2010年上海高考数学文科试卷带详解

数学（文科）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.已知集合A1,3,m，B3,4，AB1,2,3,4则m . 【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】直接给出两个集的并集，根据集合的定义求元素. 【参】2

【试题解析】显然m=2. 2.不等式

2x0的解集是 . x4【测量目标】解一元二次不等式.

【考查方式】直接给出分数不等式，求不等式的解集. 【参】x|4x2 【试题解析】

2x0等价于（x2）(x+4)<0,所以4x2. x4ππsin66

3.行列式的值是 .

ππsincos66

cos

【测量目标】行列式的运算.

【考查方式】直接给出行列式，根据行列式运算法则求值. 【参】0.5 【试题解析】

ππsin

πππππ166

=coscossinsincos.

ππ666632sincos66cos

4.若复数z12i（i为虚数单位），则zzz .

【测量目标】复数的基本运算.

【考查方式】直接给出复数z，求其共轭复数，进而根据运算法则求值. 【参】62i

【试题解析】zzz(12i)(12i)12i62i.

5.将一个总数为A、B 、C三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取 个体. 【测量目标】分层抽样.

【考查方式】给出样本，根据分层抽样求样本的个体. 【参】20

【试题解析】从C中抽取100220. 106.已知四棱椎PABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA8则该四棱椎的体积是 . 【测量目标】锥的体积.

【考查方式】直接给出四棱锥的底面边长和高的值，利用椎体体积公式求体积. 【参】96 【试题解析】V136896. 37.圆C:x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d . 【测量目标】点到直线的距离公式.

【考查方式】给出圆一般方程，得到圆心坐标，根据点到直线的距离公式求解. 【参】3

【试题解析】圆心（1,2）到直线3x4y40距离为

3142453.

8.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则P的轨迹方程为 .

【测量目标】抛物线的定义及其标准方程.

【考查方式】给出符合抛物线定义的动点数据，利用代数关系求动点的轨迹方程. 【参】y28x

【试题解析】P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x. 9.函数f(x)log3(x3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是 . 【测量目标】反函数的概念和性质.

【考查方式】直接给出函数，求其反函数，进而得出交点坐标. 【参】(0,2)

【试题解析】函数f(x)log3(x3)的反函数为y33，另x=0，有y=2. 10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率 为 （结果用最简分数表示）. 【测量目标】随机事件与概率.

【考查方式】给出等可能事件，利用排列组合求概率.

x【参】

3 512C133【试题解析】“抽出的2张均为红桃”的概率为2.

C525111. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 . 【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】根据程序框图的逻辑结构，得到S与a的数量关系. 【参】S←Sa.

【试题解析】依步骤得S←Sa.

n123n2n1234n1n1n12中， 12.在n行m列矩阵345n12n3n2n1

第11 题图 记位于第i行第j列的数为aij(i,j1,2,n).当n9时，a11a22a33a99 . 【测量目标】矩阵的定义.

【考查方式】给出矩阵的行和列，求出各对角元素值，最后求和. 【参】45

【试题解析】a11a22a33a991+3+5+7+9+2+4+6+8=45.

13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)， e1(2,1)、若OPae1be2（a、 e2(2,1)分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线上的点P，

bR），则a、b满足的一个等式是 .

【测量目标】双曲线的几何性质，平面向量的线性运算.

【考查方式】根据给出的方向向量，求出渐进线的方程，从而得到双曲线的标准方程，再利 用平面向量得到点到坐标原点的向量坐标求出啊，a，b关系. 【参】4ab1.

【试题解析】e1(2,1)、e2(2,1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程

为.y1x，又c5,a2,b1 (步骤1) 2x22y1，OPae1be2=(2a2b,ab)， 双曲线方程为4

(2a2b)2(ab)21，化简得4ab1 . （步骤2）

414.将直线l1:xy10、l2:nxyn0、l3:xnyn0（nN，n…2）围 成的三角形面积记为Sn，则limSn . n*

【测量目标】简单的极限运算.

【考查方式】直接给出直线方程，观察图形得出可行域代数关系，利用极限求最小值. 【参】

1 2【试题解析】B(nn,) 所以BOAC，（步骤1） n1n11n2n1 Sn=2(2)2n122(n1)1

n2 . (步骤2)

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

所以limSn2xy„3,x2y„3,15.满足线性约束条件的目标函数zxy的最大值是 ( )

x…0,y…0

A.1 B.

3 C.2 D.3 2【测量目标】线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划求目标函数的最大值.【参】C 【试题解析】当直线zxy过点B(1,1)时，z最大值为2. 16.“x2kππkZ”是“tanx1”成立的 ( ) 4

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充要条件的判定. 【考查方式】充分，必要条件. 【参】A 【试题解析】tan(2kπππ5π)tan1，所以充分；但反之不成立，如tan1. 44417.若x0是方程式 lgxx2的解，则x0属于区间 ( ) A.（0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）

【测量目标】二分法的计算.

【考查方式】根据给出的函数，构造新的函数，将选项带入新函数得到答案. 【参】D

【试题解析】构造函数f(x)lgxx2,由f(1.75)f()lg74710. 44f(2)lg20知x0属于区间（1.75，2）.

18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【测量目标】正弦定理，余弦定理.

【考查方式】给出三角形内角正弦的比值，从而得到三角形边长的比值，利用余弦定理得到 余弦值，最后判断角的大小. 【参】C

【试题解析】由sinA:sinB:sinC5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13

521121320，所以角C为钝角. 由余弦定理得cosC2511三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 已知0xπ，化简： 2xπlg(cosxtanx12sin2)lg[2cos(x)]lg(1sin2x).

24【测量目标】三角函数的诱导公式，对数的化简和计算.

【考查方式】给出计算式，通过三角函数的变换，化简，再根据对数的基本运算求值. 【试题解析】原式

lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．20.（本满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

【测量目标】平面图形的直观图和三视图，柱体的面积.

【考查方式】写出含未知量底面积代数式，利用函数的知识求最值，根据空间想像能力绘制 较为准确三视图. 【试题解析】

(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(021.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分. 已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN

*(1)证明：an1是等比数列；

(2)求数列Sn的通项公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n. 【测量目标】数列的通项公式与前n项和Sn的关系.

【考查方式】给出数列前n项和的代数关系式，证明等比数列，进而求出等比数列的前n和， 利用比较大小求解.

【试题解析】(1) 当n1时，a114；当n…2时，anSnSn15an5an11，所以

5an1(an11)， （步骤1）

6又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；

5(2) 由(1)知：an11565从而Sn756n1n15，得an1156n1（步骤2）

n90 (nN*)； （步骤3）

n15由Sn1 > Sn，得622（步骤4） ,nlog51≈14.9，最小正整数n15．

562522.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3

小题满分8分.

若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m. （1）若x1比3接近0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：abab比ab接近2abab； （3）已知函数f(x)的定义域Dxxkπ,kZ,xR.任取xD，f(x)等于1sinx和1sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 【测量目标】解一元二次不等式，不等式的基本性质，函数的单调性与最值，奇偶性和周期.. 【考查方式】给出条件求符合条件自变量的取值范围.满足条件的绝对不等式相互之间比较大小.根据函数的奇偶，周期性，以及最小值求解函数的单调区间. 【试题解析】(1) x(2,2)； （步骤1）

(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a2bab22abab,a3b32（步骤2） abab，因为abab2ababab2abab(ab)(ab)0，（步骤3） 所以abab2ababab2abab，即a2bab2比a3b3接近2abab；

223322332223321sinx,x(2kππ,2kπ)(3) f(x)（步骤4） 1|sinx|,xkπ,kZ，

1sinx,x(2kπ,2kππ)f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，(步骤5) 函数f(x)在区间(kπππ,kπ)单调递增，在区间(kπ,kπ+)单调递减，kZ．（步骤6） 2223（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分.

x2y2A(0,b)、B(0,b)和Q(a,0)为的三顶点. 已知椭圆的方程为221(ab0)，

ab

1（1）若点M满足AM(AQAB)，求点M的坐标；

2（2）设直线l1:yk1xp交椭圆于C、D两点，交直线l2:yk2x于点E.若

b2k1k22，证明：E为CD的中点；

a（3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆a10，b5，点P的坐的两个交点P1、P2满足PP1PP2PQPP1PP2PQ？令

标是（-8，-1），若椭圆上的点P1、P2满足PP1、P2的坐标. 1PP2PQ，求点P【测量目标】平面向量的线性运算，直线方程和椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，椭圆中的探索性问题.

【考查方式】通过向量坐标的基本运算求M.根据直线方程和椭圆方程的位置关系，解出两直线的斜率代数关系，再进行证明.根据向量等式的关系以及直线和椭圆方程的线性关系求出坐标.

【试题解析】(1) M(,)；（步骤1）

a2b2yk1xp(2) 由方程组x2y2，消y得方程(a2k12b2)x22a2k1pxa2(p2b2)0，

221ab因为直线l1：yk1xp交椭圆于C、D两点， 所以>0，即a2k12b2p2＞0，

设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，(步骤2)

x1x2a2k1p22x02ak1b2则， 2ykxpbp010a2k12b2由方程组yk1xp，消y得方程(k2k1)xp，（步骤3）

yk2xa2k1pp22x0x22kkakbb211又因为k22，所以，（步骤4） 2ak1ykxbpy20a2k12b2故E为CD的中点；

(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率

b2k2，由PP，从而1PP2PQ知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率k12ak2得直线l的方程．（步骤5）

11b21F(1,)，直线OF的斜率k2，直线l的斜率k12，

22ak221yx122

解方程组2，消y：x2x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．（步骤6） 2xy110025