sinxsin0对一切xkkZ恒成立,

0,0….…2分

2当函数是奇函数，那么任意定义域内x0有fx0fx00， 例如x04,f4f0 4flg1coscoscos 4244flg1coscoscos

2444f4f0， 推得cos0，显然这样0,是不存在的, 42所以当0,时既不是奇函数又不是偶函数….…2分 2说明假命题只能举反例. （2）fx43fx0代入得 433lg1cos2xcosxlg1cos2xcosx0

4444这一步没有分

3lg1sin2xcosxlg1sin2xcosx0

44( 四个式子必须全对才有2分) ….…2分

化简cosxcosx0 展开整理得 2cosxcos0……2分

4440,cos0, 所以 cosx0….…1分

24cosx04xk1,k1Z,k2Z（这一步一定要有，没有扣1分） 434xk2所以不等式解集为2m

19. 假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为(170,200,0)，上午10时07分测得飞行机器人T在

4,2m335,2m2m444,mZ….…3分 P(150,80,120)处，并对飞行机器人T发出指令：以速度v113米/秒沿单位向量

3124d1(,,)作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q点，再发出指令让机

131313器人在Q点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量d2(,1221,)作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T最终22落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点. （1）求从P点开始出发20秒后飞行机器人T的位置；

（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米）. 【答案】（1）T(212,200322,48)；（2）最近距离约为73米. 【解析】（1）设飞行时间为t秒， T的位置x,y,z 当0t10时， v13

PT1d,113t,4312x150,y80,z12013t,,

131313x1503t当0t10时，所以y8012t

z1204tt10得Q180,200,80 ………………………………..…4分

当10t12时，Q180,200,80 ………………………………..…1分 当12t32时

121QT2d,28t12,x180,y200,z808t122,2,2

x1804t121324t所以y20042t1220048242t

z804t121284tt20秒后飞行机器人T的位置212,200322,48………..…3分

（2）当0t10时，AT1503t17028012t20021204t2 AT169t23690t29200定义域内单调递減

t10,ATminAQ106581………..…2分

当10t12时 ATmin AQ106581……………………..…1分 当12t32时，T1324t,20048242t,1284t

|AT|1324t17020048242t2001284t 222|AT|4t38248242t21284t2 |AT|t22096t22436 131|AT|t5275

8t16.375,ATmin73…………………………………………………..…2分

答: 在整个行驶过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离73米. …………………1分

2x2y2x2y220.曲线1与曲线1（a0）在第一象限的交点为A，曲线是C是

1a49ax2y2x2y21（1xxA）和1（xxA）组成的封闭图形，曲线C与x轴的左交1a49a点为M、右交点为N.

x2y2x2y2（1）设曲线1与曲线1（a0）具有相同的一个焦点F，求线段AF的

1a49a方程；

（2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由； （3）设过原点O的直线l与以D(t,0)（t0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T，直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q，当成立，求t的值. 【答案】（1）A,（3）不存在t 【解析】（1）a24,1OP21OQ2OT对任意直线l恒

2724,a24,；（2）NS2，2个S；（3）t1

554207724A,,F5,0，线段AF的方程：yxx5 33555一共5分，每个量1分，表达式1分，定义域1分必须写

（2）【法1】N7,0,NF2 ………………………………1分

x2y21上 假设点S在曲线

1247SNx72y2x7224x2125x214x501x单调递增

5SN6………………………………1分

x2y21上 ………………………………1分 所以点S不可能在曲线

124x2y21 上，………………………………1分 所以点S只可能在曲线

4924根据NFNS得

x72y242161482可以得到S,………………………………………1分 xy252514924所以这样的点一共2个 ……………..………….……………1分

【或者法2：NFNS2】

x72y24x72y2422(1) 或(2)……….……………2分 x2y2y11x492424(1)可以得到S16148, (2)无解……….……………2分 2525所以这样的点一共2个……….……………1分 （3）设直线方程ykx，圆方程为xtyr,2220r1

直线与圆相切，所以|kt|k1222r

t2OTOTODDT2….………….……1分

k1222ykx2a11ak2….……………1分 xp,22y22222akk1a1OP1kxpxaykx249a11a49k22….……………1分 x0,xy222222a49k1kx49k1a1OQ049aak2a49k21ak2a49k250 222222k1a49k1ak1a49a49k1OPOQ11根据

1OP21OQ2OT，得到

250252tt…….……………2分 49750k2242425，存在r0k0,0,1t2 249k17357242，不存在t…….……………1分 r,135

21. 设数列{an}满足：an1anksinanankcosananan1，an1an，设a1a，a2b.

anan1（1）设b5，k，若数列的前四项a1、a2、a3、a4满足a1a4a2a3，求a； 6（2）已知k0，n4，nN，当a(0,)，b(0,)，ab时，判断数列{an}是否

22能成等差数列，请说明理由；

（3）设a4，b7，k1，求证：对一切的n1，nN，均有a6. 【答案】（1）725； （2）不可能，见解析；（3）；见解析 3【解析】（1）当ab时，

5a3a2sina2,a4a3cosa3

6233265根据条件得 a1a4a2a3a…….……………3分

3当ab时，a3a2cosa253533, 626(533)a4a3sin0 6所以a4a3,a31 a4a3a2 与ab不符合，舍去…….……………2分 a4根据条件得 a1a4a2a3,aa2所以a5 3（2）假设数列an成等差数列，设公差为d

因为ab，所以da2a1ba0,因此dan1anksinan,， 则an是单调递增的正数列…………1分 2dan2an1ksinan1

所以sinansinan1………………………………………………………………….…….3分 得到an1an2m,m0,mZ（舍去）或者anan12m,m0,mZ 从而an1an22I,l0,IZ,Im

推得an2an2Im2d,dIm与dan1an0,以数列不可能成等差数列. （3）设a4,矛盾.….2分所2b7,k1

得到a37sin787 27………………………1分 277假设数列an中有不小于的项，设ak是第一个不小于的项，(k4,kN),

227即ak1ak………………………………………………………………….…1分

2得到a4a3sina37sin7sin7sin79sinananan1根据运算性质可以得an1an，即数列中的任何相邻两项的差都不大于

cosaaannn11，因此3777，即ak13,1ak1222, sinak1ak1ak20， 而在这个区间中sinak10,cosak10, 从而akak1cosaaak1k1k2得到akak13,72产生矛盾 所以对一切的nN, 均有an7……………………………………….…5分 2